Xét một mối quan hệ kinh tế bao gồm một biến phụ thuộc, Y, và hai biến giải thích quan sát được, X11 và X22. Chúng ta có dữ liệu bảng cho Y, X11, và X22. Dữ liệu bảng gồm có N đối tượng và T thời điểm, và vì vậy chúng ta có NxT quan sát.
Mô hình tác động ngẫu nhiên được viết dưới dạng:
YitYit = β11Xit1Xit1 + β22Xit2Xit2 + νii+εitεitvới i = 1, 2, …, N và t = 1, 2, …, T
Trong đó, sai số cổ điển được chia làm 2 thành phần. Thành phần νii đại diện cho tất các các yếu tố không quan sát được mà thay đổi giữa các đối tượng nhưng không thay đổi theo thời gian. Thành phần εit đại diện cho tất cả các yếu tố không quan sát được mà thay đổi giữa các đối tượng và thời gian. Giả sử rằng vii được cho bởi:
vii= α00+ ωii, với i = 1, 2, …, N
Trong đó, vii lại được phân chia làm hai thành phần: i) thành phần bất định a00.
ii) thành phần ngẫu nhiên ωii.
Giả định rằng, ωi cho mỗi đối tượng được rút ra từ một phân phối xác suất độc lập với giá trị trung bình bằng 0 và phương sai không đổi, đó là, E(ωii) = 0 Var(ωii) = sω2 Cov(ωi,ωs) = 0
Nbiến ngẫu nhiên ωi được gọi tác động ngẫu nhiên (random effects). Mô hình tác động ngẫu nhiên có thể được viết lại:
YitYit = α00Xit1Xit1 + β22Xit2Xit2 + μitit
Trong đó: μitit = ωii + εitit. Một giả định quan trọng trong mô hình tác động ngẫu nhiên là thành phần sai số μit không tương quan với bất kì biến giải thích nào trong mô hình.
Phương pháp ước lượng
Ngoài hai phương pháp tác động cố định và tác động ngẫu nhiên, trong một số trường hợp nhà nghiên cứu vẫn sử dụng ước lượng OLS thô (Pooled OLS) cho dạng dữ liệu thu thập này. Ước lượng thô là ước lượng OLS trên tập dữ liệu thu được của các đối tượng theo thời gian, do vậy nó xem tất cả các hệ số đều không thay đổi giữa các đối tượng khác nhau và không thay đổi theo thời gian (Gujarati, 2004 trang 641).