nửa vành
Tiết này chúng tôi thiết lập điều kiện cần và đủ để J-căn trùng với Js-căn trên lớp các nửa vành nửa đơn, lớp các nửa vành cộng π-chính quy, lớp các nửa vành phản bị chặn và lớp các V-nửa vành trái. Các kết quả này trả lời một phần Bài toán [27, Problem 1].
Trước tiên, chúng tôi xét trên lớp các nửa vành nửa đơn.
Định nghĩa 2.3.1. ([28, p. 417]) Một nửa vành có đơn vị R được gọi là nửa đơn trái nếu nửa môđun trái RR là tổng trực tiếp của các iđêan trái cực tiểu của R.
Định lý 2.3.2. ([28, Theorem 4.5]) Một nửa vành có đơn vị R là nửa đơn trái nếu và chỉ nếu
R∼=M
n1(D1)×...×Mnr(Dr),
trong đóMn1(D1), ..., Mnr(Dr) là các nửa vành ma trận cấpn1×n1, ..., nr×nr trên các nửa vành chia D1, ..., Dr và n1, ..., nr là các số nguyên dương.
Tương tự như Bổ đề 2.1.16 đối với J-căn, bổ đề sau đây là cần thiết trong các chứng minh tiếp theo của luận án.
Bổ đề 2.3.3. Cho R và S là các nửa vành. Khi đó,
(1) Js(R⊕S) =Js(R)⊕Js(S);
(2) Nếu R là một nửa vành chia thì Js(R) = 0.
Chứng minh. (1) Chứng minh hoàn toàn tương tự như Bổ đề 2.1.16(1).
(2) Vì R là một nửa vành chia nên R là vành chia hoặc R là nửa vành chia phi khả đối [13, Proposition 4.34]. Nếu R là vành chia thì Js-căn chính là căn Jacobson trong lý thuyết vành nên Js(R) = 0. Nếu R là nửa vành chia phi khả đối thì tồn tại nửa đẳng cấu f : R−→B được xác định f(0) = 0 và f(r) = 1 với mọi 0 6= r ∈ R. Khi đó, B là một R-nửa môđun trái đơn với (0 : B)R = 0. Điều
này chỉ ra rằng Js(R) = 0.
Định lý 2.3.4. ChoR là một nửa vành nửa đơn trái. Khi đó, Js(R) = J(R)nếu và chỉ nếu Z(R) = 0.
Chứng minh. Vì R là một nửa vành nửa đơn trái nên theo Định lý 2.3.2, ta có
R ∼=Mn
1(D1)×...×Mnr(Dr)
trong đóMn1(D1), ..., Mnr(Dr)là các nửa vành ma trận vuông cấpn1×n1, ..., nr× nr; D1, ..., Dr là các nửa vành chia và n1, ..., nr là các số nguyên dương.
Theo Bổ đề 2.1.16, Bổ đề 2.3.3 và [27, Theorem 5.8], ta có
Js(R) = Js(⊕Mni(Di)) =⊕Js(Mni(Di)) =⊕Mni(Js(Di)) = ⊕Mni(0) = 0,
Ngoài ra,
Z(R) =Z(⊕Mni(Di)) =⊕Z(Mni(Di)) =⊕Mni(Z(Di)).
Do đó,Js(R) =J(R)khi và chỉ khi ⊕Mni(Z(Di)) = 0khi và chỉ khi Mni(Z(Di)) = 0, i= 1, ..., r khi và chỉ khi Z(Di) = 0, i= 1, ..., r khi và chỉ khi Z(R) = 0.
Tiếp theo, chúng tôi xét trên lớp các nửa vành cộng π-chính quy. Nửa vành cộng π-chính quy đã được đề cập trong Định nghĩa 2.1.12. Mệnh đề sau đây là một mở rộng [27, Proposition 4.8] của Katsov-Nam.
Mệnh đề 2.3.5. Nếu R là nửa vành cộng π-chính quy thì Js(R)⊆J(R).
Chứng minh. Theo [48, Theorem 4.9], [9, Theorem 5 và 6] và [27, p. 5076], ta luôn có
J(R) =∩{I ∈ I(R) | J(R/I) = 0}, Js(R) =∩{I ∈ I(R) | Js(R/I) = 0}.
Giả sử R là một nửa vành cộng π-chính quy và I là iđêan của R với J(R/I) = 0. VìR là một nửa vành cộng π-chính quy nên R/I cũng là nửa vành cộng π-chính quy. Theo Định lý 2.1.14, ta có R/I là một vành. Do đó, Js(R/I) =J(R/I) = 0. Điều này chỉ ra rằng ∩{I ∈ I(R) | Js(R/I) = 0} ⊆ ∩{I ∈ I(R) | J(R/I) = 0} hay
Js(R)⊆J(R).
Định lý 2.3.6. ChoR là một nửa vành cộng π-chính quy. Khi đó, Js(R) =J(R)
nếu và chỉ nếu R là một vành.
Chứng minh. ⇒. Giả sử R là một nửa vành thật sự cộng π-chính quy với Js(R) = J(R). Trước tiên, chúng tôi chỉ ra rằng tồn tại một iđêan cộng lũy đẳng khác không I của R. Giả sử n1 và x là các phần tử nghịch đảo qua lại trong R, tức là n1 +x+n1 =n1 và x+n1 +x=x. Kí hiệu
I := (n1 +x)R ={(n1 +x)r | r∈R}.
Theo chứng minh của [20, Theorem 3.3], I là một nửa vành con cộng lũy đẳng khác không của R và phần tử n1 +x là một lũy đẳng nhân tâm của R, tức là s(n1 +x) = (n1 +x)s với bất kì s∈R. Do đó,I cũng là một iđêan cộng lũy đẳng khác không của R.
Theo [22, Theorem 2],
Ngoài ra, theo Mệnh đề 2.2.10,
Js(I) =I∩Js(R).
Vì Js(R) = J(R), suy ra Js(I) = J(I). Mặt khác, vì I là cộng lũy đẳng nên J(I) =I bởi Ví dụ 2.1.5(2) và Js(I) I bởi Định lý 2.2.5. Điều này chỉ ra rằng Js(I) J(I) (mâu thuẫn). Vậy, R là một vành.
⇐. Hiển nhiên.
Chú ý rằng Định lý 2.3.6 không còn đúng nếu chúng ta bỏ đi điều kiện R cộngπ-chính quy. Chẳng hạn, nửa vànhNcác số tự nhiên với phép cộng và nhân thông thường. Hiển nhiên, Js(N) = J(N) = 0 nhưng N không phải là một vành vì N không cộng π-chính quy.
Tiếp theo, chúng tôi xem xét trên lớp các nửa vành phản bị chặn. ChoR là một nửa vành có đơn vị. Đặt
P(R) :=V(R)∪ {1 +r | r∈R}.
Dễ dàng thấy rằng P(R) là một nửa vành con củaR.
Định nghĩa 2.3.7. ([1, p. 4637]) Một nửa vành có đơn vị R được gọi là phản bị chặn nếu P(R) =R.
Nhận xét 2.3.8. (1) Mọi vành có đơn vị là nửa vành phản bị chặn.
(2) Nửa vànhNcác số tự nhiên với phép cộng và nhân thông thường là phản bị chặn vì
N={0} ∪ {1 +n | n ∈N}.
(3) Nửa vành Bn+1 với n ≥1 (xem Ví dụ 1.1.2(7)) là phản bị chặn.
Bổ đề 2.3.9. Cho R là một nửa vành phản bị chặn. Khi đó, các phát biểu sau là đúng:
(1) Nếu M là một R-nửa môđun trái đơn lũy đẳng thì (0 : M)R =V(R);
(2) Nếu Js(R) =J(R) thì Z(R) = 0.
Chứng minh. (1) Vì R là một nửa vành phản bị chặn nên
Giả sử tồn tại phần tử 1 +r ∈ (0 : M)R với r ∈ R, tức là (1 +r)m = 0 với mọi m ∈ M, và khi đó m+rm = 0. Điều này chỉ ra rằng vị nhóm (M,+,0) là một nhóm (mâu thuẫn). Do đó, 1 +r /∈(0 :M)R với mọi r ∈R hay (0 :M)R ⊆V(R). Mặt khác, vì vị nhóm (M,+,0) lũy đẳng, tức là m+m = m với mọi m ∈ M, nên với bất kì r ∈V(R) ta có rm=rm+rm+ (−r)m =rm+ (−r)m = 0, suy ra r∈(0 : M)R. Điều này dẫn đến rằng, V(R)⊆(0 :M)R. Do đó, (0 : M)R =V(R).
(2) NếuR là một vành thì Z(R) = 0 là hiển nhiên. Giả sử R là một nửa vành thật sự phản bị chặn. Khi đó, ta có V(R)6=R và R :=R/V(R) là một nửa vành nguyên phi khả đối khác không. VìR là một nửa vành nguyên phi khả đối khác không nên tồn tại nửa đẳng cấu f : R −→B xác định bởi f(0) = 0 và f(r) = 1
với bất kì 06=r ∈R. Điều này chỉ ra rằng f π: R−→B là một toàn cấu, trong đó π : R −→ R là toàn cấu tự nhiên. Vì B là một B-nửa môđun trái đơn với
(0 : B)B = 0 suy ra B cũng là R-nửa môđun trái đơn với (0 : B)R = V(R). Vì vậy, Js(R)⊆ V(R). Mặt khác, theo [22, p. 414], ta có Z(R) ⊆ J(R). Do đó, nếu Z(R)6= 0 thì Js(R)6=J(R) (mâu thuẫn). Điều này chỉ ra rằng Z(R) = 0.
Định lý 2.3.10. Nếu R là một nửa vành phản bị chặn thì Js(R)⊆J(R).
Chứng minh. Theo [19, Proposition 1.2] và Bổ đề 2.3.9(1), ta có
Js(R) = ∩{(0 : K)R | K là R-nửa môđun trái đơn với (K,+) là nhóm} ∩V(R).
Giả sử 06=x∈Js(R), tức là x∈V(R) và
x∈ ∩{(0 : K)R | K là R-nửa môđun trái đơn với (K,+) là nhóm}.
Giả sử ngược lại, x /∈ J(R), khi đó tồn tại một R-nửa môđun trái bất khả quy M sao cho xM 6= 0, tức là tồn tại 0=6 m∈M sao cho xm 6= 0. Đặt
e
M :={rm | r ∈V(R)}.
Ta chứng minh Me =M. Dễ dàng chỉ ra rằngMe 6= 0 vì 06=xm ∈Me và Me là một nửa môđun con của RM trong đó vị nhóm (M ,e +) là một nhóm. Vì RM là bất khả quy nên D(M) là D(R)-môđun trái đơn [27, p. 5083], và vì thế chúng ta có D(M) =D(R)xm. Với bất kì m0∈M, suy ra m0 ∈D(M) nên tồn tại r, r0 ∈R sao chom0 = (r−r0)xm= (rx−r0x)m. Vìrx−r0x∈V(R)suy ram0 = (rx−r0x)m ∈Me. Điều này chỉ ra rằng Me =M.
Chọn một phần tử khác không n∈Me, đặt
e
N ={sn | s∈V(R)},
khi đó Ne 6= 0. Thật vậy, chúng ta thấy rằng D(M) =D(R)n, vì m ∈ D(M) tồn tạir, r0 ∈Rsao cho m= (r−r0)n và khi đóxm = (xr)n−(xr0)n vớixr, xr0∈V(R). Vìxm 6= 0, suy ra (xr)n6= 0 hoặc(xr0)n6= 0, điều này dẫn đến Ne 6= 0. Bằng cách lập lại tương tự như trong chứng minh Me, ta có Ne =M.
Bây giờ ta sẽ chứng minh M là cực tiểu. Thật vậy, vì 06=n ∈Me nên chúng ta có Rn ⊆ Me. Ngược lại, với bất kì rm ∈ Me = Ne tồn tại s ∈ V(R) sao cho rm=sn∈Rn, do đó M =Rn. Điều này chỉ ra rằng M không có các nửa môđun con thật sự khác không. VìM là xyclíc nên theo Bổ đề Zorn, tồn tại một tương đẳng cực đại ρ trên M. Vì M là cực tiểu và (M,+) là một nhóm nên M =M/ρ là một R-nửa môđun trái đơn trong đó (M ,+) là một nhóm. Vì xM 6= 0 suy ra xM 6= 0. Mặt khác, do M là mộtR-nửa môđun trái đơn vàx∈Js(R)nênxM = 0
(mâu thuẫn). Do đó, x∈J(R), tức là Js(R)⊆J(R).
Định lý 2.3.11. Cho R là một nửa vành phản bị chặn Artin trái. Khi đó,
Js(R) =J(R) nếu và chỉ nếu R là một vành.
Chứng minh. ⇒. Giả sử R là một nửa vành thật sự phản bị chặn Artin trái với Js(R) =J(R). Khi đó, ta có V(R)6=R. Ngoài ra,
S :=R/V(R) = {[0]} ∪ {[1 +r] | r∈R}
là một nửa vành nguyên phi khả đối khác không. ĐặtS∗:=S/≡, trong đó tương đẳng ≡ trên S được xác định như sau: với [x],[y]∈S,
[x]≡[y]⇔[x] + [z] = [y] + [z] với [z]∈S.
Khi đó, dễ dàng thấy rằngS∗ là một nửa vành cộng giản ước. Đặta:= [1]∗+[1]∗ ∈ S∗. Nếu [1]∗+[1]∗ = [0]∗thì [1]+[1]+[x] = [x]với[x]∈S. Do đó1+1+x+v1=x+v2 với v1, v2 ∈V(R), từ đó suy ra
1 + 1 +v1−v2∈Z(R).
Vì Js(R) = J(R) nên ta có Z(R) = 0 theo Bổ đề 2.3.9(2). Điều này dẫn đến
1 + 1 +v1−v2= 0, và vì thế V(R) =R (mâu thuẫn). Vì vậy, a6= [0]∗. Khi đó, ta có
là một dãy giảm các iđêan trong S∗. Vì R là một nửa vành Artin trái nên S∗ cũng là một nửa vành Artin trái. Điều này dẫn đến, tồn tại n ∈ N sao cho S∗an =S∗an+1, tức là an =ban+1 với b∈S∗. Do đó, ([1]∗+ [1]∗)n = ([1]∗+ [s]∗)([1]∗+ [1]∗)n+1, suy ra ([1]∗+ [1]∗)n = ([1]∗+ [1]∗)n+1+ [s]∗([1]∗+ [1]∗)n+1. Khi đó, ta có n X i=0 Cni[1]∗ = n+1 X i=0 Cni+1[1]∗+ [s]∗ n+1 X i=0 Cni+1[1]∗.
Vì S∗ cộng giản ước nên [1]∗ + [y]∗ = [0]∗ với [y]∗ ∈ S∗. Điều này dẫn đến rằng
1 +y+z+v1=z+v2 vớiz ∈R và v1, v2 ∈V(R). Khi đó, 1 +y+v1−v2 ∈Z(R) = 0, tức là 1 +y+v1−v2 = 0 và vì thế V(R) =R (mâu thuẫn). Vậy, R là một vành.
⇐. Hiển nhiên.
Chú ý rằng Định lý 2.3.11 không còn đúng nếu chúng ta bỏ điều kiện R là Artin trái. Chẳng hạn, nửa vành N các số tự nhiên với hai phép toán cộng và nhân thông thường. Hiển nhiên,Nlà nửa vành phản bị chặn vàJs(N) =J(N) = 0, nhưng N không là một vành vì nó không Artin trái.
Kết thúc tiết này, chúng tôi xét trên lớp các V-nửa vành trái Artin trái. Khái niệm V-vành trái (phải) đã được O. Villamayor đề xuất trong lý thuyết vành và môđun [37]. Trong [19], Il’in đề xuất khái niệm tương tự V-vành trái (phải) trong lý thuyết nửa vành và nửa môđun.
Định nghĩa 2.3.12. ([19, p. 222]) (1) Một nửa vành có đơn vị R được gọi là
V-nửa vành trái (phải) nếu mọiR-nửa môđun trái (phải) chỉ có tương đẳng tầm thường là nội xạ.
(2) Một R-nửa môđun trái M được gọi là mở rộng cốt yếu của một nửa môđun con L nếu với mọi đồng cấu γ : M −→N của các R-nửa môđun trái thì các đồng cấu γi và γ đồng thời nội xạ, trong đó i: LM là một phép nhúng.
Các ví dụ và một số tính chất liên quan đến V-nửa vành trái (phải) đã được trình bày bởi Il’in [19] và Abuhlail-Il’in-Katsov-Nam [1]. Chúng tôi nhắc lại ở đây các đặc trưng của V-nửa vành trái (phải) mà nó được sử dụng trong việc chứng minh các kết quả tiếp theo của luận án.
Định lý 2.3.13. ([19, Theorem 2.10]) Cho R là một nửa vành có đơn vị. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
(1) R là một V-nửa vành trái (phải);
(2) Mọi mở rộng cốt yếu của mỗi R-nửa môđun trái (phải) chỉ có tương đẳng tầm thường M trùng với M;
(3) R=S⊕T, trong đó S là một V-vành trái (phải) và T là một V-nửa vành trái (phải) cộng hút;
(4) Mỗi nửa vành thương của R là một V-nửa vành trái (phải).
Mệnh đề 2.3.14. Nếu R là một V-nửa vành trái thì Js(R)⊆J(R).
Chứng minh. Vì R là một V-nửa vành trái nên từ Định lý 2.3.13, R=S⊕T, trong đó S là một V-vành trái và T là một V-nửa vành trái cộng hút. Theo Bổ đề 2.1.16(1) và Bổ đề 2.3.3(1), ta có
J(R) =J(S)⊕J(T) và Js(R) = Js(S)⊕Js(T).
VìS là V-vành trái nên Js(S) =J(S) = 0 [36, Theorem 3.75]. Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh J(T) = T thì sẽ suy ra được Js(R)⊆ J(R). Giả sử M là một T-nửa môđun trái bất khả quy, khi đó, M 6= 0 và M giản ước. Vì T là cộng hút nên
1 +z = z với z ∈ T và vì thế m+zm = zm với mọi m ∈ M. Vì M giản ước nên m= 0 hay M = 0 (mâu thuẫn). Do đó, không tồn tại T-nửa môđun trái bất khả
quy, điều này chỉ ra rằng J(T) = T.
Định lý 2.3.15. Cho R là một V-nửa vành trái. Khi đó, Js(R) = J(R) nếu và chỉ nếu R là một V-vành trái.
Chứng minh. ⇐. Hiển nhiên.
⇒. Vì R là một V-nửa vành trái nên từ Định lý 2.3.13 suy ra R = S⊕T, trong đó S là một V-vành trái và T là một V-nửa vành trái cộng hút. Theo Bổ đề 2.1.16(1) và Bổ đề 2.3.3(1), ta có
Vì S là V-vành trái nên Js(S) = J(S) = 0 [36, Theorem 3.75]. Từ giả thiết Js(R) =J(R) suy ra Js(T) = J(T). Giả sử V-nửa vành trái cộng hút T 6= 0. Vì T cộng hút, từ chứng minh của Mệnh đề 2.3.14 suy ra J(T) = T. Vì T nửa vành có đơn vị, từ Định lý 2.2.5 suy ra Js(T) T =J(T) (mâu thuẫn). Do đó, T = 0
và vì thế R là một V-vành trái.