Tách phân tố thể tích dv có các cạnh dx, dy, dz tương ứng với các trục tọa độ của hệ trục tọa độ như hình vẽ Hình 3.2.
Dòng nhiệt truyền qua bề mặt (dx,dy) tại tọa độ z, theo phương z được xác định: 𝑑𝑄𝑧 = −𝜆𝑑𝑥𝑑𝑦𝜕𝑡
𝜕𝑧
(3.10) Dòng nhiệt truyền qua bề mặt (dx,dy) tại tọa độ z+dz, theo phương z được xác định: 𝑑𝑄𝑧+𝑑𝑧 = −𝜆𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜕 𝜕𝑧(𝑡 + 𝜕𝑡 𝜕𝑧𝑑𝑧) (3.11) Lượng nhiệt còn tích lại trong khối hộp phân tố theo phương z là:
𝑑𝑄𝑧 − 𝑑𝑄𝑧+𝑑𝑧 = 𝜆𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝜕
2𝑡 𝜕𝑧2
(3.12) Tương tự, lượng nhiệt tích lại theo các phương y và x là:
𝑑𝑄𝑦− 𝑑𝑄𝑦+𝑑𝑦 = 𝜆𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕 2𝑡 𝜕𝑦2 (3.13) 𝑑𝑄𝑧 − 𝑑𝑄𝑧+𝑑𝑧 = 𝜆𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝜕 2𝑡 𝜕𝑧2 (3.14) Tổng lượng nhiệt tích tụ trong khối hộp theo 3 phương x, y, z là:
𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (𝜕 2𝑡 𝜕𝑥2+ 𝜕 2𝑡 𝜕𝑦2+𝜕 2𝑡 𝜕𝑧2) (3.15)
Theo định luật bảo toàn năng lượng, lượng nhiệt tích tụ này sẽ đúng bằng độ biến thiên nội năng của phân tố thể tích dv trong một đơn vị thời gian:
𝑑𝑄 = 𝐶𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝜕𝑡
𝜕𝜏− 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧. 𝑞𝑣
(3.16) Suy ra trong trường hợp có nguồn nhiệt bên trong 𝑞𝑣 ≠ 0:
𝜕𝑡 𝜕𝜏 = 𝜆 𝐶𝜌( 𝜕2𝑡 𝜕𝑥2+𝜕 2𝑡 𝜕𝑦2+𝜕 2𝑡 𝜕𝑧2) + 𝑞𝑣 𝐶𝜌 (3.17)
66 Đặt 𝑎 = 𝜆 𝐶𝜌 (m2/s) – hệ số dẫn khuếch tán nhiệt ta có: 𝜕𝑡 𝜕𝜏 = 𝑎 ( 𝜕2𝑡 𝜕𝑥2+ 𝜕 2𝑡 𝜕𝑦2+𝜕 2𝑡 𝜕𝑧2) + 𝑞𝑣 𝐶𝜌 (3.18)
Điều kiện đơn trị
Giải phương trình vi phân dẫn nhiệt trên ta sẽ có nghiệm tổng quát chứa nhiều hằng số tùy ý. Do vậy để có nghiệm riêng của phương trình vi phân dẫn nhiệt cần phải cho trước một số điều kiện cụ thể, các điều kiện đó được gọi là điều kiện đơn trị.
Trong thực tế có các điều kiện đơn trị sau:
- Điều kiện thời gian: Cho biết sự phân bố nhiệt độ tại thời điểm 𝜏 = 𝜏0 bất kỳ
t = t (x, y, z, 𝜏0). Thông thường người ta cho phân bố nhiệt độ tại thời điểm 𝜏0 = 0 do đó còn gọi là điều kiện ban đầu.
- Điều kiện hình học: Cho biết thông số hình học để xác định hình đáng, kích thước của vật trong đó xảy ra quá trình trao đổi nhiệt.
- Điều kiện vật lý: Cho biết các thông số nhiệt vật lý của môi trường nơi xảy ra quá trình trao đổi nhiệt, cụ thể như khối lượng riêng p (kg/m3), nhiệt dung riêng c (J/kg.K), hệ số dẫn nhiệt (W/m,K) vv...
- Điều kiện biên: Cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc luật cân bằng nhiệt tại các điểm ỏ trên biên (bề mặt giỏi hạn của vật hay môi trường) Điều kiện biên thường có các loại sau:
• Điểu kiện biên loại 1: Cho biết luật phân bố nhiệt độ trên biên tại thời điểm bất kỳ
• Điều kiện biên loại 2: Cho biết mật độ dòng nhiệt qua biên ờ thời điểm bất kỳ
• Điểu kiện biên loại 3: Cho biết qui luật qui luật trao đổi nhiệt giữa bề mặt và môi trường xung quanh và nhiệt độ của môi trường. Điều kiện biên loại 3 được mô tả bởi phương trình:
𝛼(𝑡𝑤− 𝑡𝑓) = −𝜆 (𝑑𝑡 𝑑𝑥)𝑥=0
(3.19) • Điểu kiện biên loại 4: cho biết quy luật dẫn nhiệt tại bề mặt tiếp xúc
giữa 2 vật, đó là điều kiện tiếp xúc lý tưởng của 2 vật. 𝜆1(𝑑𝑡
𝑑𝑛1) = 𝜆2( 𝑑𝑡 𝑑𝑛2)
(3.20) Trong đó: 𝜆1, 𝜆2: hệ số dẫn nhiệt của vật 1 và vật 2
𝑑𝑡 𝑑𝑛1, 𝑑𝑡
67
Ngoài ra còn có một số điều kiện biên khác khi có sự trao đổi chất và điều kiện biên không tuyến tính [73].
Dẫn nhiệt qua vách trụ nhiều lớp
Vách trụ có n lớp tiếp xúc lý tưởng với nhau, dài vô hạn, mỗi lớp được chế tạo bằng vật liệu đồng chất, đẳng hướng và có hệ số dẫn nhiệt không đổi. Hệ số dẫn nhiệt của các lớp từ trong ra ngoài là 𝜆1, 𝜆2, … 𝜆𝑛. Bán kính các bề mặt từ lớp trong ra ngoài là 𝑟1, 𝑟2, … 𝑟𝑛. Cho biết nhiệt độ hai bề mặt trong và ngoài cùng là tw1 và tw,n+1 giả thiết (tw1 > tw,n+1).
Ở điều kiện ổn định, dòng nhiệt truyền qua các lớp của vách trụ là giống nhau cũng chính là dòng nhiệt truyền qua vách trụ. Ký hiệu nhiệt độ bề mặt tiếp xúc giữa các lớp như Hình 3.3:
Hình 3.3 Dẫn nhiệt qua vách trụ n lớp [50]
Nhiệt lượng ql cho 1m chiều dài vách trụ - Lớp 1: 𝑞𝑙 = 𝑡𝑤1− 𝑡𝑤2 1 2𝜋𝜆1𝑙𝑛 𝑟2 𝑟1 (3.21) - Lớp 2: 𝑞𝑙 = 𝑡𝑤21 − 𝑡𝑤3 2𝜋𝜆2𝑙𝑛 𝑟3 𝑟2 (3.22) - Lớp n:
68 𝑞𝑙 =𝑡𝑤,𝑛− 𝑡𝑤,𝑛+1 1 2𝜋𝜆𝑛𝑙𝑛 𝑟𝑛+1 𝑟𝑛 (3.23) Đặt 𝑅 = 1 2𝜋𝜆𝑙𝑛𝑟2
𝑟1 (m.K/W) là nhiệt trở của vách trụ ta có:
𝑞𝑙 = 𝑡𝑤1 − 𝑡𝑤,𝑛+1 ∑ 1 2𝜋𝜆𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑙𝑛𝑟𝑖+1𝑟 𝑖 =𝑡𝑤1− 𝑡𝑤,𝑛+1 ∑ 𝑅𝑛 𝑖 𝑖 (3.24) Như vậy, dòng nhiệt truyền qua 1m chiều dài vách trụ, tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ hai bề mặt vách, hệ số dẫn nhiệt, và giảm khi chiều dày vách tăng.
Dẫn nhiệt qua vách trụ khi có nguồn nhiệt bên trong
Thanh trụ có đường kính bằng 2r0 rất nhỏ so với chiều của thanh. Nguồn nhiệt bên trong phân bố đều theo thể tích và có trị số là qv, [W/m3]. Thanh được đặt trong môi trường có nhiệt độ tf = const, hệ số tỏa nhiệt từ bề mặt ra môi trường α = const.
r 2ro t tw = const tw tf tf r to 0
Hình 3.4 Dẫn nhiệt qua vách trụ khi có nguồn nhiệt bên trong
Với điều kiện bài toán thì phân bố nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính của trụ. Lập hệ tọa độ (t,r) như Hình 3.4 trục t nằm ở tâm của thanh trụ, trục r vuông góc với trục t
Ta có phương trình vi phân dẫn nhiệt cho vách trụ: 𝑑2𝑡 𝑑𝑟2+ 𝑑𝑡 𝑟𝑑𝑟+ 𝑞𝑣 𝜆 = 0 (3.25) Bài toán có tính đối xứng do đó ta chỉ xét một nửa hình trụ. Khi đó điều kiện biên như sau:
Khi 𝑟 = 0, (𝑑𝑡 𝑑𝑟) 𝑟=0 = 0 Khi 𝑟 = 𝑟0, (𝑑𝑡 𝑑𝑟) 𝑟0 = −𝛼 𝜆(𝑡𝑤 − 𝑡𝑓) Đặt 𝑢 = 𝑑𝑡 𝑑𝑟, ta có : 𝑑𝑢 𝑑𝑟 + 𝑢 𝑟 + 𝑞𝑣 𝜆 = 0 (3.26) Hay
69 𝑑(𝑢𝑟) +𝑞𝑣 𝜆 𝑟𝑑𝑟 = 0 (3.27) Tích phân hai vế ta có : 𝑢𝑟 +𝑞𝑣 2𝜆𝑟 2 = 𝐶1 (3.28) Hay: 𝑑𝑡 𝑑𝑟+ 𝑞𝑣𝑟 2𝜆 = 𝐶1 𝑟 𝑢𝑟 + 𝑞𝑣 2𝜆𝑟 2 = 𝐶1 (3.29) Suy ra 𝑡 = −𝑞𝑣𝑟 2 4𝜆 + 𝐶1𝑙𝑛 𝑟 + 𝐶2 (3.30) Các hằng số C1 và C2 được xác định như sau:
Khi 𝑟 = 0, (𝑑𝑡 𝑑𝑟) 𝑟=0 = 0 suy ra 𝐶1=0 Khi 𝑟 = 𝑟0, (𝑑𝑡 𝑑𝑟) 𝑟0 = −𝛼 𝜆(𝑡𝑤 − 𝑡𝑓) = −𝑞𝑣 2𝜆𝑟0 Suy ra 𝐶2 = 𝑡𝑤 +𝑞𝑣𝑟𝑜2 4𝜆 = 𝑡𝑓 +𝑞𝑣𝑟𝑜 2𝛼 +𝑞𝑣𝑟𝑜2 4𝜆
Khi đó phương trình biểu thị nhiệt độtheo phương bán kính :
𝑡 = 𝑡𝑓 +𝑞𝑣𝑟𝑜 2𝛼 +
𝑞𝑣(𝑟𝑜2− 𝑟2) 4𝜆
(3.31)
Mật độ dòng nhiệt trên bề mặt thanh:
𝑞𝑤 =𝑞𝑣𝑟𝑜
2 = 𝛼(𝑡𝑤− 𝑡𝑓)
(3.32)
3.2.3 Trao đổi nhiệt đối lưu
Quá trình trao đổi nhiệt đối lưu là quá trình trao đổi nhiệt xảy ra khi có sự chuyển động của khối chất lỏng hoặc chất khí trong không gian giữa các vùng cỏ nhiệt độ khác nhau.
Vậy trao đổi nhiệt đối lưu hay còn gọi là tỏa nhiệt đối lưu là hiện tượng trao đổi động năng giữa các phần tử trên bề mặt vặt rắn với các phần tử chuyển động có hướng của một chất lỏng hoặc chất khí khi tiếp xúc nó. Tuỳ theo nguyên nhân gây chuyển động của môi chất mà tỏa nhiệt đối lưu được phân ra làm 2 loại:
- Tỏa nhiệt đối lưu tự nhiên là hiện tượng trao đổi nhiệt khi dòng môi chất chuyển động tự nhiên trong trường trọng lực (vận tốc chuyển dộng nhỏ)
- Tỏa nhiệt đối lưu cưỡng bức là hiện tượng trao đổi nhiệt khi dòng môi chất chuyển động cưỡng bức do tác dụng của bơm, quạt hoặc máy nén (vận tốc chuyển động lớn)
Công thức Newton xác định dòng tỏa nhiệt đối lưu
Để xác định lượng nhiệt trao đổi giữa bề mặt vách chất lỏng hay chất khí ta sử dụng công thức Newton:
70
q = a.(tw – tf) (3.33)
Trong đó: q : là mật độ dòng nhiệt và dòng nhiệt [W/m2]
tw, tf :là nhiệt độ bề mặt vách và chất lỏng ở xa bề mặt vách [oC] a : là hệ số trao đổi (tỏa) nhiệt đối lưu [W/m2K]
Hệ số trao đổi nhiệt đối lưu phụ thuộc vào:
• Kiểu dòng chảy (chảy tầng, chảy rối, chảy xoáy) • Dạng hình học bề mặt
• Nhiệt độ trung bình và đặc tính vật lý của không khí • Phương thức đối lưu (tự nhiên hay cưỡng bức) Đối với toàn bộ diện tích của bề mặt vách:
Q = qF = a.F(tw – tf) [W] (3.34)
Phương trình vi phân trao đổi nhiệt đối lưu
Quá trình trao đổi nhiệt đối lưu được miêu tả bởi hệ bốn phương trình vi phân: phương trình vi phân tỏa nhiệt đối lưu, phương trình vi phân năng lượng, phương trình vi phân chuyển động và phương trình liên tục. Đây là phương pháp giải tích để tính toán tỏa nhiệt đối lưu dựa trên việc giải hệ phương trình vi phân miêu tả quá trình và các điều kiện đơn trị.
Phương trình vi phân tỏa nhiệt đối lưu: 𝑎 = − 𝜆
(𝑡𝑤− 𝑡𝑓)( 𝑑𝑡 𝑑𝑛)𝑛=0
(3.35) Phương trình vi phân năng lượng biểu thị mối quan hệ giữa nhiệt độ, thời gian, không gian và tốc độ dòng môi chất. Khi giả thiết dòng môi chất không chịu nén, đồng chất, không có nguồn nhiệt bên trong và bỏ qua tổn thất ma sát. Phương trình có dạng: 𝑑𝑡 𝑑𝜏+ 𝜔𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥+ 𝜔𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦+ 𝜔𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑧 = 𝑎 ( 𝑑2𝑡 𝑑𝑥2+𝑑 2𝑡 𝑑𝑦2+𝑑 2𝑡 𝑑𝑧2) (3.36)
Phương trình vi phân chuyển động có dạng: 𝜌𝑑𝜔⃗⃗
𝑑𝜏 = 𝜌𝑔 − gradp + ∇
2 (3.37)
Phương trình liên tục (khi chất lỏng không chịu nén) có dạng: 𝑑𝜔𝑥 𝑑𝑥 + 𝑑𝜔𝑦 𝑑𝑦 + 𝑑𝜔𝑧 𝑑𝑧 = 0 (3.38) Phương pháp đồng dạng
Phương pháp đồng dạng thực chất kết hợp phương pháp giải tích và thực nghiệm. Từ phương trình vi phân người ta rút ra các tiêu chuẩn đồng dạng mô tả hiện tượng trao đổi nhiệt đối lưu. Phương pháp thực nghiệm xác định mối quan hệ giữa các tiêu chuẩn đồng dạng.
71
Tiêu chuẩn đồng dạng là tổ hợp không thứ nguyên của các đại lượng vật lý của các vật tham gia quá trình. Các tổ hợp không thứ nguyên này được rút ra từ các phương trình vi phân đặc trưng cho các hiện tượng vật lý.
Tiêu chuẩn đồng dạng Nusselt (Nu):
Tiêu chuẩn Nusselt là hệ số tỏa nhiệt không thứ nguyên đặc trưng cho cường độ tỏa nhiệt
𝑁𝑢 = 𝑎𝑙 𝜆
(3.39) Trong đó: 𝑎 - là hệ số tỏa nhiệt bề mặt (W/m2 .K)
𝑙 - kích thước xác định của bề mặt (m) 𝜆 - hệ số dẫn nhiệt của môi chất (W/m.K) Tiêu chuẩn Reynolds, Re
𝑅𝑒 =𝜛𝑙 𝜗
(3.40) Trong đó: 𝜛 - tốc độ chuyển động của môi trường (m/s)
𝑙 - kích thước xác định 𝜗 - độ nhớt động học (m2/s)
Tiêu chuẩn Grashoff, Gr đặc trưng cho cường độ đối lưu tự nhiên 𝐺𝑟 = 𝑔𝛽𝑙
3Δ𝑡 𝜗
(3.41) Trong đó: g - gia tốc trọng trường (m/s2)
𝛽 - hệ số giãn nở vì nhiệt (1/K)
Δ𝑡 - độ chênh nhiệt độ giữa bề mặt của vật với môi trường (K) Tiêu chuẩn Prandt, Pr gọi là độ nhớt không thứ nguyên, đặc trưng cho tính chất vật lý của môi chất
𝑃𝑟 =𝜗 𝑎
(3.42)
Phương trình tiêu chuẩn
Phương trình tiêu chuẩn là biểu thức liên hệ giữa các tiêu chuẩn đồng dạng đặc trưng cho một hiện tượng. Phương trình tiêu chuẩn trong trao đổi nhiệt đối lưu thường có dạng:
Nu = C RemPrnGrp (3.43)
Trong đó: C, m,n, p là các hằng số thực nghiệm
3.2.4 Trao đổi nhiệt bức xạ
Trao đổi nhiệt bức xạ là hiện tượng trao đổi nhiệt giữa 2 vật mà vật 1 phát ra bức xạ còn vật 2 thu bức xạ và chuyển hóa thành nhiệt năng thông qua môi trường sóng điện từ. Mọi vật trong tự nhiên đều có khả năng bức xạ năng lượng do dao động điện từ bên trong các nguyên tử phân tử vật chất. Tuy nhiên chỉ các sóng có bước sóng khoảng = 0,4 0,8 m (ánh sáng nhìn thấy được) và = 0,8 400 m (tia hồng ngoại) mới có hiệu ứng nhiệt cao và gọi là các tia nhiệt.
72
Cường độ trao đổi nhiệt bức xạ phụ thuộc vào độ chênh nhiệt độ giữa các vật và nhiệt độ tuyệt đối của các vật. Nhiệt độ các nguồn càng cao thì khả năng trao đổi nhiệt càng lớn.
Công suất bức xạ của một đơn vị diện tích bề mặt gia nhiệt được tính theo công thức Stefan – Boltzmann:
𝑞𝑏𝑥 = 𝑘𝑣(𝑇𝑎14 − 𝑇𝑎24 ) (3.44) Trong đó:
Ta1, Ta2 – nhiệt độ tuyệt đối của vật nóng và môi trường xung quanh. k – hằng số bức xạ của vật đen tuyệt đối.
v – hệ số bức xạ tương đối, bằng tỉ lệ nhiệt phát ra từ vật thể đang xét với lượng nhiệt phát ra từ vật đen tuyệt đối (cùng kích thước, cùng nhiệt độ, cùng môi trường). Trị số v phụ thuộc vào vật thể, bề mặt vật thể (độ bóng). Giả thiết bề mặt bức xạ của vật nhỏ hơn bề mặt của các vật thể gần đó, có thể phản bức xạ. Khi q(W/m2), Ta1, Ta2(0K), hằng số k = 5,77.10-8 W/m2.0K4, điền vào (3.44) ta có: 𝑞𝑏𝑥 = 5,77𝑣 [(𝑡𝑎1 100) 4 − (𝑡𝑎2 100) 4 ] (3.45)
Khi chênh lệnh nhiệt độ θ = Ta1 – Ta2 = 750C, ta có thể viết (3.45) dưới dạng: 𝑞𝑏𝑥 = 2,38𝑣𝜃1,25(1 + 0,011𝑇0) (3.46) Trong đó:
T0 – nhiệt độ môi trường;
θ – chênh nhiệt độ vật được làm mát và môi trường.
qbx – công suất bức xạ của một đơn vị diện tích bề mặt nung nóng, W/m2.
3.2.5 Mô hình toán quá trình truyền nhiệt MBA khô
Đối với trường hợp MBA khô có dây quấn tẩm trong nhựa epoxy có ba hình thức truyền nhiệt: Truyền nhiệt bằng dẫn nhiệt trong dây quấn, truyền nhiệt bằng đối lưu không khí xung quanh MBA và truyền nhiệt bằng bức xạ (hiệu quả bức xạ ở đây thấp).
Hai phương thức truyền nhiệt được xem xét trong nghiên cứu này gồm, truyền dẫn nhiệt và tản nhiệt đối lưu tự nhiên không khí xung quanh bao quanh bề mặt của cuộn dây. Điều kiện biên có thể được mô hình hóa bằng cách sử dụng nhiệt độ đo được trên ranh giới của phần tử thực nghiệm [13].
Xây dựng mô hình mô tả toàn diện về hiện tượng nhiệt là nhiệm vụ phức tạp do cấu trúc hình học MBA và tồn tại đa dạng các nguồn nhiệt. Không tồn tại vị trí trên các cuộn dây cao áp có nhiệt độ trên 155°C.
Các mô hình toán học cho MBA dựa trên các giả định sau đây: - Dây quấn MBA hình trụ tròn đối xứng.
73
- Vật liệu epoxy đồng tính và đẳng hướng. - Chế độ xác lập.
Từ các điều kiện trên ta có thể viết phương trình truyền nhiệt theo tọa độ trụ: 𝜆 𝑟 𝜕𝑇 𝜕𝑟 + 𝜆 𝜕2𝑇 𝜕𝑟2 + 𝜆𝜕 2𝑇 𝜕𝑧2 + 𝑄 = 0 (3.47) Trong đó: r,z – là tọa độ trụ bán kính và dọc trục.
T – là nhiệt độ.
Q – là nhiệt lượng do tổn hao đồng. Điều kiện biên:
T = T(r) – (phân bố nhiệt hướng kính trên đáy và đỉnh)
T = T(z) – (phân bố nhiệt dọc trục các diện tích mặt trong và mặt ngoài) Phương pháp thực nghiệm được sử dụng để xác định các điều kiện biên này vì trong thực tế rất khó để xác định các hệ số đồng dạng của trao đổi nhiệt đối lưu tự nhiên. Điều kiện biên giúp giải quyết được mô hình truyền nhiệt đơn giản. Tuy nhiên, để giải bài toán phân bố nhiệt với các nguồn nhiệt không đồng nhất, bề mặt dây quấn phức tạp phương pháp giải tích gặp khó khăn.
Có hai nhóm phương pháp cơ bản được sử dụng trong các bài toán phân tích nhiệt cho MBA đó là: phương pháp mạch nhiệt thay thế tương đương (Equivalent Heat Circuit) và phương pháp số tính toán động lực học chất lưu (Computational Fluid Dynamics – CFD) dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn.
Mạch nhiệt thay thế tương đương là phương pháp cơ bản và phổ biến nhất được sử dụng trong phân tích nhiệt cho các máy điện nói chung. Phương pháp này có ưu điểm là đơn giản, sử dụng ít tài nguyên máy tính và tính toán nhanh. Về cơ bản, nó phát triển dựa trên sự tương đồng giữa hệ thống dẫn điện và dẫn nhiệt. Quá trình phân tích được thực hiện dựa trên các tính toán về nhiệt trở dẫn nhiệt (conduction), nhiệt trở đối lưu (convection) và nhiệt trở bức xạ (radiation). Tuy nhiên, để xây dựng và phát triển một mô hình mạch nhiệt hoàn chỉnh với độ chính xác cho