Nguyên tắc 2: Các biện pháp được xây dựng trên cơ sở đảm bảo

kiến thức kĩ năng của chương trình hiện hành đồng thời tiếp cận chương trình Toán mới sau 2019

Chương trình sách giáo khoa là một hệ thống kiến thức được nghiên cứu, xây dựng một cách trình tự, lôgic trong cấu trúc Toán học và phương diện sư phạm. Đảm bảo tính nhất quán về nội dung và liên môn, phù hợp với thực tiễn. Chú trọng đến việc đổi mới phương pháp dạy học và tinh giản theo hướng phù

33

hợp với trình độ nhận thức của học sinh, chú trọng phát huy tính tích cực, chủ động, đồng thời rèn luyện và bồi dưỡng năng lực học tập Toán cho học sinh.

Trong quá trình dạy học, việc thiết kế bài giảng phải dựa vào mục tiêu và yêu cầu của chủ đề, của bài học cũng như thời lượng của chúng. Khi xây dựng các biện pháp để các biện pháp phải dựa trên chuẩn kiến thức, kĩ năng của chương trình hiện hành thể hiện cụ thể, tường minh cách tiếp cận phát triển năng lực, hướng đến mục tiêu hình thành và bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh.

2.1.3. Nguyên tắc 3: Các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề theo quan điểm dạy học tiếp cận năng lực

Trong việc xác định nội dung dạy học không chỉ chú ý đến các kiến thức, kĩ năng chuyên môn mà cần chú ý những nội dung có thể phát triển năng lực. Cách thức tổ chức quá trình dạy học thông qua một chuỗi các hoạt động học tập tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh với sự hợp tác của bạn học và sự hướng dẫn, trợ giúp hợp lí của giáo viên, hướng đến mục tiêu hình thành và bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh.

Dạy học giải quyết vấn đề là quan điểm dạy học nhằm phát triển năng lực tư duy, khả năng nhận biết và giải quyết vấn đề. Học sinh được đặt trong một tình huống có vấn đề, tình huống chứa đựng mâu thuẫn nhận thức, thông qua việc giải quyết vấn đề giúp học sinh lĩnh hội tri thức, kĩ năng và phương pháp nhận thức. Dạy học giải quyết vấn đề là con đường cơ bản để phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh. Do đó, các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề theo quan điểm dạy học tiếp cận năng lực.

2.1.4. Nguyên tắc 4: Các biện pháp phải có tính khả thi và có thể áp dụng trong dạy học chủ đề trong dạy học chủ đề

34

Đặc điểm tâm lí, trình độ nhận thức, tư duy Toán học của mỗi học sinh khác nhau. Do đó, hệ thống các biện pháp phải xây dựng dựa trên đặc điểm tâm lí chung, trình độ nhận thức và tư duy ở mức độ trung bình đối với tất cả học sinh để các biện pháp có thể thực hiện đối với mọi đối tượng học sinh.

Bất cứ một biện pháp nào cũng phải tính đến yếu tố khả thi. Tính khả thi thể hiện ở chỗ trong điều kiện của nhà trường, điều kiện của xã hội và đặc biệt là sự phát triển của công nghệ thông tin có thể triển khai các biện pháp này một cách hiệu quả. Tính khả thi không những áp dụng hiệu quả cho đơn vị thực nghiệm mà còn có thể nhân rộng cho các trường THPT trong cả nước.

2.2. Các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất sinh thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất

2.2.1. Biện pháp 1: Giúp cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về Tổ hợp – Xác suất thông qua thực hành luyện tập thường xuyên Tổ hợp – Xác suất thông qua thực hành luyện tập thường xuyên

a) Mục đích của biện pháp

Thông qua thực hành luyện tập thường xuyên giúp học sinh củng cố kiến thức vừa học thông qua đó nắm vững, khắc sâu kiến thức cơ bản để phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề chính xác và nhanh nhất, làm tốt các bài tập mà giáo viên đề ra.

b) Cách thức thực hiện

Để giúp cho học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về Tổ hợp – Xác suất thông qua thực hành luyện tập thường xuyên giáo viên thực hiện như sau: - Giáo viên giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức đã học để học sinh nắm chắc được nội dung kiến thức áp dụng giải quyết vấn đề. Ví dụ giáo viên hệ thống lại những kiến thức trong từng chương thông qua tiết ôn tập chương:

35

Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

Chú ý: Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì

( ) ( ) ( ).

n AB n A n B

Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

Hoán vị: Cho tập hợp A có nn1 phần tử. Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử:   

! 1 2 ...1

n

P n n n n

Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử n1. Kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. Số các chỉnh hợp:

.( 1)...( 1).

k n

A n n n k

Chú ý:

a) Với quy ước 0! 1, ta có   ! ! k n n A n k   1kn

b) Mỗi hoán vị của n phần tử chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy: Pn  Ann

Tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử n1. Mỗi tập hợp con gồm k

36 ! . !( )! k n n C k n k   Công thức nhị thức Niu–tơn: 0 1 1 2 2 2 (ab)n C an n C a bn n C an n b ...C bnn n.

Trong các công thức nhị thức Niu-tơn, cho n=0,1,2,… và xếp các hệ số thành dòng, ta nhận được tam giác sau đây gọi là tam giác Paxcan.

0 n 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1 n=7 1 7 21 35 35 21 7 1 ...

Phép thử ngẫu nhiên: Phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Kí hiệu:  (đọc là ô-mê-ga).

37

Biến cố là một tập con của không gian mẫu. Tập  được gọi là biến cố

không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập  được gọi là biến cố chắc

chắn.

Phép toán trên các biến cố:

Tập \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A. Kí hiệu: A. Tập AB được gọi là hợp của các biến cố A và B.

Tập AB được gọi là giao của các biến cố A và B. Nếu AB  thì ta nói A và B xung khắc.

Xác suất của biến cố:Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số ( )

( )

n A

n  là xác

suất của biến cố A, kí hiệu: ( ).P A

( ) ( ) . ( ) n A P A n  

Với ( )n A là số phần tử của A hay cũng là số kết quả thuận lợi cho biến cố A, ( )n  là số kết quả có thể xảy ra của phép thử.

Tính chất của xác suất:

a) ( ) 1, ( )P   P  0.

b) 0P A( ) 1 với mọi biến cố A c) Nếu A và B xung khắc thì

( ) ( ) ( )

P AB P A P B (công thức cộng xác suất).

Biến cố đối: Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, ký hiệu là A được gọi là biến cố đối của A. Xác suất của biến cố đối A là

 

1

( ) .

P A   P A

Biến cố độc lập: A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi: ( ) ( ). ( )

38

- Cho học sinh thực hành ôn tập, luyện tập các kiến thức trước, trong và sau học:

Ví dụ 2.2: Một lớp học có 18 học sinh nam, 22 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách để giáo viên chủ nhiệm chọn ra:

a) Một học sinh làm lớp trưởng.

b) Một học sinh nam và một học sinh nữ biểu diễn văn nghệ.

Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán a:

GV: Trong lớp học có 18 học sinh nam, 22 học sinh nữ. Việc chọn ra một học sinh làm lớp trưởng thì học sinh nam hay học sinh nữ đều được.

GV: Việc chọn ra một bạn làm lớp trưởng bởi từng hành động hay các hành động liên tiếp nhau?

HS: Thực hiện từng hành động.

GV: Để chọn 1 học sinh làm lớp trưởng cần làm gì? HS: Chọn 1 học sinh nam hoặc 1 học sinh nữ. GV: Sử dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân? HS: Quy tắc cộng.

GV: Trình bày lời giải bài toán trên?

HS: Chọn 1 học sinh nam trong 18 học sinh nam: 18 cách chọn. Chọn 1 học sinh nữ trong 22 học sinh nữ: 22 cách chọn.

Vậy theo quy tắc cộng: 18 + 22 = 40 cách chọn thỏa yêu cầu.

Giáo viên phân tích bài toán b:

GV: Trong lớp học có 18 học sinh nam, 22 học sinh nữ. Chọn một học sinh nam và một học sinh nữ biểu diễn văn nghệ. Việc chọn ra một bạn làm lớp trưởng bởi từng hành động hay các hành động liên tiếp nhau?

HS: Phải thực hiện liên tiếp hai hành động. GV: Sử dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân? HS: Quy tắc nhân.

39

GV: Nêu cách giải bài toán?

HS: Hành động 1: Chọn một học sinh nam: 18 cách chọn. Hành động 2: Ứng với mỗi cách chọn một học sinh nam có 22 cách chọn một học sinh nữ. Sau đó, sử dụng quy tắc nhân để giải bài toán.

GV: Trình bày lời giải bài toán trên? HS: Chọn 1 học sinh nam: 18 cách chọn. Chọn 1 học sinh nữ: 22 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân: 18 . 22 = 396 cách chọn thỏa yêu cầu. GV: Nhắc lại định nghĩa quy tắc cộng và quy tắc nhân?

HS: Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện.

Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp.

Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

Ví dụ 2.3: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau.

GV: Bài toán cho bao nhiêu số tự nhiên? HS: 6 số tự nhiên 1; 2; 3; 4; 5; 6.

GV: Cần lập số tự nhiên có bao nhiêu chữ số? HS: Số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau.

GV: Hãy nêu cách giải bài toán?

HS: Có thể sử dụng quy tắc nhân. Gọi số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có dạng : abcdef.

a có 6 cách chọn. b có 5 cách chọn.

40 c có 4 cách chọn. d có 3 cách chọn. e có 2 cách chọn. f có 1 cách chọn. Áp dụng quy tắc nhân ta có: 6.5.4.3.2.1 = 720 số.

GV: Ngoài áp dụng quy tắc nhân còn cách giải nào khác? HS: Có thể chưa tìm ra cách giải khác.

GV: Cho 6 chữ số sắp xếp 6 chữ số để lập thành số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau cần sử dụng công thức nào?

HS: Công thức hoán vị.

GV: Trình bày lời giải bài toán trên?

HS: Số các số gồm 6 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 là P6 6! 6.5.4.3.2.1 720  số.

GV: Nhắc lại công thức hoán vị?

HS: Hoán vị: Cho tập hợp A có nn1 phần tử. Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử:   

! 1 2 ...1

n

P n n n n

- Giáo viên cho các dạng bài tập áp dụng trực tiếp công thức đơn giản để học sinh nắm vững công thức. Giáo viên cho học sinh giải các bài tập sau:

Ví dụ 2.4: Khai triển biểu thức a) (x y)6.

b) 4

(2x3) .

GV: Để khai triển biểu thức trên cần sử dụng công thức nào? HS: Công thức nhị thức Niu–tơn:

0 1 1 2 2 2

41

GV: Vậy áp dụng công thức như thế nào?

HS: Với ax b,  y n, 6, số mũ của a giảm và số mũ b tăng, áp dụng công thức nhị thức Niu–tơn để khai triển biểu thức sau đó sử dụng máy tính để tính các tổ hợp.

Học sinh trình bày lời giải:

6 0 6 1 5 2 4 2 3 3 3 4 2 4 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 a) ( ) = 6 15 20 15 6 . x y C x C x y C x y C x y C x y C xy C y x x y x y x y x y xy y              

Câu b: Khai triển biểu thức: (2x3) .4 GV: Có thể áp dụng công thức:

0 1 1 2 2 2

(ab)n C an n C a b C an n  n n b ...C bnn nđể giải câu b không? HS: Phân vân vì thấy có vẻ hợp lí.

GV: Trong nhị thức Niu–tơn dấu giữa a và b là dấu cộng nên 4

(2x3) có thể viết lại (2x3)4 (2x ( 3)) .4 Khi đó: a2 , x b 3, n4 áp dụng công thức nhị thức Niu–tơn để giải bài toán.

Học sinh trình bày lời giải:

4 0 4 1 3 2 2 2 3 1 3 4 4 4 4 4 4 4 4 3 2 b) (2 3) (2 ) (2 ) ( 3) (2 ) ( 3) (2 ) ( 3) ( 3) = 16 96 216 216 81. x C x C x C x C x C x x x x              

- Giáo viên giúp học sinh bước đầu phân tích để hiểu rõ bài toán Tổ hợp – Xác suất, hướng dẫn học sinh phát hiện ra vấn đề cần giải quyết, nêu được giả thiết, kết luận, yêu cầu bài toán và tìm cách giải quyết bài toán đó.

Ví dụ 2.5: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ hoa khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:

a) Các bông hoa khác nhau. b) Các bông hoa như nhau.

42

HS: Câu a: Đề cho 3 bông hoa vào 5 lọ hoa khác nhau. Tìm số cách cắm bông hoa vào lọ hoa khi 3 bông hoa khác màu.

Câu b: Đề cho 3 bông hoa vào 5 lọ hoa khác nhau. Tìm số cách cắm bông hoa vào lọ hoa khi 3 bông hoa cùng màu.

GV: Việc cắm 3 bông hoa khác nhau vào 3 lọ hoa chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa rồi sắp xếp chúng với các bông hoa tương ứng. Vì các bông hoa khác nhau nên mỗi cách sắp xếp cho ta 1 kết quả khác nhau. Vậy để giải quyết bài toán trên cần sử dụng công thức nào?

HS: Công thức chỉnh hợp.

GV: Vì sao sử dụng công thức chỉnh hợp mà không dùng công thức tổ hợp để giải bài toán?

HS: Do cắm 3 bông hoa khác nhau vào 5 lọ hoa khác nhau, có phân biệt thứ tự nên số cách cắm là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử.