8. Cấu trúc của luận văn
2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh THPT khả năng tự đặt ra các bà
2.2.3.1.Mục đích của biện pháp
Giúp học sinh có khả năng đặt ra bài toán cho chính mình khi phải đối mặt với các tình huống thực trong cuộc sống. Việc thường xuyên vận dụng toán học vào thực tế sẽ giúp học sinh nhìn thấy những khía cạnh toán học ở các tình huống thường gặp trong cuộc sống, tăng cường khả năng giải quyết các vấn đề trong cuộc sống bằng tư duy toán học, giúp tập luyện thói quen làm việc khoa học, nâng cao ý thức tối ưu hóa trong lao động…
2.2.3.2.Nội dung thực hiện biện pháp
Để đạt được mục đích của biện pháp,cần thực hiện các hoạt động trong dạy học Toán như sau:
a) Gợi động cơ bên trong của hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh qua dạy học Đại số và Giải tích 11.
Thông qua hoạt động này để kích hoạt và thúc đẩy hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn ở học sinh, một hoạt động có tác dụng hình thành và phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn ở người học. Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn là khả năng học sinh vận dụng những hiểu biết của mình để chuyển một tình huống thực tiễn về dạng toán học. Năng lực này được hình thành và phát triển thông qua hoạt động toán học hóa của học sinh vì vậy cần làm cho học sinh thấy được tính hữu ích của hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn thông qua dạy học Toán. Thứ nhất, trong dạy học Toán, ngoài những ứng dụng trực tiếp vào đời sống thực tiễn, cần nhấn mạnh các ứng dụng có tính chất gián tiếp của toán học (thông qua quá trình toán học hóa). Chính qua những ứng dụng này, làm cho học sinh thấy được vai trò to lớn của Toán học đối với các khoa học khác và thực tiễn đời sống. Chẳng hạn với mô hình cấp số cộng, cấp số nhân, người ta có thể dễ dàng tính được tổng sản lượng bán ra hoặc thu vào giúp tiết kiệm thời gian và công sức người lao động. Với mô hình cho bài toán kinh tế, người ta xây dựng được quy hoạch sản xuất, mang lại năng suất lao
động cao. Thứ hai, tận dụng các cơ hội có thể để khai thác nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học. Khai thác nguồn gốc thực tiễn của các tri thức này sẽ khêu gợi được động cơ trực tiếp cho việc tiếp thu các tri thức toán học cần truyền thụ. Mặt khác, nó giúp cho học sinh thấy được “địa hạt” ứng dụng thực tế của các tri thức toán học. Từ đó, dần dần hình thành cho học sinh động cơ hoạt động vận dụng toán học vào thực tiễn đời sống. Chẳng hạn khi dạy khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm có nguồn gốc từ việc cần tính vận tốc tức thời của một chuyển động hay cường độ dòng điện tại một thời điểm. Khai thác những vấn đề này, học sinh thấy được vai trò to lớn của toán học trong thực tế đời sống. Không những thế, thông qua quá trình đó, người học thấy được tính phổ dụng của toán học, cùng một tri thức toán học có thể mô tả được các tình huống khác nhau, tùy vào ngữ cảnh cụ thể.
Thiết kế các tình huống có dụng ý sư phạm hấp dẫn cả về hình thức thể hiện bên ngoài và về nội dung toán học bên trong đưa vào trong dạy học, tạo nên hứng thú đam mê cho học sinh trong hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn. Tình huống có vấn đề theo nghĩa "bên ngoài" là tình huống hấp dẫn ngay từ đầu đối người học vì tính hữu ích của nó. Tình huống có vấn đề theo nghĩa "bên trong" được hiểu là sau khi đã "toán học hóa", nó trở thành một tình huống có vấn đề trong nội tại bản thân toán học.
Ví dụ: Bố em có một khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và 4 miếng phụ như hình vẽ. Theo em
kích thước của các miếng phụ là bao nhiêu thì
diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là tốt nhất?
( Tức là diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất).
A B C D d x y
Đây là một tình huống được đánh giá là có vấn đề theo nghĩa cả “bên trong” lẫn “bên ngoài”. Nó là một tình huống có thực, gắn với cuộc sống của con người. Nếu như giáo viên khéo léo chuyển giao cho người học thì các em sẽ có cảm giác như mình là “người trong cuộc”, giải quyết được tình huống này sẽ mang đến điều có ích. Do đó, nó là một tình huống có vấn đề theo nghĩa “bên ngoài”.
Sau khi hướng dẫn học sinh chuyển vấn đề cần giải quyết dạng toán học thì khi đó tình huống sẽ trở thành tình huống có vấn đề theo nghĩa “bên trong” trong thời điểm dạy học đã chỉ ra ở trên. Bởi lí do bằng các kiến thức được trang bị, học sinh chưa thể giải quyết ngay được nhưng họ linh cảm có cái gì đó liên quan đến tri thức được lĩnh hội trên lớp (tri thức về tính đạo hàm của một hàm số). Yếu tố này gây niềm tin cho người học. Nếu cài đặt được nhiều tình huống như trên sẽ gây hứng thú hoạt động toán học ở người học. Sự hứng thú như thế, được duy trì trong dạy học toán một cách thường xuyên, đến một thời điểm nào đó sẽ hình thành ở người học nhu cầu hoạt động này.
Có kế hoạch làm “lây lan” những đam mê, hứng thú tích cực của học sinh từ những lĩnh vực khác sang việc học toán và hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn. Công việc này đòi hỏi nhiều công sức của giáo viên, không thể thực hiện được một sớm một chiều, mà phải kiên trì theo đuổi trong cả quá trình dạy học. Có thể khẳng định rằng, bất kỳ một học sinh nào cũng có sự đam mê, có thể là đam mê tích cực hay là đam mê mang tính tiêu cực. Đối với những đam mê mang tính tiêu cực, đòi hỏi cần phải có cả một hệ thống giáo dục gia đình, nhà trường và xã hội can thiệp. Tất cả các niềm đam mê tích cực khác của người học cần được tôn trọng. Cần phải nghiên cứu kỹ lĩnh vực đam mê học sinh của mình để có thể tìm ra mối quan hệ giữa nó và các tri thức toán học. Từ đó, tìm ra phương án khai thác mối quan hệ này nhằm làm cho học sinh yêu thích toán học hơn và dẫn đến có nhu cầu vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn. Chúng tôi cho rằng, nếu giáo viên kiên trì thực hiện phương án này, công lao sẽ được đền đáp thích đáng.
b) Chú trọng rèn luyện cho học sinh cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học trong dạy học Toán theo tinh thần chuẩn bị cho việc mô tả tình huống thực tiễn một cách chuẩn xác.
Trong dạy học Toán, tác giả Nguyễn Bá Kim cho rằng: “Những hoạt động ngôn ngữ được học sinh thực hiện khi họ được yêu cầu phát biểu, giải thích một định nghĩa, một mệnh đề nào đó, đặc biệt là bằng lời lẽ của mình, hoặc biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác, chẳng hạn từ dạng kí hiệu toán học sang dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngược lại”. Thông qua các dạng hoạt động này, GV rèn luyện cho HS cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Để đạt được mục đích nói trên, cần thực hiện những vấn đề sau đây:
* Tập luyện cho học sinh diễn đạt những tình huống, bài toán theo cách hiểu riêng của mình, dưới nhiều hình thức khác nhau
Hoạt động này một mặt giúp giáo viên kiểm tra mức độ nhận thức của người học; mặt khác, thông qua đó để rèn luyện cho học sinh cả về ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Không những thế, sự diễn đạt các tình huống theo nhiều cách khác nhau còn là cơ sở cho việc đa dạng hóa mô hình mô tả các sự kiện, hiện tượng. Bởi vậy, cần phải chú ý tổ chức hoạt động này trong cả quá trình dạy học Toán.
Chẳng hạn, khi dạy học những định nghĩa, định lý, cần khuyến khích học sinh phát biểu những nội dung này theo cách hiểu riêng của họ và dưới nhiều hình thức khác nhau. Hoạt động này trong dạy học là một hoạt động phức tạp, cần phân bậc theo trình độ của người học; có thể đề xuất một phương án dạy học có 3 mức độ như sau:
- Mức độ 1. Học sinh độc lập tự phát biểu những định nghĩa, định lý bằng cách hiểu riêng của họ. Mức độ này là mức độ cao nhất, đòi hỏi người học phải nắm chắc kiến thức và thuần thục về ngôn ngữ mới có thể thực hiện được.
- Mức độ 2. Học sinh phát biểu lại định nghĩa, định lý toán học bằng các hình thức khác nhau, dưới sự hướng dẫn của giáo viên.
- Mức độ 3. Học sinh kiểm tra, lựa chọn những phát biểu đúng trong những định nghĩa, định lý mà giáo viên đưa ra, trong đó có những phát biểu không chuẩn xác và tiến hành bình luận và sửa chữa sai phạm trong những cách diễn đạt đó.
Ví dụ: Định lý về tính chất hàm liên tục: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f (a) f (b) 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c (a;b) sao cho f (c) 0.
Chúng tôi cho rằng khi dạy định lý này, ngoài những hoạt động mà sách giáo khoa yêu cầu, cần tập luyện cho học sinh phát biểu lại định lý theo các cách khác nhau. Chẳng hạn:
* Ở mức độ 1, học sinh nắm được bản chất vấn đề và có thể phát biểu lại định lý nói trên theo các cách sau:
+ Cách 1: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì phương trình f(x) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b).
+ Cách 2: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì đồ thị hàm số y f (x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm thuộc khoảng (a; b). Sau khi người học đưa ra cách phát biểu thứ hai, giáo viên có thể mô tả tính liên tục của hàm số được thể hiện trên đồ thị là đường “liền mạch” và có thể liên hệ với một tình huống trong cuộc sống: nếu đắp một con đường từ vị trí A đến vị trí B ở hai phía của một con mương thì buộc phải đắp qua mương.
* Ở mức độ 2, sau khi thực hiện xong các hoạt động mà sách giáo khoa yêu cầu, đưa ra gợi ý cho học sinh: có thể thay đổi kết luận của định lý bằng một mệnh đề khác tương đương với nó được không? Từ đó, người học thực hiện liên tưởng và tìm ra cách phát biểu dạng khác của định lý.
* Ở mức độ 3, trình độ học sinh còn thấp nên giáo viên trình bày một số cách phát biểu đã được chuẩn bị, trong đó có những mệnh đề không chuẩn xác. Tiến hành cho học sinh bình luận các phát biểu đó. Chẳng hạn, có thể đưa ra các phát biểu sau:
i) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a)f(b) ≤ 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c (a; b) sao cho f (c) 0 .
ii) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì đồ thị hàm số
y f (x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm thuộc khoảng (a; b).
iii) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì phương trình
f (x) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b).
iv) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c (a; b) sao cho f (c) 0.
v) Nếu hàm số f(x) xác định trên đoạn [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho
Tổ chức tập luyện những hoạt động như trình bày ở trên trong dạy học Toán sẽ làm cho khả năng sử dụng ngôn ngữ của học sinh không ngừng được cải thiện. Không những thế, hoạt động trên còn góp phần hình thành ở người học cách nhìn nhận sự vật hiện tượng theo nhiều cách khác nhau trong mối quan hệ với sự vật hiện tượng khác. Đó là một yếu tố quan trọng cho việc hình thành tư duy biện chứng cho người học, là tiền đề cho khả năng phát hiện ra các quy luật trong thực tiễn đời sống.
* Trong việc rèn luyện ngôn ngữ toán học cho học sinh cần chú trọng cả hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp nhằm giúp người học nắm vững tri thức toán học, góp phần vào việc mô tả tình huống thực tiễn một cách chuẩn xác.
Thực tiễn dạy học Toán cho thấy rằng: nhiều học sinh không có "vốn" về ngôn ngữ toán học hay nói cụ thể hơn là trình độ toán học còn thấp. Điều đó thể hiện qua việc không nắm chắc cả về phương diện cú pháp và phương diện ngữ nghĩa của các thuật ngữ, kí hiệu, công thức toán học. Vấn đề này liên quan đến cả một quá trình dạy học Toán đã được nhiều nhà khoa học giáo dục bàn luận tới.
Ví dụ 1. Học sinh diễn đạt thuật ngữ “biến cố ngẫu nhiên” trong một số tình huống cụ thể không đúng về mặt cú pháp. Chẳng hạn, đối với bài toán sau:
Viết ngẫu nhiên một số có 3 chữ số. Tính xác suất để số viết ra có 3 chữ số đôi một khác nhau.
Ở đây, lẽ ra phải đặt biến cố A: “Viết ra được số có 3 chữ số đôi một khác nhau” để tính xác suất của biến cố này thì không ít học sinh lại đặt A: “Xác suất viết ra được số có ba chữ số khác nhau bằng bao nhiêu?”. Rõ ràng sự diễn tả biến cố ngẫu nhiên của người học là không đúng về mặt cú pháp, vì rằng biến cố ngẫu nhiên là một sự kiện được diễn tả bởi một mệnh đề, đó là một câu khẳng định.
Ví dụ 2. Khi sử dụng các khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp để giải quyết các vấn đề liên
quan đến các tình huống thực tiễn, học sinh thường mắc các sai lầm sau đây:
- Sử dụng các kiến thức về tổ hợp vận dụng vào trong các trường hợp cụ thể thường lẫn lộn giữa các công thức Akn = n(n − 1)(n − 2) … (n − k + 1) và
Cnk = n!
k! (n − k)!
- Nhiều học sinh khi làm việc với Cnk, có thói quen diễn đạt là "tổ hợp chập k của n"; với ký hiệu Akn diễn đạt là "chỉnh hợp chập k của n". Mặc dầu, khi sử dụng công thức, họ vẫn thực hiện đúng, nhưng điều đó xét về mặt ngữ nghĩa là hoàn toàn sai lầm.
Nguyên nhân chính dẫn đến các sai lầm này là người học không nắm được mặt ngữ nghĩa của các công thức, ký hiệu toán học. Nếu chú trọng về mặt ngữ nghĩa của các thuật ngữ, ký hiệu thì không những không mắc sai lầm mà còn nâng cao khả năng sử dụng của chúng. Chẳng hạn, nếu nắm chắc phương diện ngữ nghĩa của ký hiệu Cnk là biểu đạt số các tập con k phần tử của tập n phần tử thì học sinh có thể mau chóng tìm ra cách chứng minh công thức
c) Rèn luyện cho học sinh quen dần với việc tự đặt ra các bài toán để giải quyết một số tình huống đơn giản trong thực tiễn
Giáo viên cho học sinh khai thác các khía cạnh của các tri thức (đã dự tính từ trước), đưa ra các tác động sư phạm thích hợp, để người học kết nối được các ý tưởng của toán học với các yếu tố thực tiễn. Trên cơ sở đó, họ có thể tự phát biểu ra các tình huống, bài toán và “bắt chước”, độc lập tiến hành những quá trình tương tự. Chú ý rằng, trong khi học sinh phát biểu những tình huống, bài toán, cần sữa chữa những sai lầm của người học thuộc về phạm trù ngôn ngữ. Chẳng hạn, sau khi trình bày định nghĩa cấp số cộng và cấp số nhân, giáo viên có thể yêu cầu ngay học sinh thực hiện hoạt động này. Với những gì người học đã được trải nghiệm trong cuộc sống, họ có thể phát biểu được các tình huống sau:
- Dãy số nhà trên một đường phố (về một phía) là cấp số cộng với công sai d 2.
- Dãy các khoảng cách từ các cột điện thoại đến cột đầu tiên trên một con đường thẳng là cấp số cộng với công sai d là khoảng cách giữa hai cột liên tiếp.
- Một người gửi một khoản tiền A vào ngân hàng, với lãi suất là 10% một năm. Khi đó, dãy số tiền của người đó có trong ngân hàng, qua từng năm (cả vốn lẫn lãi) là cấp số nhân với công bội q 1,1.
d) Kích thích học sinh tự đặt ra các bài toán bằng cách ủy thác cho người học