Tiết này chúng tôi giới thiệu lại một số khái niệm và kết quả liên quan đến đồng cấu nửa vành và đồng cấu nửa môđun. Nhắc lại các ví dụ và nhận xét nhằm chỉ ra sự mở rộng của đồng cấu nửa vành và nửa môđun đối với đồng cấu vành và môđun.
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử R và S là các nửa vành. Ánh xạ f : R −→ S được gọi là đồng cấu nửa vành nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi r1, r2∈R
(1) f(0R) = 0S;
(2) f(r1+r2) =f(r1) +f(r2); (3) f(r1r2) =f(r1)f(r2).
Đồng cấu nửa vànhf được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh). Các nửa vành R và S được gọi là đẳng cấu
với nhau, kí hiệu là R ∼=S, nếu tồn tại một đẳng cấu f : R −→S. Nếu R và S là các nửa vành có đơn vị thì đồng cấu f : R −→S thỏa f(1R) = 1S được gọi là
Định nghĩa 1.3.2. Cho R và S là các nửa vành và f : R −→ S là một đồng cấu nửa vành.
(1) Tập hợp
Ker(f) :={r ∈R |f(r) = 0S}
là một iđêan của R được gọi là nhân của f. (2) Tập hợp
Im(f) := {s∈S | ∃ r, r0∈R:s+f(r) =f(r0)}
là một nửa vành con của S được gọi là ảnh củaf. (3) Tập hợp
f(R) :={s∈S | ∃ r∈R:s=f(r)} là một nửa vành con của S được gọi là ảnh thật sự của f.
(4) Một toàn cấu f : R −→S được gọi là nửa đẳng cấu nếu Ker(f) = 0. Kí hiệu R 'S.
Nhận xét 1.3.3. (1) Trong đồng cấu vành,f là đơn cấu nếu và chỉ nếu Ker(f) = 0. Tuy nhiên, trong đồng cấu nửa vành, nếuf là đơn cấu thì Ker(f) = 0, nhưng chiều ngược lại không đúng. Chẳng hạn, ánh xạf : N−→B từ nửa vành các số tự nhiên N vào nửa vành Boolean B xác định bởi f(0) = 0 và f(n) = 1 với mọi
06=n ∈N là một đồng cấu nửa vành có Ker(f) = 0 nhưng f không là đơn cấu. (2) Trong đồng cấu vành, khái niệm ảnh và ảnh thật sự là trùng nhau, tức là f(R) =Im(f). Nhưng trong đồng cấu nửa vành thì f(R) ⊆ Im(f), nói chung f(R)6= Im(f). Thật vậy, xét đơn cấu chính tắc f : N−→ Z từ nửa vành các số tự nhiên vào vành các số nguyên xác định bởi f(n) = n với mọi n ∈N. Khi đó, f(N) = N Z=Im(f).
Trong lý thuyết vành, nếuR là một vành thì bất kì iđêanI củaR luôn tồn tại một đồng cấu vành f : R−→S từ vành R tới vànhS nào đó sao cho I =Ker(f). Tuy nhiên, điều này không đúng trong trường hợp đồng cấu nửa vành thông qua mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.3.4. ([13, Proposition 10.11]) Cho R và S là các nửa vành, ánh xạ
f : R −→S là một đồng cấu nửa vành và I là một iđêan bất kì của R. Khi đó,
Hoàn toàn tương tự như đồng cấu vành, các kết quả sau đây cho thấy tính bảo toàn cấu trúc của đồng cấu nửa vành.
Mệnh đề 1.3.5. ([13, Proposition 9.46]) Cho R và S là các nửa vành và ánh xạ f : R −→S là đồng cấu nửa vành. Khi đó,
(1) Nếu I là một iđêan trái của S thì f−1(I) là một iđêan trái của R. Hơn nữa, nếu I là iđêan cô lập trong S thì f−1(I) là iđêan cô lập trong R; (2) Nếu f là một toàn cấu và K là một iđêan trái của R thì f(K) là một iđêan
trái của S.
Cho một họ các nửa vành (Ri)i∈I. Tích trực tiếp của một họ các nửa vành
(Ri)i∈I, kí hiệu Q i∈I
Ri := {(ri)i∈I | ri ∈ Ri, i ∈ I}. Khi đó, tích Q i∈I
Ri cùng với hai phép toán cộng và nhân xác định bởi: Với mọi (ri)i∈I,(si)i∈I ∈ Q
i∈I
Ri
(ri)i∈I+ (si)i∈I := (ri+si)i∈I, (ri)i∈I(si)i∈I := (risi)i∈I
là một nửa vành, và nó được gọi là nửa vành tích trực tiếp của họ (Ri)i∈I. Ngoài ra, với mỗi i∈ I đồng cấu πi : Q
i∈I
Ri −→ Ri xác định bởi πi(ri)i∈I := ri với mọi
(ri)i∈I ∈ Q i∈I
Ri là một toàn cấu.
Định nghĩa 1.3.6. ([39, p. 9]) Cho một họ các nửa vành (Ri)i∈I và R là nửa vành tích trực tiếp của họ (Ri)i∈I. Nửa vành con S của R được gọi là tích trực tiếp con của một họ các nửa vành (Ri)i∈I, kí hiệu S =
sub Q i∈I
Ri, nếu với mỗi i ∈I, đồng cấu hạn chế πi |S:S−→Ri cũng là một toàn cấu.
Định lý sau đây được xem như định lý đồng cấu tổng quát của các nửa vành. Định lý 1.3.7. ([48, Theorem 2.1]) Cho R và S là các nửa vành, ϕ: R −→S
là đồng cấu nửa vành và p: R −→R/K là toàn cấu chính tắc với K := Ker(ϕ). Khi đó, tồn tại duy nhất đồng cấu nửa vành
ϕ: R/K −→S
xác định bởi ϕ(r) := ϕ(r), thỏa mãn ϕ.p =ϕ. Ngoài ra, nếu ϕ là toàn cấu thì ϕ
Hai định lý nửa đẳng cấu và đẳng cấu sau đây giữa các nửa vành hoàn toàn tương tự như trong lý thuyết vành.
Định lý 1.3.8. ([48, Theorem 2.2]) Giả sử A là nửa vành con và B là iđêan của nửa vành R. Khi đó, ánh xạ
ϕ: A/(A∩B)−→(A+B)/B
xác định bởi ϕ(aA∩B) :=aB với mọi a∈A là một nửa đẳng cấu.
Định lý 1.3.9. ([48, Theorem 2.3]) Giả sử A và B là các iđêan của nửa vành
R thỏa điều kiện A ⊆B. Khi đó, ánh xạ
e
ϕ: R/B −→(R/A)/(B/A)
xác định bởi ϕe(rB) := [rA]B/A với mọi r∈R là một đẳng cấu.
Mệnh đề sau đây chỉ ra cách xác định phép nhân vô hướng củaR-nửa môđun trái M khi biết M là nửa môđun trái trên nửa vành thương R/I và ngược lại, trong đó I là một iđêan của nửa vành R.
Mệnh đề 1.3.10. ([27, Proposition 2.1])Giả sử R là một nửa vành và I là một iđêan của R. Khi đó,
(1) Nếu M là một R/I-nửa môđun trái thì với phép nhân vô hướng rm:=rm,
M trở thành một R-nửa môđun trái với I ⊆(0 :M)R.
(2) Nếu M là một R-nửa môđun trái với I ⊆(0 :M)R thì M là một R/I-nửa môđun trái với phép nhân vô hướng rm:=rm.
(3) Mọi nửa môđun con của R/I-nửa môđun trái M cũng là nửa môđun con của R-nửa môđun trái M và điều ngược lại cũng đúng khi I ⊆(0 :M)R.
(4) (0 :M)R/I = (0 :M)R/I.
Phần tiếp theo của tiết này, chúng tôi giới thiệu khái niệm đồng cấu của các nửa môđun và một vài kết quả liên quan đến nó.
Định nghĩa 1.3.11. ChoR là một nửa vành vàM, N là cácR-nửa môđun trái. Một ánh xạ f : M −→N được gọi là R-đồng cấu nửa môđun trái nếu: Với mọi x, y ∈M và r∈R
(1) f(0M) = 0N;
(2) f(x+y) =f(x) +f(y); (3) f(rx) = rf(x).
Một R-đồng cấu nửa môđun trái f được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu)
nếu ánh xạ f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh). Khi f là một đẳng cấu thì ta nói M và N đẳng cấu với nhau, kí hiệu M ∼=N.
Ví dụ 1.3.12. (1) Cho M là một R-nửa môđun trái, với mỗi m ∈M ánh xạ
ϕm : RR −→ RM
xác định bởi ϕm(r) := rm với mọi r ∈R là một R-đồng cấu nửa môđun trái. (2) Cho N là nửa môđun con của R-nửa môđun trái M. Khi đó, ánh xạ
p: M −→M/N
xác định bởi p(m) := m/N với mọi m ∈ M là một R-toàn cấu nửa môđun được
gọi là toàn cấu chính tắc.
Định nghĩa 1.3.13. Cho f : M −→ N là một R-đồng cấu từ R-nửa môđun trái M vào R-nửa môđun trái N. Khi đó,
(1) Tập hợp
Ker(f) :={m∈M |f(m) = 0N}
là một môđun con của M và Ker(f) được gọi là nhân của f. (2) Tập hợp
Im(f) :={n ∈N | ∃ m, m0 ∈M :n+f(m) = f(m0)}
là một nửa môđun con cô lập của N và Im(f) được gọi là ảnh của f. (3) Tập hợp
f(M) :={n∈N | ∃ m∈M :n=f(m)} là một nửa môđun con của N được gọi là ảnh thật sự của f.
Định nghĩa 1.3.14. Cho f : M −→ N là một R-đồng cấu từ R-nửa môđun trái M vào R-nửa môđun trái N. Khi đó,
(1) f được gọi là i-chính quy nếu f(M) =Im(f).
(2) f được gọi là k-chính quy nếu f(m) =f(m0) thì tồn tại k, k0 ∈ Ker(f)sao cho m+k =m0+k0.
(3) f được gọi là chính quy nếu f vừa là i-chính quy vừa là k-chính quy.
Nhận xét 1.3.15. Nếu f là R-toàn cấu (R-đơn cấu, R-đẳng cấu) thì f là i- chính quy (tương ứng k-chính quy, chính quy). Điều ngược lại nói chung là không đúng. Tuy nhiên, nếu f là k-chính quy và Ker(f) = 0 thì f là đơn cấu.
Mệnh đề 1.3.16. ([13, Corollary 15.20]) Nếu f : M −→N là một R-toàn cấu k-chính quy thì
M/Ker(f)∼=N.
Chúng tôi kết thúc tiết này bằng việc xây dựng nửa môđun sai phân và vành sai phân. Cho R là một nửa vành và M là một R-nửa môđun trái. Khi đó, tập hợp
M ×M :={(m, m0) | m, m0 ∈M}
cùng với hai phép toán cộng và nhân vô hướng được xác định bởi: Với mọi
(m, m0),(m1, m10)∈M ×M và r∈R
(m, m0) + (m1, m01) := (m+m1, m0+m01) và r(m, m0) := (rm, rm0)
là một R-nửa môđun trái. Xét tập con
W :={(m, m) | m ∈M} ⊆M ×M
của M ×M, ta dễ dàng kiểm tra được W là một nửa môđun con của R-nửa môđun trái M×M. Xét quan hệ tương đẳng Bourne ≡W trên M ×M xác định bởi: Với (m, m0),(m1, m01)∈M ×M
(m, m0)≡W (m1, m01)⇔ ∃ (a, a),(b, b)∈W : (m, m0) + (a, a) = (m1, m01) + (b, b). Đặt
trong đó lớp tương đương của phần tử (m, m0)∈M ×M là
(m, m0) = {(x, y)∈M ×M | (x, y)≡W (m, m0)}.
Khi đó, D(M) với hai phép toán cộng và nhân vô hướng xác định bởi: Với mọi
(m, m0), (m1, m10)∈D(M) và r∈R
(m, m0) + (m1, m01) := (m+m1, m0+m01) và r (m, m0) := (rm, rm0)
là mộtR-nửa môđun trái với phần tử không 0D(M) = (0,0), và với mọi (m, m0)∈ D(M)ta luôn có (m, m0) + (m0, m) = (0,0)nên (m0, m) là phần tử đối của (m, m0)
trong D(M). R-nửa môđun trái D(M) xây dựng như trên được gọi là R-nửa môđun trái sai phân của R-nửa môđun trái M [13, Chapter 16].
Ngoài ra, tồn tại một đồng cấu chính tắc ξM : M −→D(M),
xác định bởi m 7−→ (m,0). Trong trường hợp M là R-nửa môđun trái giản ước thì ξM là một đơn cấu. Khi đó, chúng ta có thể đồng nhất phần tử m ∈ M với phần tử (m,0)∈ D(M), và vì thế M được xem như nửa môđun con của R-nửa môđun trái D(M). Khi đó, với bất kì phần tử (m, m0)∈D(M) ta có
(m, m0) = (m,0) + (0, m0) = (m,0)−(m0,0) =m−m0.
Vậy, nếuM là R-nửa môđun trái giản ước thì với mỗi phần tử trong D(M) luôn viết được dưới dạng hiệu của hai phần tử trong M, tức là
D(M) ={m−m0 | m, m0∈M}.
Đặc biệt, D(R) trở thành một vành với phép toán nhân được xác định bởi: Với mọi (a, b), (c, d)∈D(R)
(a, b) (c, d) := (ac+bd, ad+bc).
Vành D(R) được gọi là vành sai phân của nửa vành R [13, Chapter 8, p. 101]. Nếu R là nửa vành có đơn vị 1 thì D(R) là vành có đơn vị (1,0). Hơn nữa, D(M) trở thành D(R)-môđun trái với phép nhân vô hướng xác định bởi: Với mọi (m1, m2)∈D(M), (a, b)∈D(R)