Phân phối nhị thức (Binomial distribution)

Phân phối nhị thức (Binomial Distribution) là một dạng lan truyền xác suất rời rạc.

Nó được sử dụng trong trường hợp thí nghiệm chỉ có hai khả năng – thành công và thất bại. Phân phối nhị thức là một phân phối xác suất rời rạc, nó thể hiện xác suất của một tập gồm hai kết quả khác nhau: thành công (p) và thất bại (q).

i. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 = {0,1,2, … , 𝑛} gọi là phân phối nhị thức nếu tồn tại số𝑝 ∈ (0,1) sao cho:

𝑝𝑘 = 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝐶𝑛𝑘𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘, 𝑞 = 1 − 𝑞, 𝑘 = 0, 𝑛 Trong trường hợp này ta ký hiệu 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝)

Nếu bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli, nghĩa là chỉra được:  Có n phép thử độc lập.

 Trong mỗi phép thử, xác suất xuất hiện biến cốA không đổi là P(A) = p.  X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử đó thì X phân phối theo quy

luật Nhị thức.

ii. Tính chất của phân phối nhị thức

𝐸(𝑋) = 𝐸 (∑ 𝑋𝑖 𝑛 𝑖=1 ) = ∑ 𝐸(𝑋𝑖) 𝑛 𝑖=1 = 𝑛𝑝

 Phương sai của biến ngẫu nhiên X bằng tổng các phương sai thành phần

𝐷(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) = 𝑛𝑝𝑞

+Ví dụ:

Trong bệnh viện vào thứ Năm tuần trước, có 10 đứa bé chào đời, trong đó có 6 đứa bé trai. Tìm xác suất để 6 đứa bé đầu chào đời liên tiếp là bé trai?

Gọi A là biến cố6 đứa bé đầu là bé train ad 4 đứa còn lại là bé gái. Gọi X là số bé t, vậy X là biến nhị thức có tham số là 10 và ½. Vậy xác suất cần tìm là

𝑃(𝐴𝑋 = 6) =𝑃(𝐴 𝑣à 𝑋 = 6)𝑃(𝑋 = 6) = 𝑃(𝑋 = 6) =𝑃(𝐴) 𝐶 (1/2)10

106 × (1/2)6× (1/2)4 = 0.0048

E. Phân phối hình học

Phân phối hình học (Geometric Distribution) là dạng đặc biệt của phân phối nhị

thức âm. Nó liên quan tới sốlượt thử cần thiết cho một lần thành công duy nhất. Vì vậy phân phối hình học là một phân phối nhị thức âm với số lần thành công là 1.

i. Một biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối hình học với tham số p,

trong đó 𝑝 ∈ (0,1) , có công thức xác suất thành công với n lần thử:

𝑃(𝑋 = 𝑛) = 𝑝 × 𝑞𝑛−1

Với p là xác thành công cho một lần thử duy nhất q là xác suất thất bại cho một lần thử duy nhất n là số lần thử

ii. Tính chất của phân phối hình học

 𝐸(𝑋) = 1𝑝  𝐷(𝑋) = 1−𝑝𝑝2

+Ví dụ:

Trong bộ bài 52 lá, ta rút thử 1 lá .Thửcho đến khi rút được lá Át thì dừng lại. Xác suất để ít nhất 10 lần rút được lá Át?

Giải: Gọi X là sốlá bài rút được cho đến khi gặp lá Át. X là biến ngẫu nhiên có phân phối hình học với tham số p=1/13 , vậy 𝑃(𝑋 = 𝑛) = (1213)𝑛−1(1/13) 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,10 Vậy xác suất cần tìm là 𝑃(𝑋 ≥ 10) = ∑ (1213)𝑛−1(13)1 ∞ 𝑛=10 = 13 .1 (12/13)9 1 − 12/13 ≈ 0.49 F. Phân phối Poisson

Trong phân phối nhị thức, khi xảy ra n! số lần thử, dãy số nào quá lớn để có thể

phục vụ cho công tác này. Là xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc và nó thường

được sử dụng rộng rãi trong các công việc có thể đo đạc được. Sự phân bố này

được đưa ra bởi nhà toán học người Pháp, tiến sỹ Simon Denis Poisson vào năm

1837 và phân bố này được đặt theo tên ông. Sau khi ông qua đời, nhà toán học

người Nga L.V.Bortkiewicz đã hoàn tất những công việc còn lại. Hiện nay, phân phối Poisson được phổ biến nhất, chỉ đứng sau phân phối nhị thức và phân phối chuẩn trong ngành thống kê.

Phép tuần hoàn Poisson được tận dụng như một phần của các trường hợp mà xác suất xuất hiện của một sự kiện là nhỏ, nghĩa là sự kiện chỉ xảy ra một lần sau một khoảng thời gian dài. Ví dụ, xác suất xảy ra lỗi trong quá trình thành lập tập đoàn

là nhỏ, xác suất xảy ra chấn động trong một năm là nhỏ, việc rủi ro xảy ra trên

đường phố là nhỏ, và tương tự như vậy. Tất cả đều là những trường hợp mà xác suất xảy ra sự kiện là nhỏ.

i. Đại lượng ngẫu nhiên 𝑋 = {0,1,2, … , 𝑛} gọi là có phân phối Poisson nếu tồn tại 𝑎 > 0, a là tham số của phân phối Poisson:

𝑝𝑘 = 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑒−𝑎 × 𝑎𝑘

𝑘! , 𝑘 = 0,1,2, …

ii. Tính chất của phân phối Poisson:

 𝐸(𝑋) = 𝑎

 𝐸(𝑋2) = 𝑎(𝑎 + 1)  𝐷(𝑋) = 𝑎

Trung bình trong một cuốn sách, cứ 3 trang là có 1 lỗi đánh máy. Nếu số lồi đánh

máy là biến ngẫu nhiên Poisson, xác suất để có ít nhất 1 lỗi trên cuốn sách đó là

bao nhiêu?

Giải: Gọi X là số lỗi trên 1 trang cụ thể. X là biến ngẫu nhiên Poisson với tham số

k=1/3=E(X) có công thức

𝑃(𝑋 = 𝑘) = (1/3)𝑘𝑒−1/3 𝑛!

CHƯƠNG 3. BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC 3.1Biến ngẫu nhiên liên tục