CHƯƠNG 4 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT
4.2 Kiểm định giả thiết tham số
4.2.1 Kiểm định giá trị kì vọng của phân phối chuẩn
i. Giả sử tổng thể có trung bình (kỳ vọng) μ. Mẫu có kích thước n, trung bình mẫu 𝑥, phương sai mẫu hiệu chỉnh 2. Hãy kiểm định giả thiết H0:μ=μ0 với mức ý nghĩa α A. Trường hợp 1: 2đã biết, H1:μ≠μ0 Tiêu chuẩn kiểm định:𝑍 = 𝑋−𝜇0 √𝑛 Ta thấy nếu giả thuyết H 0 đúng thì thống kê 𝑍0 =𝑋−𝜇0 √𝑛 có phân phối chuẩn
N(0; 1), đồng thời X là một ước lượng không chệch cho μ. Từđó ta có quy tắc kiểm định sau :
Tìm 𝑍𝛼 từ hệ thức 2𝛷(𝑍𝛼) = 1 − 𝛼
Nếu 𝑍0 ≤ 𝑍𝛼, thì chấp nhận H. Nếu 𝑍0 > 𝑍𝛼 thì bác bỏ H
Nếu giá trịđó thuộc vào miền tiêu chuẩn thì ta bác bỏ giả thuyết, kết luận kỳ vọng của biến X thực sự khác μ0. Ngược lại, nếu giá trịđó nằm trong miền chấp nhận thì phải kết luận kỳ vọng của X không khác μ0 một cách có ý nghĩa.
+Ví dụ:
Điểm trung bình năm nay của 100 học sinh là 5.9 điểm toán cuối kì, có độ lệch chuẩn là 1.21. Điểm trung bình mới vừa thay đổi đểđạt danh hiệu thi đua của môn toán năm ngoái là 5.72. Với mức ý nghĩa 1% có phải điểm trung bình năm nay có
đạt tiêu chuẩn năm ngoái không?
Giải: Giả thiết H0:μ=μ0 =5.72 ( điểm năm nay bằng năm trước)
2𝛷(𝑍𝛼) = 1 − 𝛼 = 1 − 0.01 => 𝑍𝛼 = 2.58 𝑍0 =|𝑋 − 𝜇 0|√𝑛 = |5.9 − 5.72|
1.21 √100 = 1.49
Vì 𝑍0 < 𝑍𝛼 nên chấp nhận H0 . Vậy điểm môn toán năm nay không cao hơn năm
trước với mức ý nghĩa 1%, nên không đạt được tiêu chuẩn nhận danh hiệu thi đua.
B. Trường hợp 2 2đã biết, H1:μ>μ0 Tiêu chuẩn kiểm định:𝑍 = 𝑋−𝜇0 √𝑛 Ta thấy nếu giả thuyết H 0 đúng thì thống kê 𝑍0 =𝑋−𝜇0 √𝑛 có phân phối chuẩn
Từđó ta có quy tắc kiểm định sau : 𝑃 (𝑋 − 𝜇 0√𝑛 > 𝑍𝛼) = 1 − 𝛼 Tìm 𝑍𝛼 từ hệ thức 2𝛷(𝑍𝛼) = 1 − 𝛼 Nếu 𝑍0 > 𝑍𝛼 thì chấp nhận H. C. Trường hợp 3 2đã biết, H1:μ<μ0 Tiêu chuẩn kiểm định:𝑍 = 𝑋−𝜇0 √𝑛 Ta thấy nếu giả thuyết H 0 đúng thì thống kê 𝑍0 =𝑋−𝜇0 √𝑛 có phân phối chuẩn
N(0; 1), đồng thời X là một ước lượng không chệch cho μ. Từđó ta có quy tắc kiểm định sau :
𝑃 (𝑋 − 𝜇 0√𝑛 < 𝑍𝛼) = 1 − 𝛼
Tìm 𝑍𝛼 từ hệ thức 2𝛷(𝑍𝛼) = 1 − 𝛼
Nếu 𝑍0 > 𝑍𝛼 thì bác bỏ H
ii. Giả sử tổng thể có trung bình (kỳ vọng) μ. Mẫu có kích thước n, trung bình mẫu 𝑥, phương sai mẫu hiệu chỉnh 2chưa biết. Hãy kiểm định giả thiết H0:μ=μ0 với mức ý nghĩa α
2 chưa biết, H1:μ≠μ0 Tiêu chuẩn kiểm định:𝑇 = 𝑋−𝜇0
√𝑛
Ta thấy nếu giả thuyết H 0 đúng thì thống kê 𝑇0 = 𝑋−𝜇0
√𝑛 có phân phối Student T(n-1), đồng thời X là một ước lượng không chệch cho μ.
Từđó ta có quy tắc kiểm định sau :
𝑃 (|𝑋 − 𝜇 0|√𝑛 ≤ 𝑇𝛼(𝑛 − 1)) = 1 − 𝛼
Tìm 𝑇𝛼 từ bảng phân phối Student
Nếu 𝑇0 ≤ 𝑇𝛼, thì chấp nhận H. Nếu 𝑇0 > 𝑇𝛼 thì bác bỏ H
+Ví dụ:
Một vưòn ươm cây giống, theo quy định khi nào cây cao trung bình trên 1m thì
đem ra trồng. Đo ngẫu nhiên 25 cây, được số liệu:
Chiều cao 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
Số cây 1 2 9 7 4 2
Với mức ý nghĩa 5%, có thể đem cây ra trồng không, gải thiết chiều cao của cây theo luật phân phối chuẩn.
Giải:
Gọi μ là chiều cao trung bình của cây trong vườn. Từ mẫu ta có: H0:μ=μ0 =1 ( chưa nên đem cây ra trồng)
-𝑇𝛼 = 𝑇0.05(24) = 2.064
-𝑇0 =|1.068−1|0.122 √25 = 2.787
Vì 𝑇0 > 𝑇𝛼 thì bác bỏ H, nên ta kết luận nên đem cây ra trồng
B. Trường hợp 2 2 chưa biết, H1:μ>μ0 Tiêu chuẩn kiểm định:𝑇 = 𝑋−𝜇0 √𝑛 Ta thấy nếu giả thuyết H 0 đúng thì thống kê 𝑇0 = 𝑋−𝜇0 √𝑛 có phân phối Student T(n-1), đồng thời X là một ước lượng không chệch cho μ.
Từđó ta có quy tắc kiểm định sau : 𝑃 (𝑋 − 𝜇 0√𝑛 > 𝑇𝛼(𝑛 − 1)) = 1 − 𝛼 Tìm 𝑇𝛼 từ bảng phân phối Student Nếu 𝑇0 > 𝑇𝛼, thì chấp nhận H. C. Trường hợp 3 2 chưa biết, H1:μ<μ0 Tiêu chuẩn kiểm định:𝑇 = 𝑋−𝜇0 √𝑛 Ta thấy nếu giả thuyết H 0 đúng thì thống kê 𝑇0 = 𝑋−𝜇0 √𝑛 có phân phối Student T(n-1), đồng thời X là một ước lượng không chệch cho μ.
Từđó ta có quy tắc kiểm định sau :
𝑃 (𝑋 − 𝜇 0√𝑛 < 𝑇𝛼(𝑛 − 1)) = 1 − 𝛼
Tìm 𝑇𝛼 từ bảng phân phối Student Nếu 𝑇0 > 𝑇𝛼, thì bác bỏ H.