lầm thường mắc phải trong nội dung chủ đề; đề xuất cách khắc phục
a) Mục đích của biện pháp
Sai lầm sẽ tạo ra mâu thuẫn và mâu thuẫn chính là động lực thúc đẩy quá trình nhận thức của học sinh. Mặc khác, sai lầm cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không hướng dẫn học sinh phát hiện sai lầm và sửa chữa, khắc phục sai lầm đó. Việc phát hiện sai lầm và đề xuất cách khắc phục sai lầm trong chủ đề Tổ hợp – Xác suất có vai trò quan trọng trong hình thành, phát triển năng lực góp phần bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.
b)Cách thức thực hiện
- Giáo viên giúp học sinh không còn nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân, học sinh không còn lúng túng khi nào dùng tổ hợp, khi nào dùng chỉnh hợp hay hiểu sai về không gian mẫu,...
+ Học sinh nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân:
Ví dụ 2.17: Một tổ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách để giáo viên chủ nhiệm chọn một học sinh nam và một học sinh nữ giúp làm công việc nào đó.
Học sinh có thể giải như sau: Có 4 cách chọn một học sinh nam. Có 5 cách chọn một học sinh nữ.
57
Khi đó, giáo viên thấy sai lầm của học sinh và hướng dẫn học sinh phân tích để tìm lời giải đúng cho bài toán qua các câu hỏi:
GV: Công việc được thực hiện bằng một trong các hành động hay thực hiện bởi hai hành động liên tiếp?
HS: Hai hành động liên tiếp.
GV: Vậy thực hiện quy tắc cộng hay quy tắc nhân? HS: Quy tắc nhân.
GV: Em hãy cho biết lời giải đúng của bài toán?
Qua các câu hỏi, học sinh nhận thấy để chọn 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ cần thực hiện hai hành động liên tiếp. Do đó, phải sử dụng quy tắc nhân, học sinh giải lại bài toán:
Có 4 cách chọn một học sinh nam. Có 5 cách chọn một học sinh nữ.
Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu: 4.5 = 20 cách chọn.
Sai lầm học sinh thường mắc phải là chưa nắm vững dấu hiệu bản chất của quy tắc cộng và quy tắc nhân. Do đó, trong quá trình dạy học giáo viên cần nhấn mạnh: Công việc được thực hiện bằng hai hành động liên tiếp thì dùng quy tắc nhân, công việc được thực hiện bằng một trong hai hành động thì dùng quy tắc cộng.
+ Học sinh nhầm lẫn giữa công thức chỉnh hợp và tổ hợp:
Ví dụ 2.18: Một trường đại học có 4 cửa ra và vào. Hỏi có bao nhiêu cách đi vào một cửa và đi ra cửa khác.
Học sinh có thể giải như sau: Mỗi cách vào và ra các cửa là một tổ hợp chập 2 của 4 phần tử. Số cách vào và ra cửa: C426cách.
Giáo viên phát hiện sai lầm của học sinh hướng dẫn học sinh phân tích tìm sai lầm của bài toán qua các câu hỏi:
58
GV: Với hai cửa ra vào A và B nào đó thì có bao nhiêu cách vào một cửa và đi ra cửa khác?
GV: Vậy cách ra vào cửa có phân biệt thứ tự không? HS: Vào và ra cửa khác nên có thứ tự.
Hãy cho biết lời giải đúng của bài toán?
Từ gợi ý của giáo viên học sinh nhận thấy mỗi cách vào và ra các cửa là một chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử.
Khi đó, số cách đi vào và ra cửa khác:A42 12cách thảo yêu cầu.
Sai lầm học sinh thường mắc phải là lẫn lộn giữa việc sử dụng công thức tổ hợp và chỉnh hợp. Học sinh chưa nhận ra việc đi vào cửa A và đi ra cửa B và ngược lại là sắp xếp có thứ tự. Để giúp học sinh khắc phục sai lầm giáo viên cần phân biệt cho học sinh thấy sự khác nhau giữa hai khái niệm chỉnh hợp (sắp xếp theo một thứ tự) và tổ hợp (không kể đến thứ tự).
+ Học sinh sử dụng sai công thức quy tắc cộng và quy tắc nhân; tổ hợp và chỉnh hợp:
Ví dụ 2.19: Một đội văn nghệ có 20 học sinh gồm 10 nam và 10 nữ. Cần chọn ra một nhóm 5 học sinh để diễn kịch. Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 2 học sinh nam?
Học sinh giải như sau: Có đúng 2 học sinh nam thì cần thêm 3 học sinh nữ. Chọn 2 học sinh nam từ 10 học sinh nam: C102 45 cách chọn. Chọn 3 học sinh nữ từ 10 học sinh nữ: C103 120cách chọn.
Khi đó số cách chọn một nhóm 5 người gồm có đúng 2 học sinh nam: 45 120 165 cách chọn.
Sai lầm của học sinh là đã cho rằng 5 học sinh được chọn bằng cách chọn 2 học sinh nam “ cộng ” thêm 3 học sinh nữ nữa. Do đó, dẫn đến áp dụng sai quy tắc cộng và sai kết quả.
59
Lời giải mong muốn từ học sinh:
Chọn 2 học sinh nam từ 10 học sinh nam: C102 45cách chọn. Chọn 3 học sinh nữ từ 10 học sinh nữ: C103 120cách chọn.
Khi đó số cách chọn một nhóm 5 người gồm có đúng 2 học sinh nam: 45.120 = 5400 cách chọn.
- Học sinh hiểu sai về không gian mẫu:
Ví dụ 2.20: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Gọi A là biến cố “Tổng số chấm hai lần gieo bằng 8”. Mô tả không gian mẫu. Tìm số phần tử của không gian mẫu.
Hình 2.1
Học sinh thường hiểu sai về phép thử ngẫu nhiên dẫn đến hiểu sai về không gian mẫu. Học sinh có thể nhầm lẫn khi xác định không gian mẫu
2;3;4;...;11;12
, gồm 11 phần tử. Để giúp học sinh phát hiện ra sai lầm của mình, giáo viên cho học sinh tiến hành mô tả cách thực hiện phép thử, xác định các kết quả có thể xảy ra của phép thử là gì, qua đó học sinh sẽ hiểu đúng về không gian mẫu. Giáo viên có thể gợi ý như sau:
60
Bảng 2.1. Kết quả xuất hiện khi gieo hai con súc sắc
1 2 3 4 5 6 1 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) 2 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) 3 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) 4 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) 5 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) 6 (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)
Khi gieo hai con súc sắc ta sẽ được cặp số (x; y) trong đó x, y tương ứng với kết quả gieo con súc sắc lần thứ nhất và lần thứ hai. Không gian mẫu
(1;1),(1;2),...,(6;5),(6;6) .
Vậy số phần tử của không gian mẫu là 36.
- Giáo viên đưa ra những bài toán mà có thể dự đoán được học sinh mắc sai lầm ở đâu. Khi đó, giáo viên phát hiện kịp thời sai lầm để có phương án cho học sinh phát hiện và sửa chữa sai lầm, đề xuất cách khắc phục. Tránh tình trạng sai lầm liên tiếp kéo theo.
Ví dụ 2.21: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau.
GV dự đoán HS có thể giải như sau:
Gọi số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau có dạng: abcd. Do cần lập số tự nhiên chẵn nên d có thể là 0,2,4,6.
d có 4 cách chọn. c có 6 cách chọn. b có 5 cách chọn.
61
a có 4 cách chọn.
Áp dụng quy tắc nhân ta có: 4.6.5.4 = 480 số.
Khi dự đoán được học sinh mắc sai lầm ở đâu giáo viên phát hiện kịp thời sai lầm để sửa chữa sai lầm, đề xuất cách khắc phục.
Sai lầm: Học sinh đã quên điều kiện rằng buộc để abcd trở thành số tự nhiên có 4 chữ số thì a0, vì thế trong lời giải trên có trường hợp a = 0. Do đó, nó không còn là số tự nhiên có 4 chữ số.
GV: Thế nào là số tự nhiên chẵn?
HS: Số tự nhiên chẵn là số có chữ số tận cùng: 0; 2; 4; 6; 8.
GV: Hướng dẫn học sinh xét 2 trường hợp: d = 0 và d 0 để giải bài toán trên.
HS: Gọi số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau có dạng : abcd.
Trường hợp 1: d = 0 . a có 6 cách chọn. b có 5 cách chọn. c có 4 cách chọn. Áp dụng quy tắc nhân ta có: 6.5.4 = 120 số. Trường hợp 2: d 0. d có thể là 2,4,6 nên d có 3 cách chọn a có 5 cách chọn (do a0). b có 5 cách chọn. c có 4 cách chọn. Áp dụng quy tắc nhân ta có: 3.5.5.4 = 300 số.
Vậy có tất cả 120 + 300 = 420 số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.
62
- Giáo viên cũng có thể thiết kế những bài toán có lời giải sai nhưng thấy có vẻ đúng, những bài toán có nhiều lời giải cả đúng và sai. Chẳng hạn, giáo viên đưa ra lời giải nghe có vẽ như đúng để chỉ ra sai lầm:
Ví dụ 2.22: Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh ngồi vào 1 bàn tròn?
Hình 2.2
Giáo viên đưa ra lời giải: Ta có 8 học sinh được xếp ngồi vào bàn tròn. Cách sắp xếp thứ tự 8 học sinh nên sử dụng công thức hoán vị của 8 phần tử:
8
P 8! 8.7.6.5.4.3.2.1 40320 cách sắp xếp chỗ ngồi.
Học sinh thấy hợp lí nghe có vẻ như đúng và dễ dàng mắc sai lầm. Giáo viên giúp học sinh phát hiện sai lầm để sửa chữa và tìm cách khắc phục sai lầm đó.
GV: Khi xếp chỗ ngồi vào bàn tròn ta sắp xếp như sau:
Xếp người thứ nhất vào ghế, có 1 cách xếp vì xếp người này ngồi vào ghế nào cũng chỉ có 1 cách sắp xếp.
Sau khi xếp người thứ nhất vào ghế thì còn lại 7 ghế trống. Xếp người thứ 2 vào ghế có 7 cách sắp xếp.
Tương tự, xếp người thứ 3 vào ghế có 6 cách sắp xếp. Xếp người thứ 4 vào ghế có 5 cách sắp xếp.
Xếp người thứ 5 vào ghế có 4 cách sắp xếp. Xếp người thứ 6 vào ghế có 3 cách sắp xếp. Xếp người thứ 7 vào ghế có 2 cách sắp xếp.
63
Xếp người cuối cùng vào ghế có 1 cách sắp xếp.
Vậy theo quy tắc nhân ta có: 1.7.6.5.4.3.2.1=5040 cách sắp xếp.
Từ đó, giáo viên đưa ra quy tắc sắp xếp n phần tử vào bàn tròn: ( -1)!n Học sinh sẽ không mắc sai lầm khi gặp bài toán sắp xếp chỗ ngồi vào bàn tròn.
- Ngoài ra, giáo viên đưa ra các câu hỏi trắc nghiệm khách quan để học sinh chọn lựa câu trả lời đúng nhất:
Ví dụ 2.23: Hãy chọn một phương án trả lời đúng nhất cho mỗi câu sau:
Câu 1.Cho tập hợpA1, 2,3, 4,5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
chẵn có 3 chữ số khác nhau lấy trong A?
A. 24. B. 8. C.18. D. 12.
Câu 2.Một tổ có 8 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thành một hàng
dọc sao cho bạn tổ trưởng luôn đứng đầu tiên?
A. 40320. B. 3920. C. 5040. D. 56.
Câu 3.Đội tuyển học sinh giỏi tiếng Anh của trường có 7 bạn nữ và 3 bạn
nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 bạn đi dự trại hè Quốc tế sao cho có cả nam và nữ?
A. 231. B. 5292. C. 504. D. 252.
Câu 4. Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một lớp gồm 38 học sinh? A. A382 B. 38 C. 2 238 D. C382
Câu 5. Cho A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, có bao nhiêu cách lập số tự nhiên
gồm năm chữ số khác nhau từ tập A?
64