8. Cấu trúc của luận văn
2.2.2. Biện pháp 2: Đề xuất hệ thống bài tập Đại số và Giải tích 11 theo
gắn với bối cảnh thực của học sinh
2.2.2.1. Mục đích của biện pháp
Đề xuất hệ thống bài tập theo chủ đề theo hướng gắn với bối cảnh thực của HS nhằm kiểm tra đánh giá khả năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tễn của HS.
2.2.2.2. Nội dung của biện pháp
Để đạt được mục đích của biện pháp, cần thực hiện các hoạt động trong dạy học Toán như sau: Khai thác một số mô hình toán học, tạo điều kiện cho học sinh phát biểu các tình huống, các bài toán liên quan đến thực tiễn. Mô hình toán ở đây được hiểu là các tri thức toán học tương đối hoàn chỉnh, diễn tả tình huống
nào đó trong cuộc sống. Hoạt động trên, có thể ví như đã có một “bộ xương” (toán học thuần túy), người học có nhiệm vụ “đắp” phần “thịt” để có một “cơ thể sống”. Mục đích là tạo nên các “hình ảnh”, giúp học sinh liên tưởng tới các tình huống gặp phải trong cuộc sống, để đặt ra các bài toán cho chính mình. Điều cốt lõi, người học phải tìm được các tình huống thực tiễn tương hợp với mô hình có sẵn nên không đơn giản. Bởi vậy, giáo viên nên lựa chọn những tri thức toán học đơn giản, có nhiều ứng dụng trực tiếp trong thực tiễn; tốt nhất là người học đã được trải nghiệm một phần, qua quá trình học tập ở các lớp dưới. Sau đây, tôi sẽ minh họa ý tưởng trên qua dạy học một số chủ đề cụ thể.
a. Chủ đề Tổ hợp - Xác suất
Bài tập 1: Giờ ra chơi nhóm em tổ chức chơi trò chơi gieo xúc sắc và có 2 cách chơi như nhau:
Cách 1: Gieo một lần 4 con xúc sắc nếu xuất hiện một mặt 6 chấm là thắng. Cách 2: Gieo 24 lần 1 cặp xúc sắc, xuất hiện một cặp (6,6) thì thắng.
Em đang suy nghĩ xem nên chơi theo cách nào thì phần thắng sẽ cao hơn?
Lời giải:
Đối với cách 1:
Gọi A1 là biến cố “được ít nhất một mặt 6 chấm” trong phép thử “gieo một lần 4 con xúc sắc”. P(A̅̅̅) =1 54 64 ⇒ P(A1) = 1 − (5 6) 4 = 0,5177
Đối với cách 2: khi gieo một lần 1 cặp xúc sắc có 36 kết quả đối xứng
Nên gieo 24 lần một cặp xúc sắc ta có 3624 kết quả đối xứng. Gọi 𝐴2 là biến cố “được một cặp (6,6) ít nhất một lần” trong phép thử gieo 24 lần một cặp xúc sắc. Biến cố A̅̅̅̅2: “không được cặp (6,6) nào”
P(A̅̅̅̅) =2 3524
3624 ⇒ P(A2) = 1 − P(A̅̅̅̅) = 0,49142
Bài tập 2: Em và bạn em đi đến khu vui chơi và có đi qua khu trò chơi chọn bóng. Em thấy người chủ trò cầm một túi vải trong đó có 6 quả bóng màu đen, 6 quả bóng màu trắng và điều kiện chơi như sau:
Bạn bỏ ra 20.000đ thì được chọn 6 quả bóng.
Nếu bạn chọn được 5 quả màu trắng 1 quả màu đen hoặc 5 quả màu đen 1 quả màu trắng thì bạn được thưởng 50.000đ;
Nếu bạn chọn được 4 quả màu trắng và 2 quả màu đen hoặc 4 quả màu đen và 2 quả màu trắng bạn được thưởng 200đ;
Nếu bạn chọn 3 quả màu trắng và 3 quả màu đen bạn không được thưởng mà bị mất luôn 20.000đ.
Em và bạn em đắn đo có nên chơi hay không và nếu chơi thì khả năng sẽ thu được bao nhiêu tiền.
Lời giải:
Ta thấy rằng khả năng lấy được 6 quả màu đen hoặc 6 quả màu trắng là chỉ có 1 khả năng.
Nếu lấy 5 màu đen và 1 màu trắng hoặc lấy 5 trắng 1 đen thì có C65. C61 = 36 khả năng.
Nếu lấy 4 trắng 2 đen hoặc 4 đen 2 trắng thì có C64. C62 = 225 khả năng Nếu lấy 3 trắng 3 đen thì có C63. C63 = 400 khả năng.
Vậy các khả năng có thể xảy ra là n = (1 + 36 + 225).2 + 400 = 924 khả năng. Xác suất chọn 6 quả cùng màu là:
2
924= 0,002
Xác suất chọn 5 đen 1 trắng hoặc 5 trắng 1 đen là:
72
924= 0,078
Xác suất chọn 4 trắng 2 đen hoặc 4 đen 2 trắng là:
450
Xác suất chọn 3 trắng 3 đen là:
400
924= 0,433
Do đó nếu bỏ ra 20.000đ thì khả năng người chơi thu được là:
(50000.0,002 + 2000.0,078 + 200.0,487).10 = 3534 đồng
Người chủ trò thu được 16466đ.
b. Chủ đề Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân
Bài tập 3: Vào đầu mùa thu hoạch dưa hấu, gia đình em đã bán cho người thứ nhất nửa số dưa hấu thu hoạch được và nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số dưa hấu còn lại và nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số dưa hấu còn lại và nửa quả, v.v… Đến lượt người thứ bảy gia đình em cũng bán nửa só dưa hấu còn lại và nửa quả thì không còn quả nào nữa.
Vậy gia đình em đã thu hoạch được bao nhiêu quả dưa hấu đầu mùa?
Lời giải:
Gọi x là số dưa hấu thu hoạch được đầu mùa của gia đình em. Người khách hàng thứ nhất đã mua: x 2+ 1 2= x + 1 2 quả Người thứ 2 mua: 1 2(x − x + 1 2 ) + 1 2= x + 1 22 quả Người thứ 3 mua: 1 2(x − x + 1 2 − x + 1 22 ) +1 2= x + 1 23 quả ……….. ……….. Người thứ 7 mua: x + 1 27 quả Ta có phương trình:
x + 1 2 + x + 1 22 +x + 1 23 + ⋯ +x + 1 27 = x ⇔(x + 1) (1 2+ 1 22+ ⋯ + 1 27) = x (∗)
Tính tổng các số hạng của cấp số nhân trong ngoặc ta được:
1 2+ 1 22+ ⋯ + 1 27 = 1 2. 1 − 1 27 1 2 =127 128 Do đó phương trình (∗) (x + 1).127 128 = x x = 127
Vậy gia đình em đã thu hoạch được 127 quả dưa hấu đầu mùa.
Bài tập 4: Em muốn mua món quà tặng mẹ nhân ngày 8/3 giá trị 800.000 đồng và quyết định bỏ ống heo 500 đồng bắt đầu từ ngày 1 tháng 1 năm đó. Tiếp theo cứ ngày sau cao hơn ngày trước 500 đồng. Em đang băn khoăn liệu đến ngày 8/3 em có đủ tiền mua món quà dự định không?
Lời giải:
Từ ngày 1 tháng 1 đến ngày 8 tháng 3 có ít nhất là: 31 + 28 + 8 = 67 (ngày). Số tiền bỏ ống heo củaem mỗi ngày tăng theo cấp số cộng với công sai bằng 500 đồng. Do đó tổng số tiền có được của em đến ngày 8 tháng 3 là:
76.500 +67. (67 − 1)
2 . 500 = 1139000 (đồng)
Vậy em có đủ tiền mua quà tặng mẹ.
Bài tập 5: Kì nghỉ hè vừa rồi em đi làm thêm và kiếm được một khoản tiền không nhỏ. Em định sử dụng số tiền đó để mua chiếc xe máy điện phục vụ cho việc đi học và mua theo phương thức trả góp. Theo phương thức này sau một tháng kể từ khi nhận xe em phải trả đều đặn mỗi tháng một lượng tiền nhất định nào đó, liên tiếp trong 24 tháng. Giá chiếc xe máy điện thời điểm em mua là 16 triệu đồng và lãi suất ngân hàng là 1% một tháng. Em đang suy nghĩ xem với mức trả hàng tháng là bao nhiêu thì việc mua trả góp là chấp nhận được?
Lời giải:
Gọi khoản tiền phải trả hàng tháng là a (đồng). Nếu gửi vào ngân hàng thì giá trị hiện tại của toàn bộ khoản tiền trả góp tại thời điểm nhận hàng là:
a 1 + 0,01+ a (1 + 0,01)2+ a (1 + 0,01)3+ ⋯ + a (1 + 0,01)24 = a. 100 101. [1 − ( 100 101) 24 ] 1 −100101 ≈ 21,24a (đồng)
Như vậy, việc mua trả góp sẽ tương đương với mua trả ngay (bằng cách vay ngân hàng) nếu:
24,21a = 16.000.000 (đồng) ⇔ a = 660.883,9 (đồng)
Vậy nếu mẹ em trả góp với số tiền ít hơn 660.883,9 (đồng) thì chấp nhận được.
Bài tập 6: Bố em cùng một nhóm thợ xây hợp đồng xây dựng một tòa tháp 10 tầng cho một ngôi chùa và đang cần tính tổng diện tích các mặt sàn để lát gạch men. Biết rằng diện tích mặt sàn tầng dưới cùng là 84,64 𝑚2, diện tích mặt sàn trên bằng 0,8 diện tích mặt sàn dưới liền kề và mỗi viên gạch men có kích thước 30 x 30cm.
Em hãy tính giúp bố em xem cần phải mua khoảng bao nhiêu viên gạch men?
Lời giải:
Nếu gọi 𝑆1 là diện tích của mặt đáy tháp thì S1 = 84,64m2 𝑆𝑖 là diện tích mặt trên của tầng thứ i, i = 1; 10̅̅̅̅̅̅
Ta nhận thấy {Si, i = 1; 10̅̅̅̅̅̅} lập thành một cấp số nhân với công bội q = 0,8
Và tổng diện tích mặt trên của 10 tầng tháp là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân trên. T10 = S1.(1 − q 10) 1 − q = 84,64. 1 − 0,810 1 − 0,8 = 377,759 m 2
Diện tích mỗi viên gạch là 30 × 30 = 900 cm2 = 0,09 m2
Trong quá trình xây dựng có thể viên gạch hoa được cắt ra nên ta mua số lượng nhiều hơn số liệu tính toán.
Vậy em tư vấn bố em mua khoảng 4200 viên.
Bài tập 7: Lớp em đi thực tế môn học ở một huyện vùng cao và nhóm em được giao nhiệm vụ điều tra về số lượng bò ở huyện đó. Qua điều tra thấy được trong nhiều năm qua tỉ lệ tăng đàn hàng năm là 2% và số lượng bò tính đến ngày 1/1/2018 là 18.000 con. Em đang suy nghĩ xem với tỉ lệ tăng đàn như vậy thì sau 3 năm số lượng bò sẽ đạt tới bao nhiêu con?
Lời giải:
Gọi 𝑆0 là tổng số bò theo thống kê ban đầu; 𝑞 là tỉ lệ tăng hàng năm; 𝑛 là số năm phát triển (n ∈ ℕ∗) và Si,(i = 1; n̅̅̅̅̅) là tổng số bò sau 𝑖 năm.
Số bò sau 1 năm phát triển là: S1 = S0+ S0q = S0(1 + q)
Số bò sau 2 năm phát triển là: S2 = S1+ S1q = S0(1 + q) + S0(1 + q)q
= S0(1 + q)2
Số bò sau 3 năm phát triển là: S3 = S2 + S2q = S0(1 + q)2 + S0(1 + q)2q
= S0(1 + q)3
Như vậy, tổng số bò sau mỗi năm phát triển lập thành một cấp số nhân với công
bội (1 + q) và S1 = S0(1 + q). Vậy sau n năm tổng số bò là:
Sn = S1(1 + q)n−1 = S0(1 + q). (1 + q)n−1 = S0(1 + q)n
Áp dụng công thức này cho bài toán trên ta có:
S3 = 18000. (1 + 0,02)3 = 19102 (con).
Bài tập tự giải
Bài tập 8: Bạn em vào ngày 1 tháng 5. Bạn ấy muốn mua một chiếc máy ảnh giá 712000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình. Bạn em quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 1 tháng 1 của năm đó, sau đó cứ liên tục ngày sau cao hơn ngày trước 100 đồng. Theo em đến sinh nhật của mình bạn ấy có đủ tiền mua quà không?
Bài tập 9: Gia đình em buôn bưởi Đoan Hùng với giá nhập ban đầu là 30.000 đồng một quả. Với giá bán ra 50.000 đồng một quả thì gia đình em chỉ bán được 40 quả nên có dự định giảm giá bán. Ước tính nếu cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán ra được tăng thêm là 50 quả. Gia đình em đang suy nghĩ xem nên bán với giá bao nhiêu thì thu được lợi nhuận lớn nhất?
Lời giải:
Gọi x (đồng) là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi. (30.000 ≤ x ≤ 50.000)
Ta có thể lập luận như sau:
Giá 50.000 đồng thì bán được 40 quả bưởi. Giảm giá 5000 đồng thì bán được thêm 50 quả.
Giảm giá 50.000 − x thì bán được thêm bao nhiêu quả? Theo quy tắc tam xuất số quả bưởi bán thêm được là:
(50000 − x). 50
5000=
1
100. (50000 − x)
Do đó số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán x:
40 + 1
100. (50000 − x) = −
1
100x + 540
Gọi F(x) (đồng) là hàm lợi nhuận thu được Ta có: F(x) = (− 1
100x + 540) . (x − 30000) = − 1
100x2+ 840x − 16200000
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của
F(x) = − 1 100x2+ 840x − 16200000, Điều kiện 30.000 ≤ 𝑥 ≤ 50.000) F′(x) = − 1 50x + 840 F′(x) = 0 ⇔ − 1 50x + 840 = 0 ⇔ x = 42000
Vì hàm F(x) liên tục trên 30.000 ≤ x ≤ 50.000 nên ta có:
F(30000) = 0
F(42000) = 1440000 F(50000) = 800000
Vậy với x = 42000 thì F(x) đạt giá trị lớn nhất.
Vậy để thu được lợi nhuận cao nhất thì gia đình nên bán 42.000 đồng một quả.
Bài tập 10: Gia đình em có 50 căn hộ cho thuê. Như năm ngoái thì nếu gia đình em cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống. Gia đình em đang tính toán lại nên cho thuê với giá bao nhiêu thì thu nhập là cao nhất?
Lời giải:
Gọi x (đồng) là giá thuê thực tế của mỗi căn hộ, (x ≥ 2000.000 đồng) Ta có thể lập luận như sau:
Tăng giá 100.000 đồng thì có 2 căn hộ bị bỏ trống.
Tăng giá x − 2000.000 đồng thì có bao nhiêu căn hộ bị bỏ trống.
Theo quy tắc tam xuất ta có số căn hộ bị bỏ trống là:
2(x − 2000000)
100000 =
x − 2000000 50000
Do đó khi cho thuê với giá x đồng thì số căn hộ cho thuê là:
50 −x − 2000000
50000 = −
x
50000+ 90
Gọi F(x) là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, (F(x): đồng) Ta có: F(x) = (− x 50000+ 90) x = − 1 50000x 2+ 90x
(bằng số căn hộ cho thuê nhân với gía cho thuê mỗi căn hộ). Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của F(x) = − 1
50000x2+ 90x, điều kiện:
x ≥ 2000000.
F′(x) = − 1
25000x + 90
Ta có bảng biến thiên:
x 2000000 2250000 +∞
F’(x) + 0 −
F(x) Fmax
Suy ra F(x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 2250000
Vậy gia đình em phải cho thuê với giá 2250000 đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất.
Bài tập 11: Em đi xem chiếu bóng ở nhà văn hóa phường và được biết màn hình chiếu bóng đó là một hình chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn ảnh). Ở đó rất đông người xem và em đang tính toán để tìm một vị đứng sao cho góc nhìn là lớn nhất.
Lời giải:
Với bài toán này ta cần xác định OA để góc BOĈ lớn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOĈ lớn nhất.
Đặt OA = x(m) với x > 0, Ta có:
TanBOĈ = tan(AOĈ − AOB̂)
= tanAOĈ − tanAOB̂ 1 + tanAOĈ. tanAOB̂ = AC OA− AB OA 1 +AC. AB OA2 = 1,4 x 1 +3,2 + 1,8 x2 = 1,4x x2+ 5,76 Xét hàm số f(x) = 1,4x x2+ 5,76
Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có:
O A C B 1,4 1,8
f(x) =−1,4x
2+ 1,4.5,76
(x2+ 5,76)2 , f(x) = 0 ⇒ x = ±2,4
Ta có bảng biến thiên:
Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn hình 2,4m.
Bài tập 12: Em có 1 miếng bìa cacton hình vuông rất đẹp với kích thước 12 (cm), em muốn làm thành một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật không có nắp để đựng những ngôi sao gấp bằng giấy trang trí cho góc học tập của mình. Để làm được, em phải cắt đi ở 4 góc 4 hình vuông rồi sau đó gấp lại.Vì số lượng sao khá nhiều nên chiếc hộp càng to càng tốt. Em đang suy nghĩ xem phải cắt như thế nào để chiếc hộp có thể tích lớn nhất?
Lời giải:
Gọi cạnh của hình vuông bị cắt là x (0 < x < 6).
Khi cắt tấm nhôm hình vuông và gập thành một cái hộp thì độ dài của cái hộp là : 12 – 2x Ta có thể tích hộp là : V = x(12 − 2x)2 = 4x3− 48x2+ 144 Bài toán trở thành tìm x để V lớn nhất. Ta có : V′ = 12x2− 96x + 144 V′ = 0 ⇔ 12x2− 96x + 144 = 0 ⇔ [x = 2 x = 6 Ta có bảng biến thiên: x 0 2 6 + 0 f(x) f'(x) x 2,4 + _ 0 0 0
V’(x) + 0 − V(x)
128
Vậy để thể tích hộp lớn nhất thì x = 2cm.
Bài tập tự giải
Bài tập 13: Gia đình em nuôi tôm với diện tích ao là 100𝑚2. Vụ tôm vừa rồi gia đình em nuôi tôm với mật độ là 1(𝑘𝑔/𝑚2) tôm giống và sản lượng tôm khi thu hoạch khoảng 2 tấn. Với kinh nghiệm nuôi tôm nhiều năm bố em cho biết cứ thả