Biện pháp 4: Xây dựng các tình huống chứa đựng sai lầm, yêu cầu

8. Cấu trúc luận văn

2.2.4. Biện pháp 4: Xây dựng các tình huống chứa đựng sai lầm, yêu cầu

người học phát hiện và sửa chữa

Giải toán là một trong những vấn đề quan trọng mà ngƣời dạy và ngƣời học thƣờng xuyên phải thực hiện. Khi giải toán, chắc chắn không ít học sinh mắc phải những sai lầm đáng tiếc. Sai lầm của học sinh làm nảy sinh khả năng tƣ duy mà tƣ duy phản biện luôn bắt đầu bằng tình huống có vấn đề. Sai lầm xuất hiện thì sẽ khơi gợi đƣợc hoạt động học tập, gợi động cơ để tìm ra sai lầm và đi tới lời giải đúng. Các bài toán có lời giải chƣa đầy đủ hoặc lời giải sai có thể nảy sinh trong hoạt động học Toán của học sinh có thể là do lỗi chủ quan, không cẩn thận của học sinh. Ngoài ra khi giáo viên cho những lời giải sẵn nhƣng trong đó có những sai lầm thì đây gọi là sai lầm khách quan với học sinh, học sinh sẽ phải nghi ngờ, khám phá và tìm kiếm tri thức, kể cả sai những các em vẫn phải tƣ duy, tìm kiếm đƣợc tri thức và biết đƣợc rằng tri thức đó là sai.

Việc phát hiện và khắc phục những sai lầm là một hoạt động quan trọng, nhà sƣ phạm toán nổi tiếng G.Polya đã nói: “Con ngƣời phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”. Bất cứ ai cũng có thể mắc những sai lầm trong hoạt động học tập cũng nhƣ trong các hoạt động xã hội khác. Thất bại là mẹ của thành công, những bài học kinh nghiệm từ những thất bại, sai lầm, thiếu sót của bản thân chính là bài học thấm thía và sâu sắc, từ đó con ngƣời hình thành và phát triển kỹ năng tƣ duy, tránh gặp phải sai lầm và năng lực giải quyết vấn đề một cách cặn kẽ, thấu đáo, học cái đúng từ cái sai.

Giáo viên phải biết sử dụng kinh nghiệm cá nhân để dự đoán những sai lầm mà học sinh hay mắc phải để từ đó đƣa các tình huống học sinh thƣờng mắc phải sai lầm vào bài giảng hoặc các đề kiểm tra và yêu cầu học sinh tìm lỗi sai, bƣớc sai của bài toán. Trong quá trình dạy học, giáo viên tăng cƣờng đƣa ra các bài toán có vấn đề, đã có lời giải sẵn nhƣng mắc những sai lầm cơ

bản, thiếu sót thƣờng gặp ở học sinh, từ đó học sinh tự phát hiện hoặc phát hiện dƣới sự trợ giúp của giáo viên và khắc phục những sai lầm, thiếu sót đó.

Bài toán có lời giải sai lầm hoặc chƣa đầy đủ có thể nảy sinh trong quá trình giải toán của học sinh. Khi học xác suất thống kê học sinh thƣờng mắc một số sai lầm phổ biến sau:

- Do chƣa hiểu rõ bản chất của các công thức Xác suất – Thống kê nên dẫn đến sai lầm trong việc áp dụng tính toán.

- Sai lầm khi học sinh chƣa nhận diện, hiểu rõ đƣợc các cấu trúc, tính chất của các biến, các dữ liệu và dẫn đến việc đƣa ra các con số thống kê, bảng biểu, biểu đồ thiếu chính xác.

- Áp dụng một cách máy móc, thiếu sáng tạo trong các bài toán XSTK dẫn tới đƣa ra kết quả chƣa chính xác.

Với mỗi nội dung toán học, học sinh sẽ có những sai lầm thƣờng gặp trong giải toán nói chung hay trong nội dung giải toán xác suất nói riêng.

Ví dụ 2.12. Cho hai bảng phân số tần số ghép lớp Khối lƣợng cá ba sa của ao cá thứ nhất

Lớp khối lƣợng

(kg) [0,6; 0,8) [0,8; 1,0) [1,0; 1,2) [1,2; 1,4) Tổng

Tần số 4 6 6 6 20

Khối lƣợng cá ba sa của ao cá thứ hai Lớp khối

lƣợng (kg) [0,5; 0,7) [0,7; 0,9) [0,9; 1,1) [1,1; 1,3) [1,3; 1,5) Tổng

Tần số 3 4 6 4 3 20

a) Tính số trung bình, phƣơng sai của bảng phân bố đã cho. b) Xét xem ao cá ba sa nào có khối lƣợng đồng đều hơn.

Một số học sinh sẽ làm như sau: a) Trung bình cộng: Ao thứ nhất 1 0,7.4 0,9.6 1,1.6 1,3.6 1,13 20 x      Ao thứ hai 2 0,6.3 0,8.4 1,0.6 1, 2.4 1, 4.5 2 20 x       . Phƣơng sai Ao thứ nhất: 2 1 0,042 s  ; Ao thứ hai: 2 2 0,064 s  .

b) Ta có x2 x1 nên cá ở ao thứ hai có khối lƣợng trung bình lớn hơn và đồng đều hơn.

Một sai lầm lớn nhất thƣờng gặp trong thống kê đó là việc đƣa ra những kết luận sai lầm dựa trên những thống kê không chính xác. Ví dụ nhìn vào hai số trung bình, thấy số x  y đã vội vàng kết luận là x lớn hơn y? Nhƣng điều này chƣa hẳn đã chính xác và sẽ dẫn đến nghi ngờ, có nghi ngờ thì sẽ xuất hiện những tình huống để học sinh tranh luận, phản biện lẫn nhau và dần rút ra đƣợc kết luận đúng cho bài toán.

Đối với bài toán này chúng ta sẽ sử dụng phƣơng sai để đánh giá sự đồng đều về khối lƣợng cá ở hai ao khảo sát. Vì phƣơng sai và độ lệch chuẩn dùng để đo độ phân tán của các số liệu trong mẫu xung quanh số trung bình. Hai số đặc trƣng này càng lớn thì độ phân tấn càng lớn.

Vậy ta có 2 2

1 2

s s nên ao cá thứ nhất có khối lƣợng đồng đều hơn.

Ví dụ 2.13. Lớp 11A có 38 học sinh, lớp 11B có 40 học sinh. Mỗi lớp cần chọn ra một ngƣời để tham gia vào đội ngũ Sao đỏ của trƣờng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Áp dụng quy tắc cộng cho rằng có 384078 cách chọn. Đây là một sai lầm rất cơ bản mà học sinh hay gặp phải.

Giáo viên sẽ cho học sinh phản biện lẫn nhau để giúp học sinh tự nhận ra sai lầm của mình và tự sửa chữa lời giải để tìm ra kết quả đúng nhất.

Sai lầm: Thực ra ở đây phải dùng quy tắc nhân và ta có 38.40 1520 cách chọn. Vì ở đây chúng ta phải chọn ra 2 ngƣời qua 2 giai đoạn mới đáp ứng đúng yêu cầu của bài toán:

Giai đoạn 1: Chọn ra 1 học sinh trong 38 học sinh của lớp 11A có 38 cách chọn.

Giai đoạn 2: Chọn ra 1 học sinh trong 40 học sinh của lớp 11B có 40 cách chọn.

Nếu chỉ chọn 1 ngƣời thì mới áp dụng quy tắc cộng.

Sai lầm là nhận dạng và thể hiện không đúng khái niệm, bản chất của quy tắc cộng, quy tắc nhân.

+ Nếu một công việc nào đó có thể thực hiện theo n phương án khác nhau thì ta sử dụng quy tắc cộng.

+ Nếu một công việc phải hoàn thành qua n giai đoạn liên tiếp thì ta áp dụng quy tắc nhân.

Ví dụ 2.14. Gieo ngẫu nhiên hai đồng tiền cân đối và đống chất. Tính xác suất của các biến cố sau: A: “Mặt ngửa xuất hiện hai lần”; B: “Mặt ngửa xuất hiện một lần”; C: “Mặt ngửa không xuất hiện”.

Một số học sinh sẽ làm như sau:

Phép thử T: “Gieo ngẫu nhiên hai đồng tiền cân đối và đồng chất”. Khi đó xảy ra một trong ba biến cố A, B, C và các kết quả là đồng khả năng.

Suy ra:       1 . 3

P A  P B P C 

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Ở bài toán này đòi hỏi học sinh phải có sự

tƣởng tƣợng các khả năng xảy ra khi gieo hai đồng tiền cân đối đồng chất. Cụ thể:

- Biến cố A có 1 khả năng xảy ra đó là cả hai đồng tiền cùng xuất hiện mặt ngửa.

- Biến cố B có 2 khả năng xảy ra:

Trƣờng hợp 1: Đồng tiền thứ nhất xuất hiện mặt ngửa, đồng tiền thứ hai xuất hiện mặt sấp.

Trƣờng hợp 1: Đồng tiền thứ nhất xuất hiện mặt sấp, đồng tiền thứ hai xuất hiện mặt ngửa.

- Biến cố C có 1 khả năng xảy ra là 2 đồng tiền cùng xuất hiện mặt sấp. Nhƣ vậy, biến cố B có 2 khả năng xảy ra, nhiều hơn biến cố A và C nên ba biến cố A, B, C không thể là đồng khả năng.

Điều này cho thấy học sinh chƣa hiểu đúng về khái niệm không gian mẫu, do còn thiếu khả năng trực giác xác suất nên học sinh dễ bị nhầm lẫn, cho rằng các biến cố là đồng khả năng.

Biện pháp khắc phục: Giáo viên hƣớng dẫn học sinh tƣ duy khi gieo ngẫu nhiên hai đồng tiền 1 và 2 gồm hai mặt sấp ngửa thì có những khả năng nào xảy ra? Xác định không gian mẫu để phân tích, đánh giá các tình huống xác suất khác nhau nhằm phát hiện và điều chỉnh trực giác sai ban đầu.

Lời giải đúng:

Không gian mẫu:  SS SN NS NN, , , 

Biến cố A có một khả năng xảy ra:   1 . 4

P A 

Biến cố B có hai khả năng xảy ra:   2 1 .

4 2

P B  

Biến cố C có một khả năng xảy ra:   1 . 2

P C 

Qua ví dụ này ta thấy một trong những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm khi giải quyết bài toán về xác suất là học sinh còn thiếu khả năng trực giác xác suất.

Ví dụ 2.15. Từ các chữ số: 0;1;2;3;4có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 6 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện hai lần và các số còn lại chỉ xuất hiện một lần.

Một số học sinh sẽ làm như sau: Gọi số cần tìm có dạng a a a a a a1 2 3 4 5 6; a1 0. Với 2 vị trí nào đó có hai chữ số 1 sẽ có 2! hoán vị nhƣ nhau.

Ta có 1 a có 4 cách chọn 2 a có 5 cách chọn 3 a có 4 cách chọn 4 a có 3 cách chọn 5 a có 2 cách chọn 6 a có 1 cách chọn Vậy số a a a a a a1 2 3 4 5 6có 4 5 4 3 2 1 480      cách chọn.

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh đã không để ý đến điều kiện chữ số

1 xuất hiện hai lần nên hiểu rằng số a1 có 4 cách chọn là sai. Ở bài toán này chữ số 1 xuất hiện hai lần nên ta coi nhƣ hai số 1 này là khác nhau. Khi đó tập hợp số ban đầu sẽ là 0;1;1;2;3;4. Do vậy số a1 phải có 5 cách chọn.

Biện pháp khắc phục: Giáo viên cần có những câu hỏi gợi ý giúp học sinh phát hiện ra sai lầm có thể mắc phải. Chẳng hạn: „Chữ số 1 xuất hiện hai lần

nghĩa là gì? Nếu nhƣ coi hai chữ số 1 là khác nhau thì tập hợp số ban đầu sẽ thay đổi nhƣ thế nào? Khi đó số a1 có bao nhiêu cách chọn?‟‟ Từ đó, giáo viên hƣớng dẫn học sinh trình bài lời giải.

Lời giải đúng:

Gọi số cần tìm có dạng a a a a a a1 2 3 4 5 6; a1 0. Do chữ số 1 có xuất hiện hai lần nên ta coi hai số 1 này là khác nhau. Khi đó tập hợp số ban đầu sẽ là

0;1;1;2;3;4 . 

Với 2 vị trí nào đó có hai chữ số 1 sẽ có 2! hoán vị nhƣ nhau. Ta có

1 a có 5 cách chọn 2 a có 5 cách chọn 3 a có 4 cách chọn 4 a có 3 cách chọn 5 a có 2 cách chọn 6 a có 1 cách chọn Vậy số a a a a a a1 2 3 4 5 6có 5 5 4 3 2 1 600      cách chọn.

Ví dụ 2.16. Xếp ngẫu nhiên 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 3 ghế xếp theo hàng ngang. Tính xác suất để nam nữa ngồi xen kẽ nhau.

Lời giải có sai lầm của học sinh:

Không gian mẫu:   6! 720

Gọi A là biến cố: “Nam nữ ngồi xen kẽ nhau”.

Khi đó n A 2, suy ra a;b;c , a;c;b ,...   

Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh chƣa hiểu rõ bài toán, chƣa biết cách

phân chia các trƣờng hợp nên đã xét thiếu trƣờng hợp. Đây tuy là một bài toán xác suất nhƣng thực chất nó lại là một bài toán đếm trong tổ hợp, học sinh cần có tƣ duy và phân tích rõ bài toán.

Gọi A là biến cố: “Nam nữ ngồi xen kẽ nhau”. Trƣờng hợp 1:

- Nếu các bạn nam ngồi ghế số 1; 3; 5 thì có 3! 6 cách chọn. - Nếu các bạn nữ ngồi ghế số 2; 4; 6 thì có 3! 6 cách chọn. Suy ra, trƣờng hợp 1 có 3! 3! 36  cách chọn.

Trƣờng hợp 2:

- Nếu các bạn nữ ngồi ghế số 1; 3; 5 thì có 3! 6 cách chọn. - Nếu các bạn nam ngồi ghế số 2; 4; 6 thì có 3! 6 cách chọn. Suy ra, trƣờng hợp 2 có 3! 3! 36  cách chọn. Do đó, n A 36 36 72. Vậy      72 1 . 720 10 n A P A n    

Việc tìm ra nguyên nhân và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong giờ học Toán giúp học sinh có thể nhận thức về sai lầm của mình, hiểu đƣợc bản chất vấn đề và tránh đƣợc sai lầm trong các bài toán sau đó. Vì kể cả đƣa ra những cách làm, lời giải sai nhƣng các em vẫn tìm kiếm đƣợc tri thức và biết rằng tri thức đó sai. Học sinh có khả năng nhận ra và sửa chữa những thiếu sót, sai lầm trong những lập luận, lời giải không đúng và sẵn sàng lắng nghe, xem xét các ý kiến khác nhau, có thái độ hoài nghi tích cực, sẵn sàng tranh luận để tìm ra cách giải quyết tốt nhất thì đó chính là một trong những dấu hiệu đặc trƣng của ngƣời có tƣ duy phản biện.

2.2.5. Biện pháp 5: Tăng cường các bài toán thực tiễn để học sinh rèn luyện kĩ năng giải quyết bài toán và kĩ năng phản biện các vấn đề trong đời sống liên quan đến Toán học

Toán học là môn khoa học phục vụ cho đời sống khoa học – kỹ thuật và đƣợc xuất phát từ đời sống thực tế. Tính trừu tƣợng cao làm cho Toán học có tính phổ dụng, có thể ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của đời sống. Thực tiễn đóng vai trò quyết định của sự nhận thức, việc học tập và

lĩnh hội các tri thức mục đích là để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Thực tiễn còn là một môi trƣờng rất thuận lợi giúp cho học sinh rèn luyện, phát triển các kĩ năng, kĩ xảo và nắm vững kiến thức đã học.

Trong quá trình dạy học, việc liên hệ Toán học với thực tiễn vừa là một hoạt động cần thiết, vừa là một yêu cầu. Việc liên hệ Toán học với thực tế giúp học sinh nắm đƣợc thực chất vấn đề, rèn luyện cho học sinh kĩ năng tổng hợp để có thể vận dụng đƣợc những kiến thức vào thực tế, gây hứng thú học tập, từ đó dần hình thành và phát triển kĩ năng tƣ duy phản biện cho học sinh qua các tình huống giải quyết bài toán. Bồi dƣỡng và phát triển tƣ duy phản biện cho học sinh là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thƣờng xuyên qua các tiết học, trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khóa cũng nhƣ hoạt động ngoại khóa.

Ví dụ 2.17. Bài toán về điểm của học sinh

a) Kết quả học tập của hai học sinh An và Bình trong năm học qua nhƣ sau:

Bảng 2.3. Kết quả học tập của hai học sinh An và Bình

Môn Điểm TB của An Điểm TB của Bình

Toán 8 8,6 Vật lí 7,5 9,5 Hóa học 7,8 9,5 Văn học 8,3 8,5 Lịch sử 8 5,5 Địa lí 8,2 6 Tiếng Anh 9 9 Thể dục 8 9 Công Nghệ 8,3 8,5

Giáo dục công dân 9 8

Bài toán này cả hai bạn đều có điểm trung bình bằng nhau

x1 x2 8,21, do vậy để so sánh lực học của hai bạn giáo viên cần gợi ý cho học sinh tƣ duy theo hƣớng khác nhƣ sử dụng kiến thức về phƣơng sai, độ lệch chuẩn để xem mức độ phân tán của số liệu so với giá trị trung bình, từ đó có thể so sánh đƣợc lực học của hai bạn. Học sinh cần phải đƣa ra các dẫn chứng để chứng minh cho kết luận của mình.

b) Điểm môn Toán của bạn Minh trƣớc khi thi học kỳ II nhƣ sau: