CHƯƠNG 5 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
5.2 Sự tồn tại nghiệm và tính chất tập nghiệm quy hoạch tuyến tính
5.2.2 Tính chất tập nghiệm
Định lý 5.3.Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) có nghiệm tối ưu thì tập nghiệm tối ưu của nó là một diện của tập lồi đa diện chấp nhận được.
Chứng minh. Nhắc lại, tập con lồi khác rỗng 𝐹 ⊂ 𝐷 được gọi là một diện của tập lồi đa diện D nếu
𝑦, 𝑧 ∈ 𝐷 𝑣à 𝑥 ∈ 𝐹, 𝑥 = 𝜆𝑦 + (1 − 𝜆)𝑧, 0 < 𝜆 < 1 ⟹ 𝑦 ∈ 𝐹, 𝑧 ∈ 𝐹
Ký hiệu tập nghiệm tối ưu của bài toàn (LP) là 𝐹∗ = 𝑎𝑟𝑐𝑚𝑖𝑛{〈𝑐, 𝑥〉|𝑥 ∈ 𝐷}. Cho
𝑦, 𝑧 ∈ 𝐷, 𝑥 ∈ 𝐹∗ với , 𝑥 = 𝜆𝑦 + (1 − 𝜆)𝑧 và 0 < 𝜆 < 1 . Ta phải chứng minh
𝑦 ∈ 𝐹∗, 𝑧 ∈ 𝐹∗. Giả sử 〈𝑐, 𝑦〉 ≥ 〈𝑐, 𝑧〉. Khi đó
〈𝑐, 𝑥〉 = 𝜆〈𝑐, 𝑦〉 + (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑧〉 ≥ 𝜆〈𝑐, 𝑧〉 + (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑧〉 = 〈𝑐, 𝑧〉. (3)
Vì 𝑧 ∈ 𝐷 và 𝑥 ∈ 𝐹∗, tức x là một nghiệm tối ưu của bài toán (LP), nên
〈𝑐, 𝑥〉 ≤ 〈𝑐, 𝑧〉. (4)
Từ (3) và (4) suy ra 〈𝑐, 𝑥〉 = 〈𝑐, 𝑧〉, hay 𝑧 ∈ 𝐹∗. Hơn nữa ta có
Do đó 〈𝑐, 𝑦〉 = 〈𝑐, 𝑥〉. hay 𝑦 ∈ 𝐹∗. Theo định nghĩa, 𝐹∗ là một diện của D.
Hệ quả 1.1 Nếu một quy hoạch tuyến tính có nghiệm tối ưu và tập lồi đa diện ràng buộc có đỉnh thì nghiệm tối ưu phải đạt tại ít nhất một đỉnh, tức đạt tại ít nhất một phương án cực biên.
Chứng minh.Theo định nghĩa, phương án cực biên chính là một đỉnh của tập lồi đa
diện chấp nhận được của bài toán quy hoạch tuyến tính. Hệ quả được suy trực tiếp từ Định lý 5.3 và sự kiện là đỉnh của một diễn của một tập lồi đa diện cũng chính là đỉnh của tập lồi đa diện đó (Hệ quả 5.3).
Định lý 5.4. Nếu x* là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) thì x*cũng là nghiệm tối ưu toàn cục.
Chứng minh.
Giả sử 𝑥∗ ∈ 𝐷 là nghiệm tối ưu địa phương cả bài toán (LP). Thẹo định
nghĩa, tồn tại một hình cầu mở 𝐵(𝑥∗, 𝜀) sao cho
〈𝑐, 𝑥∗〉 ≤ 〈𝑐, 𝑥〉 ∀𝑥 ∈ 𝐵(𝑥∗, 𝜀) ∩ 𝐷.
Giả sử phản chứng rằng x* không phải nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (LP). tức tồn tại 𝑥̅ ∈ 𝐷 thoả mãn 〈𝑐, 𝑥̅〉 < 〈𝑐, 𝑥∗〉. Do D là tập lồi đa diện nên nó chứa cả đoạn thẳng nối 𝑥∗ và 𝑥̅. Lấy điểm x0 nằm trong đoạn thẳng này và 𝑥0 ∈ 𝐵(𝑥∗, 𝜀), tức 𝑥0 = 𝜆𝑥∗+ (1 − 𝜆)𝑥̅ 𝑣ớ𝑖 0 < 𝜆 < 1. Ta có
〈𝑐, 𝑥0〉 = 𝜆〈𝑐, 𝑥∗〉 + (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑥̅〉 < 𝜆〈𝑐, 𝑥∗〉 + (1 − 𝜆)〈𝑐, 𝑥∗〉 = 〈𝑐, 𝑥∗〉. Điều này mâu thuẫn với tính cực tiểu đia phương của x* và chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai.
5.3 Giải bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến bằng phương pháp hình học