Tiết này chúng tôi mô tả một số lớp các nửa vành mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn. Các kết quả này trả lời một phần Bài toán [1, Problem 1].
Trong [36, Theorem 3.75] đã khẳng định rằng: Tất cả V-vành trái (phải) đều có căn Jacobson bằng không. Tuy nhiên, điều này không đúng đối với các V-nửa vành trái (phải) trong trường hợp chung. Chẳng hạn, nửa trường Boolean
B là một V-nửa vành trái (phải) và J(B) = B. Hơn nữa, [1, Theorem 3.14] chỉ ra rằng: Một V-nửa vành trái (phải) R là J-nửa đơn nếu và chỉ nếu R là một V-vành trái (phải). Tuy nhiên, kết quả này lại không đúng đối vớiJs-căn. Chẳng hạn, nửa vành chia thật sự Dlà một V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn. Để làm sáng tỏ điều này một vấn đề đặt ra như sau [1, Problem 1]: Mô tả tất cả các V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn.
Trong [1, Theorem 3.12], mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành nửa đơn trái mà nó là V-nửa vành trái (phải). Sử dụng kết quả này, chúng tôi nhận được hệ quả sau về cấu trúc các nửa vành nửa đơn trái mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn. Nửa vành nửa đơn trái đã được giới thiệu trong Định nghĩa 2.3.1.
Hệ quả 2.4.1. Cho R là một nửa vành nửa đơn trái. Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương:
(1) R là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn;
(2) R ∼=M
n1(D1)×. . .×Mnr(Dr), trong đó D1, . . . , Dr là các vành chia hoặc các nửa vành chia cộng hút thật sự.
Nhận xét 2.4.2. Từ [1, Corollary 3.13] và [1, Theorem 3.12], nếuR là một nửa vành nửa đơn cộng chính quy thì R là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn.
Tiếp theo, chúng tôi xét trên lớp các nửa vành chỉ có tương đẳng tầm thường, nửa vành đơn.
Định nghĩa 2.4.3. ([7, p. 278]) Một nửa vành có đơn vị R được gọi là chỉ có tương đẳng tầm thường (chỉ có iđêan tầm thường)nếuRchỉ có tương đẳng đường chéo ∆R và tương đẳng phổ dụng R2 (nếu R chỉ có 0 và R là các iđêan). Một nửa vành có đơn vị R được gọi là đơn nếu R đồng thời chỉ có tương đẳng tầm thường và chỉ có iđêan tầm thường.
Bổ đề 2.4.4. Nếu R là một nửa vành có đơn vị và chỉ có tương đẳng tầm thường (nửa vành đơn) thì R là nửa vành Js-nửa đơn.
Chứng minh. Vì R là một nửa vành chỉ có tương đẳng tầm thường nên R là vành đơn hoặc R là nửa vành chỉ có tương đẳng tầm thường cộng lũy đẳng [67, Proposition 3.1]. NếuR là vành đơn thì căn JacobsonJs(R) = 0vì Js(R)là iđêan củaR và Js(R)6=R. NếuR là nửa vành chỉ có tương đẳng tầm thường cộng lũy đẳng thì Js(R) = 0 hoặc Js(R) =R [29, Proposition 4.4], và theo Định lý 2.2.5, tồn tại một R-nửa môđun trái đơn. Điều này chỉ ra rằng Js(R) 6= R và do đó
Js(R) = 0.
Từ Bổ đề 2.4.4 và [1, Corollary 3.10 và Corollary 3.11], chúng ta có kết quả sau đây đối với lớp các nửa vành đơn và lớp các nửa vành chỉ có tương đẳng tầm thường.
Định lý 2.4.5. Cho R là một nửa vành có đơn vị. Nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn thì R là một V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn.
(1) R là một nửa vành đơn với một phần tử vô hạn;
(2) R là một nửa vành cô lập trái (phải) Artin trái (phải) chỉ có tương đẳng tầm thường.
Nhận xét 2.4.6. Nếu R là một nửa vành cô lập trái (phải) Artin trái (phải) chỉ có iđêan tầm thường thì R ∼= M
n(D) với vành chia D và n ≥ 1 hoặc R là một nửa vành chia thật sự [29, Theorem 3.7]. Do đó,R là một nửa vành Js-nửa đơn nhưng R không là V-nửa vành trái (phải). Thật vậy, chẳng hạn nửa trường
R+ các số thực không âm, nó là một nửa vành cô lập trái (phải) Artin trái (phải) chỉ có iđêan tầm thường nhưng nó không là V-nửa vành trái (phải) [1, Corollary 3.5]. Tuy nhiên, nếu R là một nửa vành cô lập trái (phải) hữu hạn chỉ có iđêan tầm thường thì R là một nửa vành cô lập trái (phải) hữu hạn chỉ có tương đẳng tầm thường [29, Corollary 4.6]. Theo Định lý 2.4.5(2), R là một
Cuối cùng, chúng tôi xét trên lớp các nửa vành cộng hút phản bị chặn. Nửa vành cộng hút và nửa vành phản bị chặn đã được giới thiệu lần lượt trong các Định nghĩa 1.1.14 và Định nghĩa 2.3.7.
Định lý 2.4.7. Nếu R là một nửa vành cộng hút phản bị chặn thì R là một V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn.
Chứng minh. Nếu R là một nửa vành cộng hút phản bị chặn thì R là một V-nửa vành trái (phải) [1, Corollary 3.6]. Giả sử M là một R-nửa môđun trái đơn bất kì. Khi đó, (M,+,0) là một nhóm hoặc vị nhóm cộng lũy đẳng [19, Proposition 1.2]. Giả sử (M,+,0) là một nhóm. Vì R là cộng hút nên tồn tại z ∈R sao cho 1 +z =z và khi đó zm = (1 +z)m =m+zm với mọi m∈M, điều này suy ra
m=m+zm+z(−m) = zm+z(−m) = 0 (mâu thuẫn).
Do đó, (M,+,0)là một vị nhóm lũy đẳng. Theo Bổ đề 2.3.9(1), ta có (0 :M)R =
V(R). Vì R cộng hút nên (0 :M)R =V(R) = 0. Điều này chỉ ra rằng Js(R) = 0. Vì vậy R là một V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn.
Chú ý rằng điều kiện “cộng hút” trong Định lý 2.4.7 không thể bỏ qua. Chẳng hạn, nửa vành N các số tự nhiên với hai phép toán cộng và nhân thông thường. Hiển nhiên, N là nửa vành phản bị chặn và Js(N) = 0, nhưng N không là V-nửa vành trái (phải) [1, Proposition 3.3] vì N không cộng hút.