Một số thủ pháp hoạt động nhận thức Tốn học cụ thể

6. Cấu trúc luận văn

1.2.5 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức Tốn học cụ thể

Trên bình diện tri thức PP theo quan điểm hoạt động, luận văn đề xuất một số TPHĐNT Tốn học sau đây:

1.2.5.1 Thủ pháp chia nhỏ đối tượng

*) Nguyễn Bá Kim [15] cho rằng: quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ. Khi lĩnh hội và tìm hiểu ý nghĩa của một tri thức tốn học nào đĩ, ta tiến hành phân chia thành các phần nhỏ, để hiểu và lĩnh hội từng phần nhỏ, từ đĩ hiểu cái tổng thể. Trong vận dụng kiến thức Tốn học vào giải quyết một vấn đề phức tạp, nên chia nhỏ vấn đề đĩ ra thành các vấn đề đơn giản để giải quyết. Cĩ nhiều cách “chia nhỏ” và những cách chia nhỏ mang tính khéo léo đạt hiệu quả được gọi là thủ pháp.

Cĩ thể hiểu rằng: Thủ pháp chia nhỏ đối tượng là cách thức tìm hiểu đặc

điểm, mối quan hệ của các đối tượng nhằm mục đích phân chia khéo léo một đối tượng phức tạp thành các đối tượng đơn giản hơn giúp ta tiếp cận được lời

giải nhanh nhất. Thủ pháp này cĩ cấu trúc gồm các bước: Tìm hiểu thu thập

các kiến thức liên quan đến vấn đề cần giải quyết; Phân chia vấn đề cần giải quyết thành các vấn đề đơn giản hơn; Đưa ra giải pháp giải quyết từng vấn đề đơn giản.

Thủ pháp chia nhỏ khơng chỉ ra cách chia như thế nào mà tùy thuộc vào các đối tượng trong từng tình huống cụ thể, HS cĩ thể lựa chọn cách chia phù hợp. Thủ pháp chia nhỏ đem lại nhiều lợi ích cho HS, cụ thể như: Giúp HS thay vì giải quyết một vấn đề rộng cĩ tính khái quát bằng giải quyết một vấn đề hẹp cĩ tính cụ thể hơn; Giúp HS luyện tập khả năng liên tưởng, trí tưởng tượng và linh động hơn trong nhìn nhận và giải quyết các vấn đề. Cho HS luyện tập với thủ pháp phân tích giúp HS ghi nhớ, tái hiện, hiểu, nắm vững và vận dụng kiến thức tốt hơn. Khi dạy khái niệm, việc chia nhỏ các thuộc tính bản chất của khái niệm giúp HS nắm vững nội hàm của khái niệm hơn.

Trong chia nhỏ đối tượng địi hỏi sự khéo léo của người phân chia nếu chia quá nhiều và quá nhỏ sẽ làm cản trở suy nghĩ, khơng tập trung được vào điểm mấu chốt và nhìn ra được điểm mấu chốt. Khi chia nhỏ vấn đề, điều quan trọng là phải nhận ra chi tiết nào là hữu ích và cần thiết. Để làm được điều này ta phải xem xét vấn đề một cách tổng thể, phải nghiên cứu thật sát, thật hiểu vấn đề, phân chia từng bước và khơng đi quá xa khi chưa cần thiết.

Ví dụ 1.3. Sử dụng thủ pháp chia nhỏ đối tượng trong bài tốn phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương:

Cho ABC. Gọi I J, là hai điểm định bởi: IA2IB và 3JA2JC0. Phân tích IJ theo hai vectơ AB AC, .

- Tìm hiểu đối tượng: Khi giải bài tốn này, chướng ngại gặp phải là HS

mới làm quen với khái niệm vectơ, các phép tốn vectơ nên cịn nhiều bỡ ngỡ với dạng tốn này. Bài tốn yêu cầu phân tích IJ theo AB AC, tức là phải biểu thị mối quan hệ giữa IJ với hai vectơ AB AC, . Vectơ IJcĩ thể được phân tích

P

N M

A

B C

thành hiệu của hai vectơ AI AJ, do đĩ ta sẽ chia nhỏ bài tốn này bằng cách biểu thị mối quan hệ giữa AI AJ, với hai vectơ AB AC, .

- Biến đổi đối tượng:

Ta cĩ: IA2IB IA2IAAB AI 2AB 3 2  0 3 2   0  2 5 JA JC JA JA AC AJ AC Do đĩ:    2 2 5 IJ AJ AI AC AB Vậy ta cĩ phân tích  2 2 5 IJ AB AC

Ví dụ 1.4. Sử dụng thủ pháp chia nhỏ đối tượng trong chứng minh đẳng thức vectơ :

Cho tam giác ABC. Các điểm M N, và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, và BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta cĩ:

OA OB OCOM ONOP

- Tìm hiểu đối tượng: Đối với dạng tốn chứng minh một đẳng thức cĩ

rất nhiều cách như biến đổi một vế bằng vế cịn lại hoặc biến đổi tương đương cả hai vế hoặc biến đổi đẳng thức tương đương với một đẳng thức được cơng nhận là đúng. HS đã quen thuộc với việc biến đổi đẳng thức đại số, nhưng trong trường hợp này là một đẳng thức vectơ vậy làm thế nào để biến đổi được chúng? Ta phán đốn rằng chia nhỏ (phân tích) các vectơ này thành tổng (hiệu) của hai vectơ để xuất hiện các thành phần chung kết hợp với kiến thức về các phép tốn vectơ giúp cho việc chứng minh được dễ dàng hơn.

- Biến đổi đối tượng:

Biến đổi vế trái: (Hình 1.2)

       

OA OB OC OM MA OP PB ON NC

OMONOPMANMAN OMONOP

(Vì PBNM NC,  AN và MA NM AN NM MA AN NN  0) Khi gặp một tình huống cần phải xem xét để tìm hiểu thuộc tính của tất cả các đối tượng và mối quan hệ của chúng để biến đổi cho hiệu quả. Thủ pháp chia nhỏ thể hiện tính độc đáo ở chỗ cùng là chia nhỏ nhưng cĩ cách phân chia sẽ khơng giải quyết được vấn đề, cĩ cách phân chia giải quyết được vấn đề nhưng khơng nhanh, cịn cách phân chia dẫn đến việc GQVĐ hiệu quả tương đối dễ dàng và thuận lợi là “thủ pháp”. Cĩ nhiều cách chia khác nhau cùng cĩ thể giải quyết được vấn đề và mỗi cách cĩ những thế mạnh và nét độc đáo riêng. Thủ pháp chia nhỏ nĩ chính là một “nghệ thuật”, mà mục tiêu của nĩ là thay vì GQVĐ phức tạp ta đi giải quyết những vấn đề đơn giản.

*) Tình huống sử dụng: Thủ pháp chia nhỏ được sử dụng trong trường

hợp khi gặp vấn đề phức tạp, mà các cách giải quyết đã biết khơng thực hiện được. Khi đĩ, căn cứ vào các thơng tin đã cho và kiến thức đã cĩ suy nghĩ cách phân chia thành những vấn đề đơn giản hơn cĩ thể giải quyết được. Việc phân chia một vấn đề thành các vấn đề đơn giản hơn, làm cho các vấn đề này cĩ thêm các tính chất mới thuận lợi hơn để giải quyết.

1.2.5.2 Thủ pháp dịch chuyển bài tốn sang dạng khác

*) Theo Trần Thúc Trình [30] cĩ thể định nghĩa một khái niệm theo nhiều cách tương đương; Chẳng hạn, cĩ bốn dạng định nghĩa tích vơ hướng của hai vectơ là dạng đại số, dạng lượng giác, dạng tọa độ, dạng hình chiếu; Và để giải tốn HH bằng PP vectơ, HS cần biết “dịch chuyển” từ ngơn ngữ HH sang ngơn ngữ vectơ. Để GQVĐ thành cơng, cần phải cĩ sự khéo léo, linh động trong việc dịch chuyển giữa các ngơn ngữ như: đại số, giải tích, HH, lượng giác,... Cĩ thể hiểu rằng: Thủ pháp dịch chuyển bài tốn là cách thức tìm hiểu đặc điểm, mối quan hệ của các đối tượng nhằm mục đích chuyển đổi khéo léo một đối tượng từ ngơn ngữ này sang ngơn ngữ khác để giải quyết một tình

huống cụ thể thuận lợi hơn. Thủ pháp này gồm các bước: Tìm hiểu vấn đề cần

giải quyết; Diễn đạt thơng tin trong vấn đề theo ngơn ngữ khác, dẫn nĩ đến một dạng thuận lợi hơn khi giải quyết.

Ví dụ 1.5. Sử dụng thủ pháp dịch chuyển bài tốn, giải bài tốn: “Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 2

( 1) ( 1) | 2 |

A x  y  x  y  y ”.

- Tình huống cụ thể: Chứng minh bất đẳng thức là một vấn đề khĩ khăn

với nhiều HS. Việc đánh giá các bất đẳng thức khơng phải là dễ dàng.

- Tìm hiểu đối tượng: Biểu thức chứa các căn bậc hai của tam thức bậc

hai. Các căn thức này gợi liên tưởng đến biểu thức tính độ dài của vectơ trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Trong tọa độ Oxy, các bài tốn thường dễ giải hơn thơng qua biểu diễn tọa độ vectơ, điểm bằng các biểu thức giải tích.

- Biến đổi đối tượng:

Từ bài tốn, gợi nhớ đến cơng thức độ dài vectơ: a   b a b .

Xét a 1 x y; , bx1;y  a b 2;2y, ta cĩ: 2 4 4 | 2 | A  y  y 2 2 2 2 2 ( 3 1 )(1 y ) |y 2 | ( 3 y) | y 2 |          | 3 | | 2 | | 3 2 | 3 2   y   y    y y  3 2 Min A    , khi x0, 1 3  y .

Ví dụ 1.6. Sử dụng thủ pháp dịch chuyển bài tốn trong giải phương trình: x2 2x 5 x2 2x10  29

- Tìm hiểu đối tượng: Biểu thức chứa các căn bậc hai của tam thức bậc

hai. Các căn thức này gợi liên tưởng đến biểu thức tính độ dài của vectơ trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

- Biến đổi đối tượng: 2 2 2 5 2 10 29 x  x  x  x  2 2 2 2 (x 1) 2 (x 1) 3 29        Đặt    2 2 1;2 1 2 u x  u  x     2 2 1;3 1 3 v   x  v x  Suy ra u v  2;5   u v 29

Như vậy (1)     u v u v u v, cùng hướng

    1

3 1 2 1 0

5

x x x

       

Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất 1

5

x .

Để thực hiện được việc dịch chuyển bài tốn được thuận lợi và dễ hơn, cần phải xem xét đặc điểm của bài tốn nhận ra mối liên hệ của bài tốn thuộc lĩnh vực khác nhau. Việc dịch chuyển bài tốn là một nghệ thuật, mà chỉ cĩ thể lĩnh hội được trong kết quả của sự phân tích sâu sắc thường xuyên các hoạt động giải quyết các tình huống tốn học và thường xuyên luyện tập giải quyết các tình huống tốn học khác nhau.

*) Tình huống sử dụng: Thủ pháp dịch chuyển bài tốn dựa trên cơ sở

mối quan hệ giữa giải tích với đại số, HH và lượng giác. Khi ta gặp một bài tốn với ngơn ngữ này khĩ cĩ thể giải quyết thì ta cĩ thể diễn đạt lại bài tốn dưới ngơn ngữ khác.

1.2.5.3 Thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian

*) Theo Polya [23], bài tốn phụ là một phương tiện để đạt được mục đích, nĩ mở đường cho ta đi đến mục đích, tìm ra con đường đi đến giải một bài tốn tưởng chừng như khơng thể giải nổi bằng cách nghĩ ra bài tốn phụ riêng cho mục đích này. Lấy ý tưởng từ bài tốn phụ, ở một giai đoạn bất kì

nào đĩ trong quá trình GQVĐ, cĩ khi ta cần phải suy nghĩ tìm yếu tố phụ làm cầu nối trung gian để giải quyết, để chọn được yếu tố trung gian thuận lợi cho GQVĐ khơng phải lúc nào cũng đơn giản. Cĩ thể hiểu rằng: Thủ pháp sử dụng

yếu tố trung gian là cách thức tìm hiểu đặc điểm, mối quan hệ của các đối tượng nhằm mục đích lựa chọn khéo léo một đối tượng làm cầu nối trung gian để giải quyết tình huống thuận lợi hơn. Thủ pháp gồm các bước: Tìm hiểu vấn

đề cần giải quyết; Chọn yếu tố trung gian để chuyển vấn đề phức tạp cần giải quyết về vấn đề đơn giản.

Trong tốn học thủ pháp này được sử dụng trong các bài tốn dưới dạng sử dụng bài tốn phụ, sử dụng bất đẳng thức trung gian, đặt ẩn phụ, kẻ thêm đường phụ, giải tốn bằng PP gián tiếp. Để tìm được cách giải một bài tốn hay giải quyết một vấn đề trong tốn học, ta phải tìm cách biến đổi bài tốn hay biến đổi vấn đề về dạng đơn giản hơn. Sự thành cơng trong giải tốn hay GQVĐ phụ thuộc vào việc chọn phần tử trung gian cũng như việc biến đổi đưa về bài tốn trung gian. Khi đưa các yếu tố trung gian vào bài tốn, cần phải xem xét cơ sở và mục đích của việc sử dụng yếu tố trung gian này. Trong GQVĐ, nếu các yếu tố trung gian được đưa vào đột ngột sẽ khơng bồi dưỡng được khả năng suy luận và quá trình suy nghĩ GQVĐ của HS.

Ví dụ 1.7. Vận dụng thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian trong bài tốn tính gĩc giữa hai vectơ:

Cho ABC vuơng tại A và cĩ gĩc B500. Tính AB BC,  ; AC CB, 

- Tìm hiểu đối tượng: Để tính được gĩc giữa

hai vectơ ta phải đưa hai vectơ về chung một gốc rồi mới xác định được gĩc giữa chúng bằng bao nhiêu.

- Biến đổi đối tượng:

TínhAB BC,  chọn B làm gốc dựng ' BA  AB khi đĩ:    0 , ', 130 AB BC  BA BC  Hình 1.3 140° 130° 50° C A B A'' A'

E N M D B C A TínhAC CB,  chọn C làm gốc dựng CA'' AC khi đĩ:     0 , '', 140 AC CB  CA CB 

Ví dụ 1.8. Vận dụng thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian trong bài tốn tính tỉ số:

Cho ABCcĩ trung tuyến AD. Gọi M là trung điểm của AD, BM cắt

AC tại N. Tính NM

NB .

- Tình huống cụ thể: Bài tốn so sánh tỉ số là một vấn đề khĩ khăn đối

với nhiều HS. Việc thiết lập tỉ số giữa các vectơ là khơng hề dễ dàng.

- Tìm hiểu đối tượng: Với bài tốn này việc so sánh các vectơ với nhau dường như là khơng thể, từ đĩ nảy sinh suy nghĩ ta phải so sánh các vectơ này thơng qua một vectơ trung gian dẫn đến việc phải kẻ thêm đường phụ.

- Biến đổi đối tượng:

Dựng DE//BN. Xét ADE ta cĩ:

M là trung điểm của AD mà NM//ED

 NM là đường trung bình của tam giác

ADE  1 2 NM ED   hay 1 2 NM  ED.(1) Hình 1.4

Chứng minh tương tự đối với CBNta cĩ: 1 2 ED NB.(2) Từ (1) và (2) 1 4 NM NB   hay 1 4 NM NB  .

Trong quá trình làm bài, tùy từng bài tốn mà HS lựa chọn yếu tố trung gian phù hợp để đưa bài tốn từ phức tạp về bài tốn đơn giản hơn. Việc sử dụng thủ pháp này địi hỏi HS phải cĩ sự linh động, sáng tạo và trong từng thời điểm cụ thể chọn yếu tố nào làm yếu tố trung gian để đạt được hiệu quả. Sử dụng yếu tố trung gian là một nghệ thuật, để tìm được yếu tố trung gian phù hợp phải dựa trên cơ sở các đối tượng đã cho và các kiến thức đã biết, HS phân tích và xem xét các đối tượng tìm ra yếu tố trung gian nào thuận lợi nhất cho bài tốn.

*) Tình huống sử dụng: Thủ pháp được sử dụng trong tình huống xuất hiện

những đối tượng phức tạp cần làm đơn giản hĩa.

1.2.5.4 Thủ pháp tạo tình huống cụ thể

*) Phạm Đức Quang [26] cho rằng đặc trưng của PP tốn là sự kết hợp giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, giữa PP quy nạp và PP suy diễn. HS sẽ hiểu rõ và nắm vững hơn bản chất của một khái niệm nếu cĩ cơ hội xem xét những đối tượng thỏa mãn định nghĩa (xuất hiện trong các ví dụ) và những đối tượng khơng thỏa mãn định nghĩa (xuất hiện trong các phản ví dụ). Trong GQVĐ, nếu khéo léo tạo ra những “cái cụ thể” thì từ xem xét đối tượng cụ thể cĩ thể làm cầu nối tìm ra cái tổng quát. Cĩ thể hiểu rằng: Thủ pháp tạo tình huống cụ thể

là cách thức tìm hiểu đặc điểm, mối quan hệ của các đối tượng nhằm mục đích tạo ra một tình huống cụ thể mang tính chất điển hình, thơng qua cách thức giải quyết tình huống cụ thể này để giải quyết vấn đề tổng quát hơn. Thủ pháp

này gồm các bước: Tìm hiểu vấn đề cần giải quyết; Xây dựng tình huống cụ thể chứa đối tượng mang thơng tin điển hình và giải quyết tình huống cụ thể; Giải quyết tình huống tổng quát.

Thủ pháp này được sử dụng trong dạy học khái niệm, định lí và giải bài tập. Sau khi học xong khái niệm thủ pháp tạo tình huống giúp HS cĩ thể tự mình đưa ra những ví dụ và phản ví dụ về khái niệm được học gĩp phần ơn tập, củng cố khái niệm, hiểu và ghi nhớ khái niệm một cách lâu dài. Trong giải bài tập thay vì tìm lời giải bài tốn tổng quát, ta đi giải bài tốn ở trường hợp cụ