Trong chương này, chúng tôi thu được các kết quả sau đây.
(1) Giới thiệu khái niệm nửa vành con chấp nhận được (Định nghĩa 3.1.15). Đặc trưng lớp căn của các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu nửa vành (Định lý 3.1.17).
(2) Xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành cho trước theo phương pháp tương tự của Kurosh trong lý thuyết vành (Định lý 3.2.2 và Định lý 3.2.3). Sử dụng khái niệm nửa vành con chấp nhận được và phương pháp tương tự của Lee trong lý thuyết vành, chúng tôi xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành đóng đồng cấu (Định lý 3.2.4 và Hệ quả 3.2.6).
(3) Chứng tỏ các lớp căn J và Js của các nửa vành là di truyền (Hệ quả 3.3.2). Thiết lập một điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền (Định lý 3.3.4). Chứng minh được lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị luôn di truyền (Định lý 3.3.5), từ kết quả này suy ra lớp căn Brown-McCoy của lớp phổ dụng U các nửa vành là di truyền (Hệ quả 3.3.6).
Nội dung của chương này được viết dựa trên các kết quả trong các bài báo [56] và [23].
KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN
Trong luận án này, chúng tôi đã thu được các kết quả chính sau đây.
(1) Sử dụng khái niệm J-căn của nửa vành, mô tả cấu trúc các nửa vành cộng π-chính quy J-nửa đơn.
(2) Chứng tỏ luôn tồn tại nửa môđun trái đơn trên nửa vành có đơn vị và chứng minh Js-căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Từ kết quả này, chúng tôi nhận được một kết quả tương tự của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trên vành có đơn vị giao hoán cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Ngoài ra, chúng tôi mô tả cấu trúc các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối Js-nửa đơn.
(3) Thiết lập một điều kiện cần và đủ để J-căn và Js-căn trùng nhau trên lớp các nửa vành nửa đơn, lớp các nửa vành cộng π-chính quy, lớp các nửa vành phản bị chặn và lớp các V-nửa vành trái. Từ các kết quả này, chúng tôi trả lời một phần Bài toán [27, Problem 1]. Ngoài ra, chúng tôi cũng mô tả được một số lớp các nửa vành mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn. Qua đó, chúng tôi trả lời một phần Bài toán [1, Problem 1].
(4) Đề xuất khái niệm nửa vành con chấp nhận được và đặc trưng lớp căn của các nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu nửa vành. Xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành cho trước theo phương pháp tương tự của Kurosh trong lý thuyết vành. Sử dụng khái niệm nửa vành con chấp nhận được và phương pháp tương tự của Lee trong lý thuyết vành, chúng tôi xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành đóng đồng cấu.
(5) Thiết lập một điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền và chứng minh được lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị luôn di truyền. Từ kết quả này suy ra lớp căn Brown-McCoy của lớp phổ dụng U các nửa vành là di truyền.
DANH MỤC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN
(1) Mai L. H. and Tuyen N. X. (2016), Some remarks on the Jacobson radical types of semirings and related problems,Vietnam J. Math.(DOI 10.1007/s10013- 016-0226-7).
(2) Inassaridze H., Mai L. H. and Tuyen N. X. (2014), On radical classes of hemirings, Tbilisi Math. J., 7(1), pp. 69-74.
(3) Mai L. H. and Tuyen N. X. (2016), OnJs-semisimple left (right) V-semirings,
J. Adv. Math. Stud., 9(3), pp. 437-443.
(4) Mai L. H. (2015), On radicals of left V-semirings,Hue Univ. J. Sci., 107(8), pp. 87-94.
(5) Tuyen N. X. and Mai L. H. (2013), On a lower radical class and the corre- sponding semisimple class for semirings, Hue Univ. J. Sci., 82(4); pp. 207- 217.
CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO VÀ THẢO LUẬN TẠI:
(1) Đại hội Toán học Toàn Quốc Lần thứ 8, Trường Sĩ quan Thông tin, TP Nha Trang, 08-2013.
(2) Hội nghị về nhóm, biểu diễn nhóm và các vấn đề liên quan, Trường ĐH KHTN- ĐHQG TP HCM, 11-2013.
(3) Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên Lần thứ 1, Trường ĐH Quy Nhơn, 08-2015.
(4) Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Buôn Ma Thuột - Đắk Lắk, 10-2016. (5) Seminar của Bộ môn Đại số - Hình học thuộc Khoa Toán học, Trường Đại
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Abuhlail J. Y., Il’in S. N., Katsov Y. and Nam T. G. (2015), On V-Semirings and semirings all of whose cyclic semimodules are injective, Comm. Alge- bra, 43, pp. 4632-4654.
2. Amitsur S. A. (1951), A general theory of radicals I, Radicals in complete lattices, American J. Math., 74, pp.774-786.
3. Amitsur S. A. (1954), A general theory of radicals II, Radicals in rings and bicategories, American J. Math., 76, pp. 100-125.
4. Amitsur S. A. (1954), A general theory of radicals III, Applications,American J. Math., 76, pp. 126-136.
5. Anderson T., Divinsky N. J. and Sulínski A. (1965), Hereditary radicals in associative and alternative rings, Canad. J. Math., 17, pp. 594-603.
6. Anderson F. W. and Fuller K. R. (1992), Ring and categories of modules, 2nd Sd., Springer-Verlag, New York-Berlin.
7. Bashir R. E., Hurt J., Janˇcaˇrík A. and Kepka T. (2001), Simple commutative semirings, J. Algebra, 236, pp. 277-306.
8. Berstel J. and Reutenauer C. (1988), Rational series and their languages, Monogr. Theoret. Comput. Sci. EATCS Ser., vol. 12, Springer-Verlag, Berlin.
9. Bourne S. (1951), The Jacobson radical of a semiring, Proc. Nat. Acad. Sci., 37, pp. 163-170.
10. Bourne S. and Zassenhaus H. (1958), On the semiradical of a semiring, Proc. Nat. Acad. Sci., 44, pp. 907-914.
11. Gardner J. and Wiegandt R. (2004), Radical theory of rings, Marcel Dekker, Inc., New York, Basel.
12. Gathmann A. (2006), Tropical algebraic geometry,Jahresber. Deutsch. Math.- Verein, 108(1), 3-32.
13. Golan J. (1999), Semirings and their applications, Kluwer Academic Pub- lishers, Dordrecht-Boston-London.
14. Grillet P. A. (1969), On free commutative semigroups, J. Nat. Sci. Math., 9, pp. 71-78.
15. Hebisch U. and Weinert H. J. (1997), Radical theory for semirings, Quaes- tiones Math., 20, pp. 647-661.
16. Hebisch U. and Weinert H. J. (2001), On the interrelation between radical theories for semirings and rings, Comm. Algebra, 29, pp. 109-129.
17. Hebisch U. and Weinert H. J. (2002), Semisimple classes of semirings,Algebra Colloq., 2, pp. 177-196.
18. Polák L. (2004), A classification of rational languages by semilattice-ordered monoids, Arch. Math. (Brno), 40(4), pp. 395-406.
19. Il’in S. N. (2012), V-semirings, Siberian Math. J., 53(2), pp. 222-231.
20. Il’in S. N. and Katsov Y. (2011), On p-schreier varieties of semimodules,
Comm. Algebra, 39, pp. 1491-1501.
21. Il’in S. N., Katsov Y. and Nam T. G. (2017), Toward homological structure theory of semimodules: On semirings all of whose cyclic semimodules are projective, J. Algebra, 476, pp. 238-266.
22. Iizuka K. (1959), On the Jacobson radical of a semiring, Tohoku Math. J., 2, pp. 409 - 421.
23. Inassaridze H., Mai L. H. and Tuyen N. X. (2014), On radical classes of hemirings, Tbilisi Math. J., 7(1), pp. 69-74
24. Izhakian Z. and Rowen L. (2010), Supertropical algebra, Adv. Math., 225(4), pp. 2222-2286.
25. Izhakian Z., Rhodes J. and Steinberg B. (2011), Representation theory of finite semigroups over semirings, J. Algebra, 336, pp. 139-157.
26. Jacobson N. (1945), The radical and semisimplicity of arbitrary rings,Amer- ican J. Math., 67, pp. 300-320.
27. Katsov Y. and Nam T. G. (2014), On radicals of semirings and related problems, Comm. Algebra, 42, pp. 5065-5099.
28. Katsov Y., Nam T. G. and Tuyen N. X. (2009), On subtractive semisimple semirings, Algebra Colloq., 16, pp. 415-426.
29. Katsov Y., Nam T. G. and Tuyen N. X. (2011), More on subtractive semir- ings: simpleness, perfectness, and related problems, Comm. Algebra, 39, pp. 4342-4356.
30. Katsov Y., Nam T. G. and Zumbr¨agel J. (2014), On simpleness of semirings and complete semirings, J. Algebra Appl., 13, pp. 1450015 (29 pages).
31. Kepka T. and Nˇemec P. (2015), Simple semirings with left multiplicatively absorbing elements, Semigroup Forum, 91(1), pp. 159-170.
32. Kepka T., Kortelainen J. and Nˇemec P. (2016), Simple semirings with zero,
J. Algebra Appl., 15(3), pp. 1650047 (9 pages).
33. Kendziorra A. and Zumbr¨agel J. (2013), Finite simple additively idempotent semirings, J. Algebra, 388, pp. 43-64.
34. Krempa J. and Malinawska I. A. (2011), On Kurosh-Amitsur radicals of finite groups, An. S¸t. Univ. Ovidius Constant¸a, 19(1), pp. 175-190.
35. Kurosh G. (1953), Radicals of rings and algebras, Math. Sb., 33, pp. 13-26.
36. Lam T. Y. (2001), Lectures on modules and rings, 2nd ed., Springer-Verlag, New York-Berlin.
37. Lam T. Y. (2001),A first course in noncommutative rings, 2nd ed., Springer- Verlag, New York-Berlin.
38. LaTorre D. R. (1965), On h-ideals and k-ideals in hemirings, Publ. Math. Debrecen, 12, pp. 219-226.
39. LaTorre D. R. (1967), A note on the Jacobson radical of a hemirings, Publ. Math. Debrecen, 14, pp. 9-13.
40. LaTorre D. R. (1967), The Brown-McCoy radicals of a hemiring,Publ. Math. Debrecen, 14, pp. 15Ọ28.
41. Lee Y. L. (1969), On the construction of lower radical properties, Pacific J. Math., 28, pp. 393–395.
42. Lescot P. (2012), Absolute algebra III-saturated spectrum, J. Pure Appl. Algebra, 216, pp. 1004-1015.
43. Li X. and Zhang Z. (2015), Hereditary upper radical properties and dual supplementing radicals of hereditary radicals of groups, Comm. Algebra, 43, pp. 3282-3293.
44. Mai L. H. (2015), On radicals of left V-semirings, Hue Univ. J. Sci., 107(8), pp. 87-94.
45. Mai L. H. and Tuyen N. X. (2016), Some remarks on the Jacobson rad- ical types of semirings and related problems, Vietnam J. Math. (DOI 10.1007/s10013-016-0226-7).
46. Mai L. H. and Tuyen N. X. (2016), OnJs-semisimple left (right) V-semirings,
J. Adv. Math. Stud., 9(3), pp. 437-443.
47. Márki L., Mlitz R. and Wiegandt R. (1988), A general Kurosh-Amitsur radical theory, Comm. Algebra, 16, pp. 249-305.
48. Morak B. (1999), On the radical theory for semirings, Contributions to Al- gebra and Geometry, 40, pp. 533-549.
49. Mukherjee T. K., Sen M. K. and Ghosh S. (1996), Chain conditions on semirings, Internat. J. Math. & Math. Sci., 19, pp. 321-326.
50. Olson D. M. and Jenkins T. L. (1983), Radical theory for hemirings, J. Nat. Sci. Math., 23, pp. 23-32.
51. Olson D. M. and Nance A. C. (1989), A note on radicals for hemirings,
Quacstiones Math., 12, pp. 307-314.
52. Olson D. M., Heyman G. A. P. and Leroux H. J. (1992), Weakly special classes of hemirings, Quacstiones Math., 15, pp. 119-126.
53. Olson D. M., Leroux H. J. and Heyman G. A. P. (1994), Three special radicals for hemirings, Quacstiones Math., 17, pp. 205-215.
54. Sch¨utzenberger M. P. (1961), On the definition of a family of automata,
Inform. Control, 4, pp. 245-270.
55. Tuyen N. X. and Mai L. H. (2010), Hopkins theorem about Jacobson radical for additively cancellative semirings, Hue Uni. J. Sci., 59, pp. 155-162.
56. Tuyen N. X. and Mai L. H. (2013), On a lower radical class and the cor- responding semisimple class for semirings, Hue Univ. J. Sci., 82(4); pp. 207-217.
57. Tuyen N. X. and Nam T. G. (2007), On radicals of semirings, Southeast Asian Bull. Math., 31, pp. 131-140.
58. Vandiver H. S. (1934), Note on a simple type of algebra in which the can- cellation law of addition does not hold, Bull. Am. Math. Soc., 40, pp. 914-920.
59. Wang H. (1997), On characters of semirings, Houston J. Math., 23, pp. 391- 405.
60. Watters J. F. (1969), Lower radicals in associative rings, Canad. J. Math., 21, pp. 466–476.
61. Weinert H. J. and Wiegandt R. (1992), A Kurosh-Amitsur radical theory for proper semifields, Comm. algebra, 20(8), pp. 2419-2458.
62. Weinert H. J. and Wiegandt R. (2003), A new Kurosh-Amitsur radical theory for proper semifields I, Math. Pannonica, 14(1), pp. 3-28.
63. Weinert H. J. and Wiegandt R. (2003), A new Kurosh-Amitsur radical theory for proper semifields II, Math. Pannonica, 14(2), pp. 149-164.
64. Zulfiqar M. (2003), The sum of two radical classes of hemirings, Kyungpook Math. J., 43(3), pp. 371-374.
65. Zulfiqar M. (2008), A note on lower radicals of hemirings,Bull. Korean Math. Soc., 45(4), pp. 757-762.
66. Zulfiqar M. (2009), A note on the intersection of a radical class with the sum of radical classes of hemirings, Novi Sad J. Math., 39(1), pp. 57-64.
67. Zumbr¨agel J. (2008), Classification of finite congruence-simple semirings with zero, J. Algebra Appl., 7, pp. 363-377.