Tiết này chúng tôi trình bày lại điều kiện cần và đủ để một lớp căn các nửa vành là di truyền, từ đó suy ra các lớp căn J và Js là di truyền. Sau đó, chúng tôi cho một ví dụ về lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành mà nó không di truyền và thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền. Ngoài ra, chúng tôi chứng minh lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị luôn di truyền, từ đó suy ra lớp căn Brown-McCoy là di truyền.
Khái niệm lớp căn di truyền của các nửa vành, được giới thiệu bởi Morak [48, Section 6], tương tự khái niệm lớp căn di truyền của các vành được nghiên cứu bởi Anderson-Divinsky-Sulínski [5]. Nhắc lại rằng: Một lớp căn R các nửa vành của lớp phổ dụngUđược gọi là di truyền nếuS ∈R vàI là một iđêan bất kì của S thì I ∈R. Các kết quả liên quan đến lớp căn di truyền của các vành được phát biểu và chứng minh bởi Anderson-Divinsky-Sulínski [5, Theorem 1, Corollary 2 and Corollary 3], đã được Morak [48] phát biểu và chứng minh trong phạm vi lớp căn các nửa vành. Morak cũng đã thiết lập được điều kiện cần và đủ để một lớp căn các nửa vành là di truyền.
Định lý 3.3.1. ([48, Theorem 6.2 và 6.4]) Giả sử R là một lớp căn của lớp phổ dụng U các nửa vành và %R là toán tử căn tương ứng. Khi đó, R là di truyền nếu và chỉ nếu %R(I) =I∩%R(S) với mỗi iđêan I của nửa vành bất kì S ∈U.
Theo Ví dụ 3.1.10 và Ví dụ 3.1.12(2), J và Js là các toán tử căn tương ứng với các lớp căn J và Js của lớp phổ dụng U các nửa vành. Từ Định lý 3.3.1, [22, Theorem 2] và Mệnh đề 2.2.10 ta có hệ quả sau đây:
Hệ quả 3.3.2. Cho lớp phổ dụng U gồm tất cả các nửa vành. Khi đó, các lớp căn J và Js của U là di truyền.
Sau đây, chúng tôi xét một lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành mà nó không di truyền.
Ví dụ 3.3.3. ([48, Example 6.5]) Cho lớp phổ dụngUgồm tất cả các nửa vành. Cho S ∈U, kí hiệu S2 :={ n X i=1 siti | si, ti ∈S}.
Đặt M :={S ∈U | S2 = 0}. Theo Định nghĩa 3.1.6, M là một lớp chính quy các nửa vành trong U. Theo Định nghĩa 3.1.7, lớp con
UM={S ∈U| ∀A 6= 0 là ảnh đồng cấu của S suy ra A /∈M}
là lớp căn trên của lớp chính quy M. Tiếp theo đây chúng tôi sẽ chỉ ra lớp căn trên UM này là không di truyền. Thật vậy, xét nửa vành S := {0, a, e} ∈ U với hai phép toán cộng và nhân được cho bởi bảng sau:
+ 0 a e 0 0 a e a a a e e e e e × 0 a e 0 0 0 0 a 0 0 a e 0 a e
Vì nửa vành S có đơn vị e nên S ∈ UM. Tuy nhiên, iđêan I ={0, a} của S thỏa điều kiện I2 = 0 nên I ∈ M. Điều này dẫn đến iđêan I /∈ UM. Do đó, lớp căn
trên UM không di truyền.
Vậy, lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành nói chung là không di truyền. Tiếp theo, chúng tôi thiết lập một điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền.
Định lý 3.3.4. Giả sử M là một lớp chính quy của lớp phổ dụng U các nửa vành. Khi đó, lớp căn trên UM là di truyền nếu và chỉ nếu lớp chính quy M thỏa
mãn điều kiện sau: Nếu I là một iđêan khác không của S ∈U và A ∈M là một ảnh đồng cấu khác không của I thì tồn tại một ảnh đồng cấu khác không B của
S sao cho B ∈M.
Chứng minh. ⇒. Giả sử rằng UM là di truyền,I là một iđêan khác không của S ∈ U và A ∈ M là một ảnh đồng cấu khác không của I. Theo định nghĩa lớp căn trên UM, I /∈ UM và khi đó S /∈ UM vì UM là di truyền. Theo định nghĩa UM một lần nữa, S có ảnh đồng cấu khác không B ∈M.
⇐. Giả sử lớp chính quy M thỏa mãn điều kiện đủ trong định lý và tồn tại I là một iđêan khác không của nửa vành S ∈ UM nhưng I /∈ UM. Điều này suy ra tồn tại nửa vành06=A∈M sao cho A là ảnh đồng cấu của I. Theo giả thiết, S có một ảnh đồng cấu khác không B ∈M (mâu thuẫn). Do đó, mọi iđêan khác không I của nửa vành S∈ UM luôn thuộc UM. Vậy, UM là di truyền.
Đối với lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị, chúng tôi chứng minh được rằng nó luôn di truyền.
Định lý 3.3.5. Nếu M là một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị của lớp phổ dụng U thì lớp căn trên UM là di truyền.
Chứng minh. Giả sử I là iđêan khác không củaS∈ UM và ϕ: I −→A là một toàn cấu khác không với A∈M. Khi đó, I/kerϕ∼=A, trong đó
kerϕ:={(x, y)∈I2 | ϕ(x) = ϕ(y)}
là một tương đẳng nhân củaϕtrên I. Vì A∈M nên I/kerϕ∈M. Do đó, I/kerϕ là một nửa vành có phần tử đơn vị e với e∈I. Theo [27, Lemma 3.14], quan hệ ρ trên S xác định bởi: Với a, b∈S
a ρ b⇔(eae, ebe)∈kerϕ
là một tương đẳng trên S và đồng cấu tự nhiên π : S/ρ−→I/kerϕxác định bởi r 7−→ ere là một đẳng cấu các nửa vành. Điều này chỉ ra rằng I/kerϕ ∈ M là một ảnh đồng cấu khác không của S. Theo Định lý 3.3.4, UM là di truyền.
Theo Ví dụ 3.1.8(2), lớp căn Brown-McCoy của lớp phổ dụng U các nửa vành là lớp căn trên của lớp chính quy các nửa vành có đơn vị và chỉ có iđêan tầm thường. Theo Định lý 3.3.5, ta có hệ quả sau đây:
Hệ quả 3.3.6. Cho lớp phổ dụngUtất cả các nửa vành. Khi đó, lớp căn Brown- McCoy của U là di truyền.