Xét một mối quan hệ kinh tế, với biến phụ thuộc, Y, và hai biến giải thích quan sát được, X11 và X22, và một hoặc nhiều biến không quan sát được. Chúng ta có dữ liệu bảng cho Y, X11, và X22. Dữ liệu bảng bao gồm N-đối tượng và T-thời
điểm, và vì vậy chúng ta có NxT quan sát. Mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển không có hệ số cắt được xác định bởi:
Yitit= β11Xit1it1+ β22Xit2it2+ μititvới i = 1, 2, …, N và t = 1, 2, …, T
trong đó Yitit là giá trị của Y cho đối tượng i ở thời điểm t; Xit1it1 là giá trị của X11 cho đối tượng i ở thời điểm t, Xit2it2 là giá trị của X22 cho đối tượng i ở thời điểm t, và μitit là sai số của đối tượng i ở thời điểm t.
Mô hình hồi quy tác động cố định, là một dạng mở rộng của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển, được cho bởi:
Yitit= β11Xit1it1+ β22Xit2it2+ νii+ εitit
trong đó μitit = νii + εitit. Sai số của mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển được tách làm hai thành phần. Thành phần νii đại diện cho các yếu tố không quan sát được khác nhau giữa các đối tượng nhưng không thay đổi theo thời gian. Thành phần εitit đại diện cho những yếu tố không quan sát được khác nhau giữa các đối tượng và thay đổi theo thời gian.
Phương pháp ước lượng
Có hai phương pháp ước lượng được sử dụng để ước lượng các tham số của mô hình tác động cố định.
i) Ước lượng hồi quy biến giả tối thiểu LSDV với mỗi biến giả là đại diện cho mỗi đối tượng quan sát của mẫu.
ii) Ước lượng tác động cố định (Fixed effects estimator).
Khi N lớn, việc sử dụng ước lượng LSDV sẽ rất cồng kềnh hoặc không khả thi. Chẳng hạn, giả sử chúng ta muốn ước lượng mô hình xác định lương. Chúng ta có mẫu N = 1000 người lao động. Để sử dụng ước lượng LSDV, chúng ta sẽ cần tạo ra 1000 biến giả và chạy hồi quy OLS cho hơn 1000 biến. Trong trường hợp như vậy, ước lượng tác động cố định sẽ thích hợp hơn.
Nguyên tắc của ước lương tác động cố định được hiểu như sau. Để đánh giá tác động nhân quả của các biến độc lập X11 và X22 lên biến phụ thuộc Y, ước lượng tác động cố định sử dụng sự thay đổi trong X11, X22, và Y theo thời gian. Gọi Zii kí hiệu cho một biến không quan sát được khác nhau giữa các đối tượng
nhưng không đổi theo thời gian và vì vậy bao gồm cả phần sai số trong đó. Bởi vì Zii không thay đổi theo thời gian nên nó không thể gây ra bất kì sự thay đổi nào trong YitYit; Sở dĩ như vậy là vì không thay đổi theo thời gian, Zii không thể giải thích bất kì sự thay đổi nào trong YitYit theo thời gian. Vì vậy, loại trừ tác động cố định của Zii lên YitYitbằng cách sử dụng dữ liệu sự thay đổi trong YitYit theo thời gian.