Tiết này chúng tôi trình bày lại khái niệm nửa môđun trái đơn và Js-căn của nửa vành. Sau đó, chúng tôi chứng minh luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên nửa vành có đơn vị và chứng minh Js-căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Sử dụng kết quả này, chúng tôi thiết lập một kết quả tương tự của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối và mô tả đầy đủ cấu trúc của nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối Js-nửa đơn.
Trước tiên, chúng tôi giới thiệu lại khái niệm nửa môđun trái đơn trên một nửa vành. Khái niệm này đã được một số nhóm tác giả quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây như: Zumbr¨agel [67], Izhakian-Rhodes-Steinberg [25], Kendziorra-Zumbr¨agel [33], Katsov-Nam [27], Katsov-Nam-Zumbr¨agel [30], Kepka-Nˇemec [31] và Kepka-Kortelainen-Nˇemec [32].
Định nghĩa 2.2.1. ([67, Definition 3.7] hoặc [27, p. 5074]) Cho R là một nửa vành. MộtR-nửa môđun tráiM được gọi là đơn nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(1) RM 6= 0; (2) M là cực tiểu;
(3) M chỉ có tương đẳng tầm thường.
Nhận xét 2.2.2. (1) Nếu M là một nửa môđun trái đơn trên một nửa vành có đơn vịR thì M là unita. Thật vậy, cho m là một phần tử tùy ý của M và ta cần chứng minh 1.m = m. Để làm điều này, ta xét tương đẳng ρ trên M được xác định bởi: Với x, y ∈M
x ρ y ⇐⇒rx=ry với mọi r ∈R.
Vì M chỉ có tương đẳng tầm thường nên ρ= ∆M hoặc ρ=M2. Nếu ρ=M2 thì x ρ 0 với mọi x ∈M, tức là rx = 0 với mọi r ∈R và mọi x∈ M, suy ra RM = 0
(mâu thuẫn). Do đó, ta có ρ = ∆M. Khi đó, vì r(1.m) = (r.1)m = rm với mọi r∈R nên (1.m) ρ m hay 1.m=m.
(2) Cho R là một vành và M là R-môđun trái. Khi đó,M là cực tiểu nếu và chỉ nếu RM 6= 0 và M chỉ có tương đẳng tầm thường. Khẳng định này được suy ra từ Nhận xét 1.2.6. Tuy nhiên, điều này không còn đúng đối với nửa môđun nói chung. Chẳng hạn, xét nửa vành các số thực không âm R+ và M là R+-nửa môđun trái R+. Từ Nhận xét 1.2.6, ta có ngay M là cực tiểu nhưng không đơn
vì |Cong(M)| ≥3.
Ví dụ 2.2.3. (1) Từ Nhận xét 2.2.2(2), nếuR là một vành thì khái niệmR-nửa môđun trái đơn trùng với khái niệm R-môđun trái đơn trong lý thuyết vành.
(2) Cho R là một nửa vành nguyên phi khả đối. Khi đó, B là một R-nửa môđun trái đơn. Thật vậy, ánh xạ f : R−→B xác định bởi f(0) = 0và f(x) = 1
với mọi 0 6= x ∈ R, là một nửa đẳng cấu các nửa vành. Vì B là B-nửa môđun trái đơn nên B cũng làR-nửa môđun trái đơn với phép nhân vô hướng xác định bởi: Với mọi r∈R, mọi b∈B
rb:=f(r)b.
(3) Cho (M,+,0)là một vị nhóm giao hoán và End(M)là nửa vành tự đồng cấu (xem Ví dụ 1.1.2(6)). Khi đó, M là một End(M)-nửa môđun trái với phép
nhân vô hướng xác định bởi: Với mọi m∈M, mọi f ∈ End(M)
f m:=f(m).
Theo [30, Proposition 4.2], nếu (M,+,0) là một vị nhóm khác không giao hoán lũy đẳng thì M là một End(M)-nửa môđun trái đơn.
Từ Nhận xét 2.2.2(2), tồn tại nửa môđun trái cực tiểu trên nửa vành nhưng không đơn. Tuy nhiên, mệnh đề dưới đây chỉ ra rằng chúng ta có thể tạo ra nửa môđun trái đơn từ nửa môđun trái cực tiểu.
Mệnh đề 2.2.4. Cho R là một nửa vành và M là R-nửa môđun trái cực tiểu. Khi đó, tồn tại một tương đẳng cực đại ρ trên M sao cho M := M/ρ là R-nửa môđun trái đơn.
Chứng minh. Trước tiên chúng tôi chỉ ra sự tồn tại của một tương đẳng cực đại ρ trên M. Vì M là một R-nửa môđun trái cực tiểu nên tồn tại 0 6= m ∈ M sao cho M = Rm. Kí hiệu Ω là tập tất cả các tương đẳng trên M mà nó khác với tương đẳng phổ dụng M2, vì tương đẳng đường chéo ∆M ∈Ω suy ra Ω6=∅. Bây giờ chúng ta xét quan hệ “≤” trên Ω như sau: Với α, β ∈Ω
α≤β ⇐⇒(x α y =⇒x β y), với mọi x, y ∈M.
Dễ dàng thấy rằng “≤” là một quan hệ thứ tự trên Ω. Xét dãy tăng α1 ≤α2≤...≤αn ≤... các tương đẳng αi ∈ Ω. Đặt α := +∞ S i=1 αi, ta sẽ chứng minh α ∈ Ω. Dễ dàng thấy rằng α là một tương đẳng trênM và α khác với tương đẳng phổ dụng M2. Thật vậy, nếu α=M2 thì x α 0 với mọi x∈M. Do đó, m α 0 và vì thế tồn tại αi sao cho m αi 0suy ra x αi 0 với mọi x∈M vì M =Rm. Điều này dẫn đến αi là một tương đẳng phổ dụng trên M (mâu thuẫn). Bây giờ, áp dụng Bổ đề Zorn, suy ra Ω có một phần tử tối đại. Giả sử ρ là phần tử tối đại của Ω, khi đó ρ là một tương đẳng cực đại trên M. Mặt khác, vì M là R-nửa môđun trái cực tiểu nên M =M/ρ cũng là một R-nửa môđun trái cực tiểu. Tiếp theo, chúng tôi chứng minh trên M chỉ có tương đẳng tầm thường. Giả sử θ là một tương đẳng bất kì trên M. Xét quan hệ α trên M được xác định bởi: Với m1, m2 ∈M
Dễ dàng thấy rằng α là một tương đẳng trên M và ρ ⊆ α. Vì ρ là tương đẳng cực đại trên M nên α =ρ hoặc α =M2. Nếu α = ρ thì θ = ∆M và nếu α =M2 thì θ =M2. Vậy M là một R-nửa môđun trái đơn.
Năm 2011, Izhakian-Rhodes-Steinberg [25, Theorem 4.4] đã mô tả lớp tất cả các nửa môđun trái đơn trên một đại số nửa nhóm hữu hạn lũy đẳng BS (S là một nửa nhóm hữu hạn). Năm 2013, Kendziorra-Zumbr¨agel [33, Proposition 2.17] chỉ ra luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành có đơn vị hữu hạn cộng lũy đẳng. Nửa môđun trái đơn trong trường hợp này chính là nửa môđun trái cực tiểu có số phần tử ít nhất trong tập tất cả các iđêan trái cực tiểu. Năm 2014, Katsov-Nam-Zumbr¨agel [30, Proposition 4.5] chỉ ra luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành đầy đủ chỉ có tương đẳng tầm thường vớiRR6= 0. Ngoài ra, chúng tôi chưa tìm thấy công trình nào chứng minh sự tồn tại nửa môđun trái đơn trên nửa vành bất kì. Tiếp theo, chúng tôi chứng minh luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên lớp các nửa vành có đơn vị. Kết quả này như là một mở rộng kết quả của Kendziorra-Zumbr¨agel [33, Proposition 2.17]. Định lý 2.2.5. Cho R là một nửa vành có đơn vị. Khi đó, tồn tại một R-nửa môđun trái đơn.
Chứng minh. Trước tiên lưu ý rằng, nếuR là một vành có đơn vị thì luôn tồn tại R-môđun trái đơn R/I với I là iđêan cực đại của R. Nếu nửa vành có đơn vị R mà không phải là vành thì luôn tồn tại tương đẳng cực đại ρ trên R sao cho nửa vành thươngR =R/ρ là nửa vành chỉ có tương đẳng tầm thường. Theo [67, Proposition 3.1], R là vành có đơn vị hoặc nửa vành có đơn vị cộng lũy đẳng. Ngoài ra, nếu M làR-nửa môđun trái đơn thì M cũng làR-nửa môđun trái đơn với phép nhân vô hướng được xác định bởi rx :=p(r)x với tất cả r ∈ R, x ∈ M và p:M →M là toàn cấu tự nhiên. Do đó, để chứng minh định lý chúng tôi chỉ cần chứng minh luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên nửa vành có đơn vị cộng lũy đẳng.
Giả sử R là một nửa vành có đơn vị cộng lũy đẳng. Việc xây dựng R- nửa môđun trái đơn hoàn toàn tương tự như trong phép chứng minh của [21, Theorem 5.11]. Đặt R∗ := HomN(R,B) tập tất cả các N-đồng cấu từ N-nửa môđun trái R đến N-nửa môđun trái B. Khi đó, (R∗,+,0) là một vị nhóm giao hoán cộng lũy đẳng với phần tử đơn vị là đồng cấu không và phép cộng được xác định bởi: với bất kì f, g ∈R∗, r∈R
Hơn nữa, R∗ là một R-nửa môđun trái với phép nhân vô hướng được xác định bởi: rφ(x) :=φ(rx) với tất cả r, x∈R và φ ∈R∗. Ngoài ra, (R∗,+,0) cũng là một nửa dàn trên với quan hệ thứ tự bộ phận x≤y nếu và chỉ nếu x+y=y và với tất cả x, y ∈R∗ có tồn tại cận trên x∨y:=x+y. Vì R là nửa vành phi khả đối nên N-đồng cấu ϕ0 : R → B, xác định bởi ϕ0(0) := 0 và ϕ0(x) := 1 với tất cả
06=x∈R, là một phần tử lớn nhất trongR∗. Xét R-nửa môđun trái xyclíc Rϕ0, theo bổ đề Zorn có tồn tại một tương đẳng cực đại ∼ trên R-nửa môđun trái Rϕ0. Đặt M :=Rϕ0/∼, hiển nhiênR-nửa môđun trái M chỉ có tương đẳng tầm thường. Giả sửN là nửa môđun con củaM, vì M chỉ có tương đẳng tầm thường nên tương đẳng Bourne ≡N trên M hoặc là tương đẳng đường chéo ∆M hoặc tương đẳng phổ dụng M2. Nếu ≡N là tương đẳng đường chéo ∆M thì N = 0 vì x≡N 0với bất kìx∈N. Nếu≡N là tương đẳng phổ dụngM2thìm ≡N m0với tất cả m, m0 ∈M, suy ra ϕ0 ≡N 0 nên tồn tạix, y ∈N sao cho ϕ0+x= 0 +y=y∈N vì ϕ0 là phần tử lớn nhất trong R∗ nên ϕ0+x = ϕ0+x = ϕ0, suy ra ϕ0 ∈ N. Điều này chứng tỏ rằng N =M. Vậy M là R-nửa môđun trái đơn.
Nhận xét 2.2.6. Theo Nhận xét 2.1.7(1), không tồn tại nửa môđun trái bất khả quy trên nửa vành cộng lũy đẳng. Tuy nhiên, theo Định lý 2.2.5, luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên nửa vành có đơn vị. Điều này nói lên sự khác biệt giữa lớp các nửa môđun trái bất khả quy và lớp các nửa môđun trái đơn trên nửa vành cộng lũy đẳng nói riêng và nửa vành nói chung.
Năm 2014, Katsov-Nam [27] sử dụng lớp các nửa môđun trái đơn trên nửa vành R để định nghĩa Js-căn của nửa vành R.
Định nghĩa 2.2.7. ([27, p. 5076]) Cho R là một nửa vành. (1) Iđêan cô lập
Js(R) :=∩{(0 :M)R |M ∈ J0}
của nửa vành R, trong đó J0 là lớp tất cả các nửa môđun trái đơn trên nửa vành R, được gọi là Js-căn của nửa vành R. Nếu J0 =∅ thì quy ước Js(R) =R.
(2) Nửa vành R được gọi là Js-nửa đơn nếuJs(R) = 0.
Ví dụ 2.2.8. (1) Cho R là một vành. Theo [11, Theorem 4.4.12], căn Jacobson của vànhR là giao tất cả linh hóa tử củaR-môđun trái đơn. Hơn nữa, nếu không tồn tại R-môđun trái đơn thì căn Jacobson của vành R bằng R. Do đó, theo Ví dụ 2.2.3(1), nếu R là một vành thì Js(R) chính là căn Jacobson của R.
(2) Cho R là một nửa vành nguyên phi khả đối. Theo Ví dụ 2.2.3(2), B là một R-nửa môđun trái đơn với (0 : B)R = 0. Do đó, Js(R) = 0.
(3) Cho R là một nửa vành và Mn(R) (n ≥1) là nửa vành ma trận trên R. Theo [27, Theorem 5.8(ii)], Js(Mn(R)) = Mn(Js(R)).
Theo [22, Theorem 2],J(I) =I∩J(R)với mọi iđêan I của nửa vành R. Tiếp theo, chúng tôi chứng minh một kết quả tương tự như vậy đối vớiJs-căn. Trước tiên, chúng tôi cần bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.2.9. Giả sử I là một iđêan của nửa vành R. Khi đó,
(1) Nếu M là mộtR-nửa môđun trái đơn thì hoặc IM=0 hoặcM là mộtI-nửa môđun trái đơn;
(2) Một I-nửa môđun trái đơn M có thể mở rộng thành một R-nửa môđun trái đơn M với phép nhân vô hướng được xác định bởi
r(Σaimi) := Σ(rai)mi
với ai ∈I, mi∈M và r ∈R.
Chứng minh. Phương pháp chứng minh bổ đề này hoàn toàn tương tự như trong chứng minh [27, Proposition 3.5(iii)].
(1) Giả sử I là một iđêan của nửa vành R và M là một R-nửa môđun trái đơn. Khi đó, tập con
K :={x∈M | Ix= 0}
củaM là một nửa môđun con của nửa môđunRM. VìRM là đơn nênK = 0 hoặc K = M. Nếu K = M thì IM = 0. Nếu K = 0 thì Im = M với mọi 06= m ∈ M. Thật vậy, nếu Im= 0 thì m ∈K, tức là m = 0 (mâu thuẫn), do đó Im6= 0. Vì Im là nửa môđun con của nửa môđun đơn RM nên Im = M. Điều này suy ra M cũng là một I-nửa môđun trái cực tiểu. Bây giờ, giả sử ρ là một tương đẳng trên IM và xét tương đẳng θ trên RM xác định bởi: Với m1, m2 ∈ RM
m1 θ m2 ⇐⇒am1 ρ am2 với mọi a∈I.
Dễ dàng kiểm tra θ là một tương đẳng trên RM. Vì RM là đơn nên θ = ∆RM
hoặc θ = RM2. Nếu θ = ∆RM thì ρ= ∆IM. Nếu θ = RM2 thì m θ 0 và am ρ 0
và khi đó x ρ 0 với mọi x∈M hay ρ= IM2. Do đó, IM chỉ có tương đẳng tầm thường. Vậy, M là một I-nửa môđun trái đơn.
(2) Giả sử I là một iđêan của nửa vành R và M là I-nửa môđun trái đơn. Vì IM 6= 0 là nửa môđun con của nửa môđun đơn IM nên
M =IM ={Σaimi | ai ∈I, mi ∈M}.
Ta có thể mở rộng IM thành RM bằng phép nhân vô hướng xác định bởi: Với mọi ai∈I, mi∈M và r ∈R
r(Σaimi) := Σ(rai)mi.
Thật vậy, nếu Σaimi = Σa0im0i với mi, m0i ∈M và ai, a0i∈I thì do M là một I-nửa môđun trái nên ta có
a(rΣaimi) = aΣ(rai)mi= Σ(arai)mi
với mọi a ∈I. Hơn nữa
Σ(arai)mi= (ar)Σaimi = (ar)Σa0imi0 = Σ(ara0i)m0i =a(rΣa0im0i),
và vì thế a(rΣaimi) = a(rΣa0im0i). Xét tương đẳng α trên IM xác định bởi: Với u, v ∈M
u α v ⇐⇒au=av với mọi a∈I.
VìIM là đơn nên α= ∆IM hoặc α= IM2. Trường hợp α = IM2 không thể xảy ra vì nếu xảy ra thì u α 0 với mọi u ∈M, tức là au = 0 với mọi a∈I và khi đó M =Iu= 0 (mâu thuẫn). Vậyα = ∆IM, từ a(rΣaimi) = a(rΣa0im0i) với mọia ∈I, suy ra
(rΣaimi) α (rΣa0im0i) hay rΣaimi=rΣa0im0i.
Điều này khẳng định phép nhân vô hướng bởi các phần tử của R là hoàn toàn xác định và vì thế M cũng là R-nửa môđun trái đơn.
Mệnh đề 2.2.10. Giả sử I là một iđêan của nửa vành R. Khi đó,
Chứng minh. Theo [48, Theorem 6.2], ta có
Js(I)⊆I∩Js(R).
Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra I ∩Js(R) ⊆ Js(I). Thật vậy, giả sử x ∈ I ∩Js(R)
nhưng x /∈ Js(I), điều này dẫn đến x /∈ (0 : M)I với M là một I-nửa môđun trái đơn. Khi đó, theo Bổ đề 2.2.9,IM có thể mở rộng thành R-nửa môđun trái đơn M. Do đó, x /∈ (0 :M)R tức là x /∈Js(R). Điều này mâu thuẫn với giả thiết x∈I∩Js(R). Vậy, x∈(0 :M)I với mọi I-nửa môđun trái đơn M, tức làx∈Js(I)
hay I∩Js(R)⊆Js(I). Do đó, Js(I) = I∩Js(R).
Phần tiếp theo, chúng tôi mô tả Js-căn của nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối theo phần tử lũy linh của nó.
Nhắc lại rằng, căn Nil của nửa vành có đơn vị R, kí hiệu Nil(R), là giao tất cả các iđêan nguyên tố của R [13, p. 91]. Kí hiệu P r(R) và P rm(R) lần lượt là tập tất cả các iđêan nguyên tố và iđêan nguyên tố cực tiểu của nửa vành có đơn vị R. Theo Mệnh đề 1.1.11(2) và [13, Proposition 7.28], nếu R là nửa vành có đơn vị giao hoán thì
Nil(R) = ∩
P∈P r(R)P = ∩
P∈P rm(R)P ={r∈R | ∃ n≥1 : rn = 0}. (***) Trước tiên, chúng tôi chứng minh mệnh đề sau đối với lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán. Kết quả này có thể xem tương ứng với [9, Theorem 7] của Bourne đối với J-căn.
Mệnh đề 2.2.11. Nếu R là một nửa vành có đơn vị giao hoán thì
Nil(R)⊆Js(R).
Chứng minh. Cho R là một nửa vành có đơn vị giao hoán và M là một R-nửa môđun trái đơn bất kì. Khi đó, tồn tại 06=m ∈M sao cho M =Rm và R-đồng cấu ϕ: RR −→ RM, được xác định bởi ϕ(r) := rm với mọi r ∈R, là một toàn cấu. Toàn cấu ϕ cảm sinh một R-đẳng cấu θ : R/kerϕ −→ M, xác định bởi θ(r) :=rm, trong đó tương đẳng
kerϕ:={(x, y)∈R2 | ϕ(x) =ϕ(y)}
được gọi là tương đẳng nhân của ϕ trên RR. Vì R là giao hoán nên kerϕ cũng là một tương đẳng trên nửa vành R và vì thế R :=R/kerϕ là một nửa vành có đơn vị giao hoán.
Tiếp theo chúng tôi chứng minh R là một nửa trường. Thật vậy, giả sử I là