– Xác suất
1.2.2.1. Phát hiện vấn đề cần giải quyết trong mối liên hệ giữa các kiến thức Tổ hợp – Xác suất với các tình huống thực tiễn
- Khi thực hiện mối liên hệ với thực tiễn là hướng tới mục đích dạy học, nguyên lí giáo dục truyền thụ tri thức và rèn luyện kĩ năng ứng dụng. Vì vậy, cần tổ chức hoạt động nhận thức và thực hành cho học sinh sao cho liên hệ được giữa cái trừu tượng với hiện thực, làm cho học sinh thấy được bản chất của cái hiện thực và nội dung của cái trừu tượng hay nói cách khác không những thực hiện mối liên hệ với thực tiễn mà còn vận dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn. Từ đó, học sinh nắm chắc và vận dụng tốt các kiến thức đã học.
21
- Phát hiện mâu thuẫn trong tình huống có vấn đề thấy được vấn đề cần giải quyết là nhận ra được mâu thuẫn giữa thực tế với trình độ nhận thức, học sinh nhận biết được khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa thể vượt qua.
- Học sinh hòa nhập vào tình huống có vấn đề khi nhận thấy vốn tri thức của bản thân chưa giải quyết được vấn đề trong tình huống mới. Khi nhu cầu cần tìm hiểu xem có gì mới chứa đựng bên trong tình huống, học sinh sẽ phát hiện vấn đề cần giải quyết và liên hệ với các kiến thức đã học về Tổ hợp – Xác suất vào các tình huống thực tiễn, khi đó định hướng được hướng giải quyết.
- Các bài toán hay tình huống thực tế trong xã hội có tác dụng giúp học sinh thấy rõ hơn các ứng dụng của Toán học vào cuộc sống, tạo động lực cho các em tích cực tìm cách giải quyết các bài toán hay tình huống mà giáo viên đặt ra. Sinh học là một lĩnh vực rất quan trọng trong đời sống, để tính thế hệ lai của các cặp tính trạng có thể dựa vào kiến thức Tổ hợp – Xác suất:
Ví dụ 1.5: Xét phép lai một cặp tính trạng hai loài hoa hồng thuần chủng, hoa đỏ ( kiểu gen trội AA ) và hoa trắng ( kiểu gen lặn aa ). Khi tiến hành thử nghiệm trên 600 cây hoa hồng ( chia làm 3 nhóm ) và bằng phương pháp thống kê các kết quả thu được như sau:
Bảng 1.1 Kết quả thế hệ lai cặp tính trạng
Thế hệ lai Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 F1 200 cây hoa đỏ 200 cây hoa đỏ 200 cây hoa đỏ
F2 146 cây hoa đỏ 54 cây hoa trắng 160 cây hoa đỏ 40 cây hoa trắng 155 cây hoa đỏ 45 cây hoa trắng
Dựa trên những số liệu thống kê Mendel đưa ra kết luận rằng ở thế hệ lai thứ nhất (F1) tất cả đều cho hoa đỏ, ở thế hệ lai thứ hai (F2) thì tỉ lệ hoa đỏ: hoa trắng
22
Ở phép lai lần thứ nhất, cây hoa đỏ cho ta 2 gen A (AA), cây hoa trắng cho ta 2 gen a (aa).
Theo quy tắc nhân thì sẽ có 2 x 2 = 4 cặp gen được kết hợp, tuy nhiên tất cả các cặp gen được kết hợp đều là Aa kiểu gen biểu hiện tính trạng hoa đỏ. Do vậy ở thế hệ F1 đều thu được cây cho hoa màu đỏ.
Sau đó lấy hai con lai F1 lai với nhau, mỗi con lai cho 2 gen là A và a. Theo quy tắc nhân sẽ có 2 x 2 = 4 cặp gen được kết hợp, trong đó có 1 AA, 2 Aa, 1 aa. Như vậy con lai F2 sẽ có tỉ lệ 3 trội 1 lặn, hay xác suất được cây hoa màu đỏ là 3
4 và xác suất được cây hoa màu trắng là 1
4.
Thông qua ví dụ trên học sinh thấy được ý nghĩa của “ Tổ hợp – Xác suất ” trong lĩnh vực sinh học, thấy được mối liên hệ giữa các kiến thức Tổ hợp – Xác suất với tình huống thực tiễn.
1.2.2.2. Năng lực diễn đạt bài toán Tổ hợp – Xác suất theo nhiều cách khác nhau, từ ngôn ngữ tự nhiên đến ngôn ngữ toán học, phát biểu vấn đề cần giải quyết
- Ngôn ngữ được xét theo hai khía cạnh là ngữ nghĩa và cú pháp. Ngữ nghĩa là cấu trúc nội dung của đối tượng, quan hệ, quy luật,… và cú pháp là các biểu thức hình thức và các qui tắc thiết kế của dạng hình thức đó mô tả các đối tượng, các quan hệ, các quy luật,…
- Ngôn ngữ toán học là hệ thống các thuật ngữ, các kí hiệu toán học (thường ở dạng ngôn ngữ viết), các hình vẽ, mô hình, biểu đồ, đồ thị,…có tính chất quy ước nhằm diễn đạt nội dung toán học một cách chính xác, lôgic và ngắn gọn.
- Để hiểu vấn đề người giải quyết vấn đề phải hiểu ngôn ngữ diễn đạt vấn đề qua đó hiểu nội dung vấn đề. Trước hết là hiểu ngôn ngữ, ngôn ngữ toán học của vấn đề, đặc biệt là sự đan xen của ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán trong một vấn đề nảy sinh từ thực tiễn.
23
- Khi giải bài toán ngoài các yêu cầu như: Kết quả đúng, lập luận chặt chẽ, lời giải đầy đủ, ngôn ngữ chính xác, trình bày rõ ràng, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề thì khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cũng là một vấn đề cần được chú trọng trong quá trình dạy học bài tập toán.
- Với từng bài toán, chúng ta tìm ra được lời giải đã là một niềm vui nhưng sẽ cảm thấy thú vị hơn nếu tìm ra được nhiều lời giải hơn cho một bài toán đó. Hãy tiếp cận một bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau để có thể tìm được nhiều hướng giải mới. Vì vậy, cần tạo điều kiện và hướng dẫn học sinh tìm ra các cách giải khác nhau của bài toán Tổ hợp – Xác suất là góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, tạo ra những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần. Giúp học sinh có cách giải quyết mới không gò bó, phụ thuộc vào cái đã có trước đó.
- Để giúp học sinh tìm ra được cách giải khác nhau của bài toán Tổ hợp – Xác suất có thể thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Cho học sinh trình bày một lời giải nào đó của bài toán.
Bước 2: Giáo viên yêu cầu học sinh khai thác bài toán theo các hướng khác
nhau để tìm ra các lời giải mới.
Ví dụ 1.6: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau.
Bài toán Tổ hợp – Xác suất có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau. Để lập số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 học sinh dùng kí hiệu để diễn đạt lại nội dung:
Gọi số tự nhiên chẵn có bốn chữ số cần tìm là abcd. Khi học sinh hiểu được mối quan hệ giữa cú pháp và ngữ nghĩa, các em sẽ giải thích được bộ bốn số
a b c d; ; ; là tập con của tập hợp 1; 2; 3; 4; 5; 6 , d2; 4; 6 . Từ đó sử dụng quy tắc nhân để giải quyết vấn đề.
24
Ngoài cách diễn đạt trên học sinh có thể khai thác bài toán theo một hướng khác: Cho 6 số cần lập số có 4 số khác nhau học sinh có thể sử dụng công thức chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử để giải bài toán.
1.2.2.3. Năng lực liên tưởng huy động kiến thức để giải quyết vấn đề
- Liên tưởng là nhân sự việc hiện tượng nào đó mà nghĩ đến sự vật hiện tượng khác có liên quan. Liên tưởng có thể chia thành 4 loại: Liên tưởng gần nhau về không gian và thời gian, liên tưởng giống nhau về hình thù và nội dung, liên tưởng trái ngược nhau, liên tưởng nhân quả.
- Mỗi loại liên tưởng có vai trò khác nhau trong quá trình tư duy, nhưng nhìn chung chúng có cùng một công dụng là huy động được kiến thức.
- Năng lực huy động kiến thức là một tổ hợp tâm lí của học sinh, đáp ứng việc nhớ lại có chọn lọc những kiến thức mà các em đã có thích ứng với một vấn đề đặt ra trong vốn tri thức của bản thân.
- Trong dạy học giải bài tập Toán để học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề, giáo viên cần dẫn dắt học sinh huy động tái hiện lại kiến thức cũ (những định lí, mệnh đề, những ví dụ mẫu, những bài toán có thuật giải,…) nhằm quy lạ về quen. Để xuất hiện các liên tưởng có khi phải biến đổi bài toán, sự biến đổi này phụ thuộc vào mức độ khó dễ của bài toán. Tóm lại, để rèn luyện cho học sinh sự liên tưởng, huy động kiến thức giáo viên cần đảm bảo các kiến thức toán học cơ bản cần thiết để làm nền tảng.
- Năng lực liên tưởng huy động kiến thức là khả năng tái hiện lại những kiến thức liên quan đến vấn đề, tốc độ và mức độ tái hiện phụ thuộc vào khả năng nhạy bén và kiến thức nền của từng học sinh.
- Khi huy động kiến thức cần thiết liên quan đến vấn đề học sinh sẽ giới hạn phạm vi của kiến thức.
25
Ví dụ 1.7: Một đôi văn nghệ có 15 người gồm 10 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tốp ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 học sinh nữ.
Học sinh phân tích bài toán, liên tưởng, huy động kiến thức đã học: Quy tắc cộng, quy tắc nhân, chỉnh hợp, tổ hợp,… để giải bài toán.
1.2.2.4. Năng lực thực hiện các hoạt động trí tuệ: So sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa
- Để phát hiện và giải quyết vấn đề không chỉ dừng lại ở mức độ nhận biết những thuộc tính bên ngoài của nó bởi đó chỉ là giai đoạn nhận thức cảm tính, cần chuyển qua một giai đoạn nhận thức lí tính tức là cần phải tìm hiểu bản chất của vấn đề. Bản chất vấn đề sẽ được bộc lộ thông qua các hoạt động trí tuệ: so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa.
- Các hoạt động so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa, chúng vừa giống nhau, vừa tương phản nhau, tác động lẫn nhau trong suốt quá trình dạy học giúp học sinh dự đoán vấn đề, phát hiện và giải quyết được vấn đề.
Ví dụ 1.8: Dạy học công thức nhị thức Niu-tơn.
Giáo viên yêu cầu học sinh: Khai triển các hằng đẳng thức: (ab) ; (2 ab) .3 Xác định các hệ số trong các khai triển này.
Tổng quát ta chứng minh được:
0 1 1 2 2 2
(ab)n C an n C a bn n C an n b ...C bnn n. Công thức này được gọi là công thức nhị thức Niu-tơn.
Cụ thể, giáo viên yêu cầu học sinh khai triển biểu thức (xy) .6
Với ax b, y n, 6, học sinh áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn để giải quyết bài toán.
26
1.2.2.5. Năng lực đánh giá các phương án giải quyết vấn đề trong nội dung Tổ hợp – Xác suất, lựa chọn phương án tối ưu
- Một vấn đề có thể có nhiều hơn một phương án giải quyết. Năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong dạy học toán thể hiện khả năng phát hiện thêm các phương án khác nhau.
- Học sinh cần rèn luyện năng lực đánh giá để lựa chọn được phương án tối ưu giải quyết vấn đề trong nội dung Tổ hợp – Xác suất, nắm vững các dữ kiện quy gọn, tránh tình trạng lan man, không định hướng.
Ví dụ 1.9: Từ một hộp chứa 3 quả cầu màu trắng, 2 quả cầu màu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu. Tính xác suất sao cho 2 quả cầu lấy ra khác màu.
GV yêu cầu HS phân tích bài toán làm sao để tính xác suất sao cho 2 quả cầu lấy ra khác màu .
HS: Để 2 quả cầu lấy ra khác màu: 1 quả màu trắng và 1 quả màu đen hoặc ngược lại. Từ đó, tìm số phần tử biến cố 2 quả cầu lấy ra khác màu. Áp dụng công thức thức tính xác suất giải bài toán.
GV: Còn phương án nào khác để giải bài toán không?
HS: Để chọn 2 quả cầu khác màu ta chọn 2 quả cầu cùng màu rồi tính xác suất 2 quả cầu lấy ra cùng màu. Vì 2 quả cầu cùng màu và 2 quả cầu khác màu là hai biến cố đối nhau nên áp dụng công thức tính xác suất: ( ) 1- ( )P A P A ta tính được
xác suất lấy ra 2 quả cầu khác màu.
Sau khi tìm được 2 cách giải học sinh đánh giá xem cách nào tối ưu hơn để lựa chọn giải các bài tập tương tự.
1.2.2.6. Năng lực toán học hóa các tình huống thực tế, vận dụng kiến thức về Tổ hợp – Xác suất trong cuộc sống
- Kĩ năng toán học hóa các tình hống thực tế được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh vận dụng những kiến thức toán
27
học trong nhà trường vào cuộc sống, giúp học sinh thấy được việc học toán không chỉ mang tính lí thuyết mà còn vận dụng được vào thực tiễn.
- Năng lực toán học hóa các tình huống thực tế, vận dụng kiến thức về Tổ hợp – Xác suất góp phần gây hứng thú cho học sinh, giúp học sinh nắm được thực chất của vấn đề, tránh việc hiểu sai các sự kiện toán học một cách hình thức.
Ví dụ 1.10: Một thầy giáo có 10 quyển sách Toán khác nhau, trong đó có 4 quyển Đại số, 3 quyển Giải tích và 3 quyển Hình học. Thầy muốn tặng thư viện nhà trường 5 quyển sao cho có đủ 3 loại sách trên. Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng như vậy.
Thực chất bài toán trên là bài toán tổ hợp. Từ tình huống thực tế trong cuộc sống vận dụng kiến thức Tổ hợp – Xác suất để giải quyết vấn đề.
1.3. Thực trạng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề ở trường Trung học phổ thông
1.3.1. Mục đích khảo sát
Tìm hiểu về phương pháp và cách thức tổ chức hoạt động nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất Đại số & Giải tích 11.
1.3.2. Đối tượng và phạm vi khảo sát
Để tìm hiểu thực trạng dạy học Tổ hợp – Xác suất cũng như việc tổ chức dạy học bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh ở trường THPT hiện nay tôi đã tiến hành khảo sát 30 giáo viên Toán và 150 học sinh của các trường THPT trên địa bàn thành phố Cao Lãnh. Hình thức khảo sát chủ yếu là lập phiếu khảo sát dành cho giáo viên và học sinh, ngoài ra tôi trực tiếp trao đổi, phỏng vấn với giáo viên.
1.3.3. Nội dung khảo sát
Phiếu khảo sát giáo viên: Gồm 10 câu hỏi (Phụ lục 1). Phiếu khảo sát học sinh: Gồm 10 câu hỏi (Phụ lục 2).
28
1.3.4. Kết quả khảo sát
Kết quả khảo sát giáo viên:
Bảng 1.2. Thống kê kết quả khảo sát giáo viên
Câu hỏi
Lựa chọn A Lựa chọn B Lựa chọn C Lựa chọn D Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % 1 0 0% 2 6,7% 23 76,6% 5 16,7% 2 4 13,3% 20 66,7% 6 20% 0 0% 3 0 0% 10 33,3% 18 60 2 6,7% 4 12 40% 18 60% 0 0% 0 0% 5 3 10% 27 90% 0 0% 0 0% 6 8 26,7% 16 53,3% 22 73,3% 0 0% 7 15 50% 26 86,7% 28 93,3% 0 0% 8 25 83,3% 20 66,7% 26 86,7% 0 0% 9 20 66,7% 22 73,3% 15 50% 0 0%
Từ kết quả khảo sát, chúng tôi nhận thấy hầu hết giáo viên cho rằng năng lực giải quyết vấn đề là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các quá trình nhận thức, hành động và thái độ để giải quyết những tình huống không có sẵn cách thức và trình tự giải quyết (76,6%).
Khi đánh giá về nội dung chủ đề Tổ hợp – Xác suất, 66,7% giáo viên cho rằng đây là chủ đề khó vì thế giáo viên rất quan tâm đến việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh (90%).
Năng lực giải quyết vấn đề trong chủ đề Tổ hợp – Xác suất có những biểu hiện: Năng lực diễn đạt bài toán Tổ hợp – Xác suất theo nhiều cách khác nhau