cùng một vần đề, mội bài toán; lựa chọn phương án tối ưu
a) Mục đích của biện pháp
Một vấn đề có nhiều phương án để giải quyết cũng như một bài toán sẽ có nhiều cách giải khác nhau. Giáo viên cần linh hoạt tổ chức cho học sinh giải các bài toán theo nhiều cách khác nhau vì mỗi cách giải đều có những ưu điểm và khuyết điểm riêng. Từ đó giúp học sinh rút ra được những kinh nghiệm để giải bài toán nhanh và chính xác hơn, rèn luyện năng lực đánh giá để lựa chọn phương án tối ưu, nắm vững các dữ kiện quy gọn, giải quyết chính xác, triệt để vấn đề giúp học sinh bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề.
b) Cách thức thực hiện
- Trong quá trình giải toán, giáo viên cần giúp học sinh xem xét những mối liên hệ giữa các yếu tố để chọn lọc kiến thức cần thiết phục vụ cho việc giải từng bài toán cụ thể. Tùy bài toán mà học sinh phải biết huy động những kiến thức nào cho phù hợp.
Ví dụ 2.24: Từ các số tự nhiên 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.
Học sinh thường giải như sau:
Các số lập được: 123; 132; 213; 231; 312; 321. Vậy tất cả có 6 số thỏa yêu cầu.
GV: Còn bạn nào có cách giải khác?
HS: Để lập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ các số 1; 2; 3 ta giả sử số cần tìm abc, khi đó tìm số cách chọn các chữ số a, b, c.
Học sinh có thể giải: Giả sử số cần tìm abc.
Có 3 cách chọn a. Có 2 cách chọn b.
65
Có 1 cách chọn c.
Vậy theo quy tắc nhân: 3.2.1 = 6 số.
GV: Từ lời giải trên em có nhận xét gì?
Kết quả mong muốn từ học sinh: 3.2.1 là số hoán vị của 3 phần tử.
GV: Mỗi cách lập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là một hoán vị của 3 phần tử 1; 2; 3. Do đó, có thể sử dụng công thức hoán vị để giải.
Học sinh giải bài toán:
Số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là một hoán vị của 3 phần tử.
3 3! 3.2.1 6
P số.
Vậy có 6 số thỏa yêu cầu.
Các công thức mối liên hệ với nhau nên một bài toán có nhiều lời giải, cần lựa chọn phương án tối ưu.
- Trong một bài toán, giáo viên yêu cầu học sinh giải theo nhiều cách khác nhau hoặc giáo viên hướng dẫn, gợi ý để học sinh tìm ra được hướng giải quyết. Từ đó lựa chọn cách giải nào dễ thực hiện, ngắn gọn, chính xác, tối ưu.
Ví dụ 2.25: Chứng minh rằng: 316C160 315C161 314C162 ...C1616 216 GV: Bài toán trên có liên quan đến công thức nào?
HS: Học sinh có thể gặp khó khăn khi chưa nhận ra dạng bài toán. GV: Hãy khai triển biểu thức (x1)16?
Lời giải mong muốn từ học sinh:
16 16 16 16 0 ( 1) ( 1)k k k K x C x
GV: Hãy thay x = 3 vào khai triển trên?
Học sinh thay x = 3 vào khai triển và được kết quả:
16 16 0 15 1 16
16 16 16
2 3 C 3 C ...C . GV: Hãy tìm cách giải khác? HS: Chưa tìm được cách giải khác.
66
GV: Hãy khai triển biểu thức (3x)16 và thay x = 1 vào khai triển. Lời giải mong muốn từ học sinh:
Ta có: 16 16 16 16 0 (3 ) ( 1)k k.3 k. .k k x C x Thay x = 1, ta được: 216 316C160 315C160 314C162 ...C1616 .
Giáo viên hướng dẫn để học sinh tìm ra nhiều cách giải một bài toán, học sinh chọn cách giải tối ưu nhất để vận dụng các bài toán tương tự khác.
- Giáo viên rèn luyện cho học sinh biến đổi bài toán theo nhiều cách khác nhau để huy động kiến thức thích hợp cho từng cách giải, học sinh cần xem xét mối liên hệ giữa các đại lượng, phán đoán các khả năng có thể xảy ra và các hướng biến đổi bài toán.
Ví dụ 2.26: Từ 12 học sinh ưu tú của một trường trung học, người ta muốn chọn ra một đoàn đại biểu 5 người gồm 1 trưởng đoàn, 1 thư kí và 3 thành viên đi dự trại hè quốc tế. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu nói trên? (Đề thi ĐH Quốc gia TP HCM 1998)
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán:
Cách giải 1: Từ 12 học sinh chọn ra một đoàn đại biểu 5 người gồm 1 trưởng đoàn, 1 thư kí và 3 thành viên: Trước hết, chọn 5 học sinh trong 12 học sinh không phân biệt thứ tự. Trong 5 người đã chọn ta chọn 1 học sinh làm trưởng đoàn. Khi chọn xong 1 trưởng đoàn ta còn lại 4 học sinh, cuối cùng ta chọn 1 thư kí trong 4 học sinh còn lại.
Lời giải mong muốn:
Chọn 5 học sinh trong 12 học sinh không phân biệt thứ: C125 792cách. Trong 5 người đã chọn có 5 cách khác nhau để chọn 1 học sinh làm trưởng đoàn. Khi chọn xong 1 trưởng đoàn ta còn lại 4 học sinh. Để chọn 1 thư kí ta có 4 cách.
67
Vậy để chọn 1 đoàn đại biểu 5 người ta có: C125.5.4 15840 cách chọn. Cách giải 2: Để chọn 1 đoàn đại biểu 5 người gồm 1 trưởng đoàn, 1 thư kí và 3 thành viên. Trước hết, ta chọn 1 học sinh làm trưởng đoàn trong 12 học sinh. Sau khi chọn xong 1 học sinh làm trưởng đoàn ta còn 11 học sinh. Tiếp theo chọn 1 học sinh làm thư kí trong 11 học sinh. Khi đó, còn lại 10 học sinh. Cuối cùng chọn 3 thành viên trong 10 học sinh.
Lời giải mong muốn:
Chọn 1 học sinh làm trưởng đoàn trong 12 học sinh, ta có 12 cách.
Sau khi chọn xong 1 học sinh làm trưởng đoàn ta còn 11 học sinh. Để chọn 1 thư kí ta có 11 cách. Chọn 3 thành viên còn lại không phân biệt thứ tự trong 10 học sinh còn lại ta có tổ hợp chập 3 của 10: C103 120cách.
Vậy để chọn 1 đoàn đại biểu 5 người ta có: 12.11.C103 15840cách chọn.