8. Cấu trúc luận văn
1.2.1. Lịch sử hình thành khái niệm Xác suất-Thống kê
a) Lịch sử hình thành khái niệm xác suất
Lý thuyết xác suất chỉ thực sự hình thành và phát triển mạnh trong khoảng hơn ba thế kỉ. Từ bài toán chia tiền cƣợi khi trò chơi bị gián đoạn đã dẫn đến việc hình thành khái niệm xác suất vào đầu thế kỷ XVII, sau đó các tính toán về xác suất phát triển dần thành lý thuyết hiện đại đƣợc xây dựng vào đầu thế kỷ XX. Nửa sau thế kỷ XVII đến cuối thế kỷ XIX, vấn đề tính xác suất của các biến cố đồng khả năng và không đồng khả năng đã đƣợc đề cập đến trong cuốn sách Lý thuyết trò chơi xúc sắc do Christian Huygens xuất bản năm 1657. Tuy vậy, thuật ngữ “xác suất” vẫn chƣa xuất hiện và Huygens đã sử dụng từ “cơ hội” để chỉ “xác suất”. [3]
Phải đến năm 1662, trong Nghệ thuật tư duy của Antoine Arnauld và Pierre Nicole, thì thuật ngữ “xác suất” mới thật sự xuất hiện lần đầu tiên với nghĩa đúng nhƣ chúng ta biết đến ngày nay.
Năm 1993, trong công trình nghiên cứu của nhà toán học Nga Andrei Kolmogorov đã phác thảo một hệ tiên đề làm nền tảng cho lý thuyết xác suất hiện đại. Kể từ đó, những ý tƣởng này đã đƣợc chọn lọc và ngày nay lý thuyết xác suất và thống kê trở thành một ngành toán ứng dụng và có phạm vi hoạt động rộng rãi trên nhiêu lĩnh vực nhƣ: vật lý, sinh học, kinh tế, địa lý, giáo dục, xã hội,…
b) Lịch sử hình thành khái niệm thống kê
Gottfried Achenwall là một trong những ngƣời đi đầu trong lĩnh vực thống kê và đƣợc coi là cha đẻ của bộ môn khoa khoa học thống kê. Năm 1749, ông giới thiệu từ statistik (tiếng Đức) với mục đích sắp xếp dữ liệu thu thập đƣợc, biểu thị qua các bảng biểu. Đầu thế kỷ XIX, thống kê đƣợc biết đến là việc thu thập và phân tích dữ liệu.
Phƣơng pháp toán học của thống kê xuất hiện từ lý thuyết xác suất, thống kê mang ý nghĩa thu thập và phân tích dữ liệu lần đầu đƣợc đề cập vào thế kỷ XIX. Adophe Quetelet (1796 - 1874) là một trong những nhà toán học tiên phong cho việc nghiên cứu về lý thuyết thống kê. Năm 1781, ông đã đƣa ra khái niệm trung vị nhƣ một giá trị trung bình cụ thể qua các hiện tƣợng xã hội phức tạp nhƣ tỷ lệ tội phạm, tỷ lệ kết hôn hoặc tỷ lệ tự tử. Thống kê đã thực sự phát triển mạnh ở thế kỷ XX, việc tạo ra các dụng cụ chính xác cho những vấn đề liên quan đến y tế, kinh tế xã hội (toán kinh tế, tỉ lệ thất nghiệp, …) tạo nên một sự phát triển của thống kê trong thực hành.
1.2.2. Vai trò và ý nghĩa Xác suất - Thống kê trong chương trình môn Toán ở trường THPT
a) Vai trò của xác suất thống kê trong hoạt động thực tiễn
Một thí nghiệm khoa học đƣợc bắt đầu bằng một ý tƣởng, một giả thuyết và để kiểm tra giả thuyết đó, một quá trình khảo sát phải đƣợc thực hiện theo các bƣớc nhƣ: thiết kế, thu thập dữ liệu và diễn giải ý nghĩa của dữ liệu. Trong quá trình đó, mỗi một bƣớc đều có ý nghĩa rất quan trọng của xác suất thống kê.
Thống kê toán học và lý thuyết xác suất, chúng xâm nhập vào hầu hết các ngành khoa học tự nhiên và xã hội, các ngành kỹ thuật, quản lý kinh tế và tổ chức sản xuất, chúng có mặt trong công việc của mọi tầng lớp lao động: kĩ
sƣ, bác sĩ, giáo viên, công nhân, nông dân,.... Ngày nay, công nghệ thông tin càng phát triển, con ngƣời phải tiếp xúc với nhiều số liệu thống kê, các số liệu này thƣờng đƣợc đƣa ra trong các bài báo, bản tin thời sự, phóng sự trên truyền hình, mạng internet,... Chẳng hạn, khi tình hình dịch bệnh Covid-19 bùng phát trên toàn thế giới nhƣ những ngày vừa qua, báo Sức khỏe và đời sống hàng ngày đều có bài viết “COVID-19: Cập nhật mới nhất, liên tục”, trong một bài viết gần nhất có đƣa vào bảng số liệu sau
Bảng 1.1. Quốc gia/ Vùng lãnh thổ có từ 135.000 người mắc Covid-19 trở lên
(Nguồn:https://suckhoedoisong.vn/Covid-19-cap-nhat-moi-nhat-lien-tuc- n168210.html)
Biểu đồ 1.1. Tình hình dịch bệnh Covid-19 tại Việt Nam
Dựa vào các số liệu thống kê trên chúng ta sẽ có cái nhìn thiết thực nhất về tình hình dịch bệnh trong và ngoài nƣớc để từ đó có các biện pháp phòng, chống dịch bệnh kịp thời nhất. Không chỉ lĩnh vực y tế mà cả trong giáo dục, kinh tế chẳng hạn, một ngƣời kinh doanh buôn bán một số sản phẩm. Ngƣời bán hàng cần thống kê danh sách khách hàng, số lƣợng bán đƣợc trong ngày, tuần, tháng để đƣa ra quyết định nhập thêm hàng hay không nhập loại hàng đó...
Trong cuộc sống thƣờng ngày, chúng ta bắt gặp những hiện tƣợng không chắc chắn nhƣ: Dự báo thời tiết, kết quả bầu cử không giống nhƣ dự kiến, hay nhƣ khi nói đến mua vé số, thì ai cũng biết xác suất trúng là rất thấp, hay xác suất để mình trúng thƣởng trong chƣơng trình bốc thăm trúng thƣởng cũng không cao... Nhƣng không phải ai cũng hiểu rõ bản chất của nó. Nói một cách ngắn gọn, dễ hiểu, xác suất của một tình huống nào đó chính là khả năng xảy ra tình huống đó. Thống kê là hệ thống các phƣơng pháp dùng để thu thập, xử lý và phân tích các con số của hiện tƣợng để tìm hiểu bản chất và tính quy luật vốn có của chúng trong điều kiện không gian và thời gian cụ thể. Có rất nhiều ví dụ về xác suất thống kê và ứng dụng của nó trong cuộc sống mà trong luận văn này không thể trình bày hết đƣợc. Ở đây chỉ nêu ra một số ví dụ để cho thấy tính ứng dụng cao của XS-TK trong thực tiễn.
Qua các ví dụ trên, việc dạy học XS-TK cần phải đƣợc chú trọng và gắn liền với thực tiễn cuộc sống của học sinh hơn để các em có thể vận dụng tốt kiến thức đã học vào cuộc sống, có nhƣ vậy việc học mới có ý nghĩa và học sinh sẽ thấy việc học Toán, học Xác suất - Thống kê là rất cần thiết.
Việc tăng cƣơng ứng dụng xác suất thống kê trong giảng dạy ở trƣờng phổ thông là một vấn đề có ý nghĩa lý luận và thực tiễn sâu sắc. Nội dung này giúp học sinh thấy đƣợc mối quan hệ giữa Toán học và đời sống, ý nghĩa của toán học giúp ích gì cho các hoạt động thực tiễn. Từ đó học sinh thấy đƣợc vẻ đẹp của XS -TK nói chung và toán học nói riêng.
b)Vai trò và ý nghĩa của xác suất thống kê trong chương trình môn Toán ở trường THPT
Trên thế giới hiện nay, xu thế chung của giáo dục Toán học phổ là tăng cƣờng thực hành ứng dụng cho học sinh. Vì thế, đa số các nƣớc trên thế giới đều lựa chọn, xây dựng và phát triển những tri thức có nhiều ứng dụng nhƣ: Thống kê, xác suất, hàm số, phép tính vi phân và tích phân … để đƣa vào nội dung dạy học môn Toán. Xác suất thống kê đã trở thành một phần bắt buộc của chƣơng trình học ở các trƣờng nhằm giúp HS thấy đƣợc sự gần gũi của Toán học với đời sống, học sinh vận dụng đƣợc kiến thức XS-TK vào giải quyết một số tình huống thực tế. Khi học nội dung XS-TK, học sinh đƣợc rèn luyện kĩ năng nhận thức, phân tích các thông tin ở nhiều hình thức khác nhau.
Theo Nguyễn Bá Kim: “Thống kê Toán và Lý thuyết xác suất lại có nhiều khả năng trong việc góp phần giáo dục thế giới khoa học cho học sinh. Bởi vậy ngay từ những năm cuối thập kỷ 50 của thế kỷ XX, những kết quả nghiên cứu của các nhà Toán học và Sƣ phạm trên thế giới đã khẳng định một số tri thức cơ bản của Thống kê toán và Lý thuyết xác suất phải thuộc vào học vấn phổ thông, tức là khẳng định sự cần thiết đƣa một số yếu tố của các lĩnh vực đó vào môn Toán ở trƣờng phổ thông” [8].
Xác suất thống kê là một môn có ứng dụng to lớn, rất hữu ích trong cuộc sống của chúng ta. Ngày nay trong thời đại công nghệ, với số lƣợng dữ liệu khổng lồ, xác suất thống kê ngày càng phát huy đƣợc tác dụng của nó. Việc tăng cƣờng và làm rõ mạch ứng dụng Toán học đƣợc coi là một trong những quan điểm chủ đạo, xuyên suốt toàn bộ quá trình dạy học môn Toán ở trƣờng phổ thông. Tuy nhiên, số giờ dạy nội dung xác suất thống kê trên lớp còn khá ít nên học sinh mới chỉ đƣợc tiếp xúc một số khái niệm nhƣ: Số trung bình cộng, mốt, phƣơng sai, độ lệch chuẩn, biến cố, chỉnh hợp, hoán vị... Những nội dung đó vẫn chƣa tƣơng xứng với vai trò của xác suất thống kê trong khoa học kỹ thuật hiện nay.
Chủ đề xác suất – thống kê là một phần rất quan trọng của toán học có nội dung rất phong phú và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kỹ thuật và trong đời sống hàng ngày của chúng ta. Vì thế vai trò của xác suất – thống kê ở THPT là hết sức quan trọng. Giáo viên phải có phƣơng pháp giảng dạy phù hợp sao cho phát huy đƣợc hết vai trò của của chủ đề này.
1.3. Nội dung của chủ đề Xác suất – Thống kê trong chƣơng trình toán trung học phổ thông trung học phổ thông
1.3.1. Mạch kiến thức Xác suất - Thống kê trong chương trình SGK
Do tầm quan trọng của xác suất thống kê và theo xu thế phát triển chung của giáo dục thế giới, đến nay các chủ đề về xác suất thống kê đã đƣợc đƣa vào giảng dạy một cách có hệ thống nhằm tăng cƣờng những nội dung kiến thức cho học sinh. Cụ thể nội dung xác suất thống kê đƣợc đƣa vào chƣơng trình môn Toán ở trƣờng phổ thông qua các lớp nhƣ sau:
Lớp 3: Học sinh đƣợc làm quen với dãy số liệu, bảng thống kê số liệu. Lớp 4: Học sinh đƣợc biết đến số trung bình cộng, hình thành kĩ năng cơ bản về lập bảng số liệu và nhận xét các bảng số liệu. Giới thiệu biểu đồ và tập luyện cho học sinh nhận xét biểu đồ.
Lớp 5: Giới thiệu các loại biểu đồ hình quạt và ôn tập về các loại biểu đồ (biểu đồ cột, biểu đồ quạt) (SGK Toán 5). Học sinh cần nhận biết đƣợc các loại biểu đồ và nhận xét biểu đồ dƣới dạng trả lời các câu hỏi.
Lớp 6: SGK Toán 6 tập II đƣa vào biểu đồ phần trăm dƣới dạng biểu đồ cột, ô vuông, hình quạt. Học sinh cần nhận biết đƣợc các loại biểu đồ đó.
Lớp 7: Dành hẳn một trƣờng cho thống kê nhằm hệ thống lại một số kiến thức và kĩ năng về thống kê mà học sinh đã biết ở lớp dƣới nhƣ thu thập số liệu, dãy số, số trung bình cộng, biểu đồ. Bƣớc đầu hiểu đƣợc một số khái niệm cơ bản và thấy đƣợc vai trò của thống kê trong thực tiễn.
Lớp 8, 9: Học sinh đƣợc hệ thống kiến thức, kỹ năng qua các bài thực hành trong môn Toán và môn địa lý qua nội dung vẽ biểu đồ, nhận xét biểu đồ cho trƣớc.
Lớp 10: Cung cấp cho học sinh cách hệ thống những kiến thức, kĩ năng của phƣơng pháp trình bày số liệu thống kê, phƣơng pháp thu gọn số liệu thống kê nhờ các đặc trƣng của bảng số liệu. Nội dung bao gồm: Bảng phân bố tần suất ghép lớp, biểu đồ hình cột, biểu đồ hình quạt, tần suất, số trung vị, số trung bình cộng, phƣơng sai, độ lệch chuẩn.
Ngoài ra SGK Toán 10 còn cung cấp kiến thức thống kê về dân số, môi trƣờng, kinh tế,… nhằm góp phần hình thành tri thức, nhân cách và rèn luyện kĩ năng cho học sinh.
Lớp 11: Trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản của đại số tổ hợp gồm các quy tắc cộng và nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, khai triển Niutơn. Học sinh đƣợc tìm hiểu định nghĩa cổ điển của xác suất, mô tả không gian mẫu, phép thử, tính xác suất theo định nghĩa, mối liên hệ giữa các biến cố đối, biến cố độc lập…
Các bài toán về xác suất cổ điển có liên quan chặt chẽ đến vẫn đề tổ hợp. Do đó, nếu học sinh có kĩ năng giải toán tổ hợp tốt thì có nhiều thuận lợi khi giải các bài toán về xác suất. Phần đại số tổ hợp đã đƣợc khẳng định là công cụ chủ yếu cho tính toán xác suất [14].
Thống kê đƣợc trình bày từ cấp tiểu học đến trung học phổ thông, ta thấy nội dung thống kê, xác suất có những thay đổi đáng kể theo chiều hƣớng ngày càng đƣợc hệ thống hơn và đầy đủ hơn. Mặc dù hiện nay kiến thức về thống kê chƣa đƣợc các trƣờng phổ thông quan tâm nhiều nhƣng trong tƣơng lai không xa, khi toán học ứng dụng đang ngày càng đƣợc quan tâm thì thống kê chắc chắn là mảng kiến thức quan trọng, không thể thiếu.
1.3.2. Mạch kiến thức xác suất thống kê trong chương trình phổ thông mới
Kiến thức Nội dung Yêu cầu cần đạt Lớp 10
Xác suất Một số khái niệm về xác suất cổ điển
- Nhận biết đƣợc một số khái niệm về xác suất cổ điển: phép thử ngẫu nhiên; không gian mẫu; biến cố; biến cố đối; định nghĩa cổ điển của xác suất; nguyên lí xác suất bé. - Mô tả đƣợc không gian mẫu; biến cố trong một số thí nghiệm đơn giản.
Thực hành tính toán xác suất trong những trƣờng hợp đơn giản.
- Tính đƣợc xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản bằng phƣơng pháp tổ hợp.
- Tính đƣợc xác suất trong một số thí nghiệm lặp bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây.
Các quy tắc tính xác suất.
- Mô tả đƣợc các tính chất cơ bản của xác suất.
- Tính đƣợc xác suất của biến cố đối. Thống kê Số gần đúng. Sai
số
- Hiểu đƣợc khái niệm số gần đúng, sai số tuyệt đối.
- Xác định đƣợc số gần đúng của một số với độ chính xác cho trƣớc.
- Xác định đƣợc sai số tƣơng đối, số quy tròn của số gần đúng với độ chính xác cho trƣớc. - Biết sử dụng máy tính cầm tay để tính toán với các số gần đúng.
Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các
Phát hiện và lí giải đƣợc số liệu không chính xác dựa trên mối liên hệ toán học đơn giản
bảng, biểu đồ giữa các số liệu đã đƣợc biểu diễn trong nhiều ví dụ.
Các số đặc trƣng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm
- Tính đƣợc số trung bình cộng, trung vị (median), tứ phân (quartiles), mốt (mode). - Giải thích đƣợc ý nghĩa và vai trò của các số đặc trƣng nói trên.
- Chỉ ra đƣợc những kết luận nhờ ý nghĩa của số đặc trƣng nói trên của mẫu số liệu trong trƣờng hợp đơn giản.
Các số đặc trƣng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm
- Tính đƣợc khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phƣơng sai, độ lệch chuẩn.
- Giải thích đƣợc ý nghĩa và vai trò của các số đặc trƣng nói trên.
- Chỉ ra đƣợc những kết luận nhờ ý nghĩa của số đặc trƣng nói trên của mẫu số liệu trong trƣờng hợp đơn giản.
Lớp 11
Xác suất Một số khái niệm về xác suất cổ điển
- Nhận biết đƣợc một số khái niệm về xác suất cổ điển: hợp và giao của các biến cố; biến cố độc lập.
Các quy tắc tính xác suất
- Tính đƣợc xác suất của biến cố hợp bằng cách sử dụng công thức cộng.
- Tính đƣợc xác suất của biến cố giao bằng cách sử dụng công thức nhân.
- Tính đƣợc xác suất của biến cố trong một số bài toán đơn giản.
của mẫu số liệu ghép nhóm
cho mẫu số liệu ghép nhóm: số trung bình cộng (hay số trung bình), trung vị (median), tứ phân vị (quartiles), mốt (mode).
- Hiểu đƣợc ý nghĩa và vai trò của các số đặc trƣng nói trên.
- Rút ra đƣợc kết luận ý nghĩa và vai trò của