CHƯƠNG 5 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
5.3 Giải bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến bằng phương pháp hình học
Một bài toán lập trình tuyến tính chỉ có hai biến trình bày một trường hợp đơn giản giải pháp có thể thu được bằng cách sử dụng một phương pháp hình học khá cơ
bản. Riêng biệt từ giải pháp, phương pháp đồ họa đưa ra một bức tranh vật lý về
hình học nhất định đặc điểm của các bài toán lập trình tuyến tính. Ví dụsau được coi là để minh họa phươngpháp đồ họa của giải pháp.(Lan, 2015)
+Ví dụ:
Một lò gốm hàng ngày sản xuất hai mặt hàng cao cấp là đôn sứ(Đ) và bình bông (B). Sản lượng được giới hạn là đất sét trắng và số thợ lành nghề. Sốđát sét và số lao động hàng ngày đưuọc cung cấp lần lượt là 240kg và 100 giờ. Để làm được đôn sứ, cần 4kg đôn sứ và 2 giờ công lao động. Để là được bình bông cần 3kh đất sét và 1 giờ công. Đơn giá cho đôn sứ là 70000 đồng và bìn bông là 50000 đồng. Vậy sản xuuát như thế nào đưuọc doanh thu cao nhất.
Tóm tắt qua bảng
Tài nguyên để sản xuất ra một sản phẩm
Tài nguyên Đôn sứ Bình bông Khả năng đáp ứng
đất sét 4 3 240
giờ công 2 1 100
Giá bán(10000 đồng) 7 5 Sử dụng thuật toán quy hoạch tuyến tính:
Bước 1: Đặt tên biến
Gọi x1,x2 lần lượt là sốđôn sứ và bình bông sản xuất mỗi ngày
Bước 2: xác định hàm mục tiêu
Để có được doanh thu lớn nhất: 𝑍 = 7𝑥1+ 5𝑥2
Bước 3:Xác định các rang buộc
Với điều kiện là tổng lượng tài nguyên sử dụng pahir nhở hơn hoặc bằng tổng
4𝑥1+ 3𝑥2 ≤ 240 (đấ𝑡 𝑠é𝑡)(1); 2𝑥1+ 1𝑥2 ≤ 100( 𝑔𝑖ờ 𝑐ô𝑛𝑔)(2)
Và nghiệm số của bài toán nên không âm: điệu kiện biên x1,x2≥ 0
Bước 4: Giải bằng phương pháp đồ thị theo trình tự: - Thể hiện các ràng buộc
- Xác định vùng lời giải chấp nhận được - Vẽ một đương thẳng thể hiện hàm mục tiêu - Tìm nghiệm số của bài toán
Thể hiện các ràng buộc
Biến 𝑥1 được biễu diễn trên trục hoành , biến x2 trên trục tung.
Để thể hiện ràng buộc đầu tiên lên đồ thị, chuyển bất phương trình thành phương trình:4𝑥1+ 3𝑥2 = 240 (đấ𝑡 𝑠é𝑡)
Không sản xuất đôn sứ thì 𝑥1 = 0 𝑣à 𝑥2 = 80
Không sản xuất bình bông thì 𝑥1 = 60 𝑣à 𝑥2 = 0
Tương tự với rang buộc thứ hai 2𝑥1 + 1𝑥2 = 100( 𝑔𝑖ờ 𝑐ô𝑛𝑔)
Không sản xuất đôn sứ thì 𝑥1 = 0 𝑣à 𝑥2 = 100
Hình. Thẻ hiện các rang buộc bằng đồ thị Xác định vùng lời giải chấp nhận được
Còn gọi là vùng nghiệm khả dĩ, tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn tất cả các rang buộc và điều kiện biên trên đồ thị. Dưới đây là ba quy tắc để xác định vùng lời giả
chấp nhận được
- Đối với “=” chỉ có những điểm nằm trên đưuòng thẳng là vùng nghiệm khả
dỉ
- Đối với dấu “<=”, những điẻm nằm trên đường thẳng, bên trái và bên dưới của đường là vùng nghiệm khả dĩ
- Đối với dấu “>=”, những điểm nằm trên đường thẳng, bên phải và bên trên của đường là vùng nghiệm khả dĩ
Hình. Vùng lời giải chấp nhận được
Vẽ đưòng thẳng thể hiện hàm mục tiêu:7𝑥1+ 5𝑥2 Tìm nghiệm số của bài toán:
Vẽ thêm những đường hàm mục tiêu đồng dạng. Những đưòng này song song với nhau và càng xa gốc tọa độ thì có giá trị càng lớn.
Hình. Lời giải tối ưu của bài toán
Như vây, để tìm lời giải tối ưu cho bài toán, ta tịnh tiến dần đường hàm mục tiêu
ban đầu cho đến khi đụng điểm xa nhất của vùng lời giải chấp nhận được. Đương hàm mục tiêu đồng dạng cách xa gốc tọa độ nhất đi qua điểm nằm trong vùng nghiệm khả dĩđược trình bày trong đò thị. Điểm E( 𝑥1 = 30 , 𝑥2 = 40) là nghiệm tối ưu của bài toán với doanh thu hành ngày là 410 ngàn đồng