Trong tiết này, chúng tôi xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành theo phương pháp tương tự của Kurosh [35] trong lý thuyết vành, và xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành đóng đồng cấu theo phương pháp tương tự của Lee [41] trong lý thuyết vành.
Lớp căn dưới của một lớp các nửa vành được định nghĩa hoàn toàn tương tự như lớp căn dưới của một lớp các vành [11, p. 28]. Cho A là một lớp con của lớp phổ dụng U các nửa vành. Giao tất cả các lớp căn của U chứa A là một lớp căn nhỏ nhất của U chứa A, kí hiệu là LA.
Định nghĩa 3.2.1. ([65]) Cho A là một lớp con của lớp phổ dụng U các nửa vành. Lớp căn LA xác định như trên được gọi là lớp căn dưới của U xác định bởi lớp A.
Trong [65], Zulfiqar đã xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành cho trước theo phương pháp tương tự của Watters [60] trong lý thuyết vành. Tiếp theo, chúng tôi xây dựng lớp căn của một lớp các nửa vành cho trước theo phương pháp tương tự của Kurosh [35] trong lý thuyết vành. Ngoài ra, chúng tôi chứng tỏ rằng lớp căn xây dựng theo cách này là lớp căn dưới của một lớp các nửa vành.
Giả sử A là một lớp con của lớp phổ dụng U các nửa vành. Chúng tôi xác định các lớp δλ(A) với mỗi chỉ số λ bằng quy nạp như dưới đây. Trước tiên, chúng tôi xác định bao đóng đồng cấu δ1(A) của A, tức là
Bắt đầu quy nạp, giả sử các lớp δµ(A) đã được xác định với mọi chỉ số µ < λ. Khi đó, chúng tôi xác định lớp δλ(A) như sau:
δλ(A) :={S ∈U| mọi ảnh đồng cấu khác không của S luôn có iđêan khác không thuộc δµ(A) với µ < λ}.
Cuối cùng, chúng tôi xác định lớp δ(A) := ∪δλ(A), trong đó hợp được lấy trên tất cả các chỉ số λ.
Định lý 3.2.2. Cho A là một lớp con của lớp phổ dụng U các nửa vành. Khi đó, lớp δ(A) là một lớp căn chứa A trong lớp phổ dụng U.
Chứng minh. VìA⊆δ1(A)nênA⊆δ(A). Để chứng minh δ(A)là một lớp căn của lớp phổ dụng U, chúng tôi chứng minh lớp δ(A) thỏa mãn các điều kiện (1) và (2) trong Định lý 3.1.3.
- Chúng tôi chứng minh δλ(A) đóng đồng cấu bằng quy nạp. Giả sử T 6= 0
là ảnh đồng cấu của S ∈ δ1(A), theo định nghĩa δ1(A), S là ảnh đồng cấu của A ∈ A. Do đó, T cũng là ảnh đồng cấu của A ∈ A suy ra T ∈ δ1(A) hay δ1(A)
đóng đồng cấu.
Giả sử δµ(A) đóng đồng cấu với mọi µ < λ và A 6= 0 là ảnh đồng cấu của S ∈ δλ(A). Với B 6= 0 là một ảnh đồng cấu bất kì của A suy ra B cũng là ảnh đồng cấu của S, theo định nghĩa δλ(A), B có iđêan khác không thuộc δµ(A) với µ < λ. Do đó, một lần nữa theo định nghĩa δλ(A), A ∈ δλ(A) hay δλ(A) đóng đồng cấu. Từ định nghĩa δλ(A), ta dễ dàng suy ra δµ(A)⊆δλ(A) với mọi µ < λ. Vậy, δ(A) đóng đồng cấu. Điều này suy ra rằng δ(A) thỏa mãn điều kiện (1).
- Giả sử S ∈ U và mọi ảnh đồng cấu khác không S/I của S (với I là iđêan thật sự của S) luôn có iđêan khác không J/I ∈ δ(A). Vì J/I ∈ δ(A) suy ra J/I ∈ δλ(I)(A), trong đó chỉ số λ(I) phụ thuộc vào iđêan I của S. Tập tất cả các iđêan I của S có dạng một tập hợp nên tồn tại chỉ số ζ lớn hơn mọi chỉ số λ(I) và δλ(I)(A)⊆ δζ(A). Vì vậy mọi ảnh đồng cấu S/I 6= 0 của S luôn có iđêan
0 6=J/I ∈δζ(A). Khi đó, theo định nghĩa S ∈ δζ+1(A) và vì thế S ∈ δ(A). Điều này suy ra rằng δ(A) thỏa mãn điều kiện (2).
Định lý 3.2.3. Cho A là một lớp con của lớp phổ dụng U các nửa vành. Khi đó, δ(A) = LA.
Chứng minh. Giả sử R là một lớp căn bất kì của lớp phổ dụng U và R chứa
Giả sử S ∈δ1(A)nên S là ảnh đồng cấu của A ∈A⊆R. Vì Rlà một lớp căn nên R đóng đồng cấu hay S ∈R. Do đó, δ1(A)⊆R.
Giả sử các lớpδµ(A)⊆Rvới mọi chỉ số µ < λ và S ∈δλ(A). Khi đó, mọi ảnh đồng cấu khác không của S có iđêan 0 6=I ∈ δµ(A) với µ < λ. Do đó, I ∈R. Vì
R là một lớp căn nên áp dụng điều kiện (2) của Định lý 3.1.3, suy ra S ∈R. Do đó, δλ(A)⊆R với mọi chỉ sốλ và vì thế δ(A)⊆R. Vậy, δ(A) là lớp căn nhỏ nhất chứa A của lớp phổ dụng U, tức là δ(A) =LA.
Lee [41, Theorem 1] xây dựng lớp căn từ một lớp các vành đóng đồng cấu. Chúng tôi kết thúc tiết này bằng việc xây dựng lớp căn từ một lớp các nửa vành đóng đồng cấu theo phương pháp tương tự của Lee. Ngoài ra, chúng tôi chứng tỏ rằng lớp căn xây dựng theo cách này cũng là lớp căn dưới của một lớp các nửa vành đóng đồng cấu.
Định lý 3.2.4. Cho A là một lớp con đóng đồng cấu của lớp phổ dụng U các nửa vành. Khi đó, lớp
YA:={S ∈U| mọi ảnh đồng cấu khác không của S có nửa vành con chấp nhận được khác không thuộc A}
là một lớp căn chứa A của lớp phổ dụng U.
Chứng minh. Từ định nghĩa YA ta dễ dàng thấy rằng A ⊆ YA. Để chứng minh YA là một lớp căn ta chứng minh YA thỏa mãn các điều kiện (1) và (2) trong Định lý 3.1.3.
Giả sử S ∈YA và A 6= 0 là ảnh đồng cấu của S. Khi đó, mọi ảnh đồng cấu B 6= 0 của A cũng là ảnh đồng cấu của S, theo định nghĩa YA, B có nửa vành con chấp nhận được khác không thuộc A. Do đó, A ∈ YA hay YA đóng đồng cấu. Điều này suy ra YA thỏa mãn điều kiện (1).
Giả sử S ∈ U và mọi ảnh đồng cấu A 6= 0 của S luôn có iđêan 06= I ∈YA. Ta cần chứng minh S ∈ YA. Vì I ∈ YA nên bản thân I có nửa vành con chấp nhận được06=J ∈A, suy ra J cũng là nửa vành con chấp nhận được củaA. Vậy mọi ảnh đồng cấu A6= 0 củaS luôn có nửa vành con chấp nhận được 06=J ∈A
nên S ∈YA hay YA thỏa điều kiện (2).
Hệ quả 3.2.5. Nếu R là một lớp căn của lớp phổ dụng U các nửa vành thì
Chứng minh. Theo Định lý 3.2.4, ta có R ⊆ YR. Giả sử tồn tại nửa vành S ∈YRnhưngS /∈R. Theo [17, Định lý 3.6], nửa vành thương 06=S/%R(S)∈ SR vì %R(S/%R(S)) = 0. Theo [17, Định lý 3.6], lớp nửa đơn SR là di truyền nên mọi nửa vành con chấp nhận được củaS/%R(S)cũng thuộcSR. Do đó, theo [48, Định lý 7.1], không tồn tại nửa vành con chấp nhận được A khác không của S/%R(S)
và A∈R. Điều này suy ra S /∈YR (vô lý). Vậy, YR=R.
Từ Hệ quả 3.2.5 chúng tôi suy ra hệ quả sau đây:
Hệ quả 3.2.6. Nếu A là một lớp đóng đồng cấu của lớp phổ dụng U các nửa vành thì YA là lớp căn dưới xác định bởi A, tức là YA=LA.
Chứng minh. Vì YA là một lớp căn chứa A nên theo định nghĩa lớp căn dưới ta có LA⊆YA. Mặt khác, theo định nghĩa YA và Hệ quả 3.2.5 ta có
YA⊆YLA=LA.
Điều này suy ra rằng YA=LA.
Ví dụ 3.2.7. ([11, Example 2.1.10]) Cho lớp phổ dụng U gồm tất cả các nửa vành. Gọi A là một lớp con chứa tất cả các nửa vành lũy linh của U. Khi đó, dễ dàng kiểm tra được A là một lớp đóng đồng cấu, nhưng A không là lớp căn của U vì lớp A không thỏa mãn tính chất quy nạp trong Định lý 3.1.4. Thật vậy, đặt Tn là nửa vành gồm tất cả các ma trận tam giác trên cấp n≥2 với các thành phần thuộc Q+, tức là
Tn :={(aij)n | aij ∈Q+, aij = 0 với mọi i≥j}.
Khi đó, Tn là nửa vành lũy linh bậc n vì Tnn = 0 nhưng Tnn−16= 0. Xét nửa vành tổng trực tiếp của T2, T3, ..., Tn, ...
R:=⊕∞n=2Tn. Trong nửa vành R có một dây chuyền tăng
T2 ⊆T2⊕T3 ⊆...⊆ ⊕kn=2Tn ⊆...
các iđêan T2, T2⊕T3, ...,⊕kn=2Tn, ... của R và thỏa mãn R là hợp R=∪∞k=2(⊕kn=2Tn)
các thành phần của dây chuyền và mỗi thành phần của dây chuyền là lũy linh, vì ta luôn có
(⊕kn=2Tn)k = 0.
Tuy nhiên, nửa vành R không lũy linh. Do đó, lớp con A chứa tất cả các nửa vành lũy linh của U không thỏa mãn tính chất quy nạp trong Định lý 3.1.4.
Theo Hệ quả 3.2.6, lớp YA là lớp căn nhỏ nhất của U chứa tất cả các nửa
vành lũy linh.
Nhận xét 3.2.8. Cho R là một vành. Khi đó, giao tất cả các iđêan nguyên tố của vànhR được gọi là căn Baer [37] của vành R. Theo [11, Example 2.2.2], lớp căn dưới của một lớp tất cả các vành lũy linh có phép lấy căn chính là căn Baer. Do đó, lớp căn YA của lớp A chứa tất cả các nửa vành lũy linh có phép lấy căn
tương ứng với căn Baer trong lý thuyết vành.