Trong chương này, chúng tôi thu được các kết quả sau đây.
(1) Mô tả đầy đủ lớp các nửa vành cộng π-chính quy J-nửa đơn (Định lý 2.1.14). Ngoài ra, chứng minh được một kết quả tương tự của Hopkins về căn Jacobson lũy linh trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành cộng giản ước (Định lý 2.1.18).
(2) Chứng tỏ sự tồn tại nửa môđun trái đơn trên nửa vành có đơn vị (Định lý 2.2.5), và chứng minh Js-căn trùng với căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối (Định lý 2.2.12). Từ kết quả này, chúng tôi nhận được một kết quả tương tự của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối (Hệ quả
2.2.15), và cho một mô tả đầy đủ lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối Js-nửa đơn (Hệ quả 2.2.18).
(3) Thiết lập được một điều kiện cần và đủ để J-căn và Js-căn trùng nhau trên lớp các nửa vành nửa đơn (Định lý 2.3.4), lớp các nửa vành cộng π-chính quy (Mệnh đề 2.3.5, Định lý 2.3.6), lớp các nửa vành phản bị chặn (Định lý 2.3.10, Định lý 2.3.11) và lớp các V-nửa vành trái (Mệnh đề 2.3.14, Định lý 2.3.15). Các kết quả này trả lời một phần cho Bài toán [27, Problem 1].
(4) Mô tả đầy đủ lớp các nửa vành nửa đơn mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn (Hệ quả 2.4.1). Ngoài ra, mô tả một số lớp các nửa vành mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn gồm: Lớp các nửa vành đơn với phần tử vô hạn hoặc lớp các nửa vành cô lập trái (phải) Artin trái (phải) chỉ có tương đẳng tầm thường (Định lý 2.4.5), lớp các nửa vành cộng hút phản bị chặn (Định lý 2.4.7). Các kết quả này trả lời một phần cho Bài toán [1, Problem 1].
Nội dung của chương này được viết dựa trên các kết quả trong các bài báo [55], [44], [45] và [46].
Chương 3
VỀ CÁC LỚP CĂN CỦA NỬA VÀNH
Trong Chương 3, chúng tôi tiếp tục thể hiện ý tưởng dùng công cụ căn (ở đây là lớp căn theo quan điểm Kurosh-Amitsur mà không phải là các căn cụ thể như trong Chương 2) để nghiên cứu cấu trúc các nửa vành. Chúng tôi nhận lại được các khái niệm J-căn và Js-căn của nửa vành thông qua khái niệm lớp căn của nửa vành. Đề xuất khái niệm nửa vành con chấp nhận được (tương tự khái niệm vành con chấp nhận được) để đặc trưng lớp căn của các nửa vành, xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành (nói riêng, xây dựng lớp căn dưới của một lớp các nửa vành đóng đồng cấu), thiết lập điều kiện cần và đủ để lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành là di truyền, chứng minh lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành có đơn vị luôn di truyền. Nội dung chương này được chia làm bốn tiết gồm: đặc trưng lớp căn của nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được, về lớp căn dưới của một lớp các nửa vành, về lớp căn di truyền của các nửa vành và kết luận Chương 3. Các kết quả chính trong chương này được trích từ các kết quả trong các bài báo [56] và [23]. 3.1 Đặc trưng lớp căn của nửa vành theo nửa vành con
chấp nhận được
Trong tiết này, chúng tôi trình bày lại khái niệm lớp căn, toán tử căn, lớp nửa đơn của nửa vành và một vài kết quả liên quan đến các khái niệm này. Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu ví dụ về các lớp căn J và Js mà chúng có phép lấy căn tương ứng là J-căn và Js-căn trong Chương 2. Cuối cùng, đề xuất khái niệm nửa vành con chấp nhận được và đặc trưng lớp căn của nửa vành theo nửa vành con chấp nhận được và đồng cấu nửa vành.
Trước hết, chúng tôi giới thiệu một vài kí hiệu trong chương này. Gọi H là lớp tất cả các nửa vành. Một lớp con khác rỗng U của H được gọi là lớp phổ dụng nếu nó có tính chất di truyền (tức là, nếu I là iđêan của R và R ∈ U thì I ∈ U) và đóng đồng cấu (tức là, nếu R ∈ U và S là một ảnh đồng cấu của R thì S ∈ U). Đặt T:= {S ∈H | | S |= 1} là lớp tất cả các nửa vành chỉ có một phần tử. Lớp con M của lớp phổ dụng U được gọi là đóng đẳng cấu nếu R ∈M và f : R −→S là một đẳng cấu thì S ∈M.
Lớp căn của nửa vành và các tính chất liên quan được trình bày trong các công trình [50, 51, 52, 53] của Olson và các cộng sự của ông, trong [15, 16, 17] của Hebisch và Weinert, trong [48] của Morak, và trong [27] của Katsov và Nam. Đặc biệt, Márki-Mlitz-Wiegandt [47] nghiên cứu lý thuyết căn Kurosh-Amitsur chung cho một phạm trù đại số như: Phạm trù nửa nhóm, phạm trù nhóm, phạm trù vành, phạm trù nửa vành,...
Định nghĩa 3.1.1. ([50] hoặc [15, p. 650]) Một lớp con khác rỗng R của một lớp phổ dụng U các nửa vành được gọi là lớp căn của U nếu R thỏa mãn hai điều kiện sau:
(1) R đóng đồng cấu;
(2) Với mỗi S ∈U\R luôn tồn tại iđêan cô lập thật sự K củaS sao cho nửa vành thương S/K không có iđêan khác không thuộcR, tức là I(S/K)∩R={0}.
Ví dụ 3.1.2. Cho lớp phổ dụng U gồm tất cả các nửa vành.
(1) Đặt R :={R ∈U | R là một vành} là lớp tất cả các vành. Khi đó, R là một lớp căn của U. Thật vậy, R6=∅ vì {0} ∈R. Do đó, để chứng minhR là một lớp căn của lớp phổ dụngU ta cần chứng minh R thỏa mãn hai điều kiện (1) và (2) của Định nghĩa 3.1.1.
- Giả sử S ∈R và f : S −→S0 là một toàn cấu. Với mọi s0∈S0, vì f là toàn cấu nên tồn tại s ∈S sao cho s0 =f(s). Vì S là một vành nên tồn tại r ∈S sao cho s+r = 0 suy ra f(s) +f(r) = 0. Đặt r0 =f(r)∈S0 suy ra s0+r0 = 0 hay S0 là một vành. Do đó, S0∈R hay R đóng đồng cấu. Vậy, R thỏa mãn điều kiện (1). - Với S ∈ U\R, đặt K :=V(S) là vành con lớn nhất trong S. Khi đó, K là iđêan cô lập thật sự của S và nửa vành thương S/V(S) là phi khả đối. Do đó, I(S/V(S))∩R={0}. Vậy R thỏa mãn điều kiện (2).
(2) Một nửa vànhS được gọi là nửa chính quy phải nếu với mọis, t ∈S luôn tồn tại x, y ∈S thỏa mãn
s+x+sx+ty=t+y+sy+tx.
Từ Định nghĩa 2.1.1 suy ra rằng: Nếu I là một iđêan nửa chính quy phải của nửa vành R thì I là nửa vành nửa chính quy phải.
Khi đó, lớp con
là một lớp căn của U. Thật vậy, J 6= ∅ vì nửa vành không {0} ∈ J. Do đó, để chứng minhJ là một lớp căn củaU ta cần chứng minh Jthỏa mãn hai điều kiện (1) và (2) trong Định nghĩa 3.1.1.
- Giả sử S ∈J và f : S −→S0 là một toàn cấu. Với mọi s0, t0 ∈S0, vì f toàn cấu nên tồn tại s, t ∈S sao cho s0=f(s), t0=f(t). Vì S nửa chính quy phải nên tồn tại x, y ∈S thỏa mãn
s+x+sx+ty=t+y+sy+tx,
vì f là toàn cấu nên
f(s) +f(x) +f(s)f(x) +f(t)f(y) =f(t) +f(y) +f(s)f(y) +f(t)f(x).
Đặt x0=f(x), y0=f(y)∈S0, suy ra
s0+x0+s0x0+t0y0=t0+y0+s0y0+t0x0.
Do đó, S0 là nửa vành nửa chính quy phải hay S0 ∈ J. Vì thế, lớp J đóng đồng cấu. Vậy, lớp J thỏa mãn điều kiện (1).
- Lấy S ∈U\J, gọi K là tổng tất cả các iđêan phải nửa chính quy phải của S. Theo Định lý 2.1.3 và [22, Theorem 1], ta có K = J(S) là iđêan cô lập thật sự của S và K ∈J. Theo [9, Theorem 5], ta có I(S/K)∩J={0}. Vậy, lớpJ thỏa
mãn điều kiện (2).
Tiếp theo, chúng tôi trình bày lại một vài đặc trưng lớp căn của nửa vành và một số kết quả liên quan mà nó cần thiết cho phần sau.
Định lý 3.1.3. ([48, Theorem 3.2]) Một lớp con R các nửa vành của lớp phổ dụng U là một lớp căn của U nếu và chỉ nếu R thỏa mãn 2 điều kiện sau:
(1) Nếu S ∈ R thì mọi A 6= 0 là ảnh đồng cấu của S luôn tồn tại B 6= 0 là iđêan của A sao cho B ∈R;
(2) Nếu S ∈ U và mọi A 6= 0 là ảnh đồng cấu của S luôn tồn tại B 6= 0 là iđêan của A sao cho B ∈R thì S ∈R.
Định lý 3.1.4. ([48, Theorem 4.7]) Một lớp con khác rỗng R của lớp phổ dụng U là một lớp căn của U nếu và chỉ nếu R thỏa mãn 3 điều kiện sau:
(2) R đóng đối với sự mở rộng, tức là nếu I là một iđêan của S và I, S/I ∈R
thì S ∈R;
(3) R có tính chất qui nạp, tức là nếu I1 ⊆ I2 ⊆ ... ⊆ Iα ⊆ ... là một dây chuyền tăng các iđêan Iα của nửa vành S ∈U và Iα ∈R thì ∪Iα cũng là iđêan của S và ∪Iα ∈R.
Sử dụng Định lý 3.1.4, chúng tôi chỉ ra một vài ví dụ về lớp căn của nửa vành trong lớp phổ dụng U. Các lớp căn này tương tự với các lớp căn nil K¨othe và lớp căn Levitzki trong lý thuyết vành [11, Example 2.1.6 và Example 2.1.8]. Ví dụ 3.1.5. Cho lớp phổ dụng U gồm tất cả các nửa vành giao hoán.
(1) Nửa vành S được gọi là nửa vành Nil nếu mọi phần tử thuộc S đều là phần tử lũy linh, tức là với mọis∈S luôn tồn tại số nguyên dương n phụ thuộc vào s sao cho sn = 0. Khi đó, lớp con
N :={S ∈U | S là nửa vành Nil}
là một lớp căn của U. Thật vậy, dễ dàng thấy rằng lớp N đóng đồng cấu và thỏa mãn tính chất quy nạp. Do đó, để chứng minh N là lớp căn của U ta cần chứng minh lớp N đóng đối với sự mở rộng. Giả sử S ∈ U và I là iđêan của S sao cho I, S/I ∈ N. Khi đó, với mọis ∈S suy ras ∈S/I. Vì S/I ∈ N nên tồn tại số nguyên dương n sao cho sn = 0 suy ra sn = 0 hay sn ∈ I =I vì S giao hoán. Vì I ∈ N nên tồn tại số nguyên dương m sao cho (sn)m =snm = 0. Do đó, s là phần tử lũy linh. Vậy S là nửa vành Nil hay S ∈ N. Điều này suy ra rằng lớp N đóng đối với sự mở rộng hay N là lớp căn của U.
(2) Nửa vành S được gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho Sn = 0, trong đó Sn sinh bởi tập {s1s2...sn | si ∈S}. Nửa vành S được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi nửa vành con hữu hạn sinh của S là lũy linh. Khi đó, lớp con
L :={S ∈U | S là nửa vành lũy linh địa phương}
là một lớp căn của U. Thật vậy, dễ dàng thấy rằng lớp L đóng đồng cấu và thỏa mãn tính chất quy nạp. Do đó, để chứng minh L là lớp căn của U ta cần chứng minh lớp L đóng đối với sự mở rộng. Giả sử A ∈ U và I là iđêan của A sao cho I, A/I ∈ L. Giả sử S là một nửa vành con hữu hạn sinh của A với tập
sinh {s1, s2, ..., sn}. Đặt S là nửa vành con hữu hạn sinh của A/I với tập sinh {s1, s2, ..., sn}. Khi đó, S là lũy linh bởi vì A/I ∈ L. Do đó, tồn tại số nguyên dương k sao cho Sk = 0 hay Sk = 0 suy ra Sk ⊆ I = I vì A giao hoán. Vì S hữu hạn sinh với tập sinh {s1, s2, ..., sn} nên Sk hữu hạn sinh với tập sinh {si1si2...sik | sij ∈ {s1, s2, ..., sn}}. Khi đó, Sk là lũy linh vì I ∈ L, do đó tồn tại số nguyên dương l sao cho (Sk)l =Skl = 0. Vậy S lũy linh hay A∈ L. Do đó, L đóng đối với sự mở rộng hay L là lớp căn của U.
Khái niệm lớp chính quy của các nửa vành được định nghĩa hoàn toàn tương tự khái niệm lớp chính quy của các vành. Cụ thể như sau:
Định nghĩa 3.1.6. [16, p. 182] Một lớp con M của một lớp phổ dụng U ⊆ H được gọi là lớp chính quy nếu với bất kì iđêan I 6= 0 của một nửa vành R ∈M, tồn tại S 6= 0 là ảnh đồng cấu của I với S ∈M.
Phương pháp xây dựng lớp căn trên US của một lớp chính quy S các vành [11, Theorem 2.2.3] đã được làm tương tự đối với lớp căn trên UM của một lớp chính quy M các nửa vành [48, Theorem 5.3]. Cụ thể là: Giả sử M là một lớp chính quy các nửa vành trong lớp phổ dụng U. Khi đó, lớp con
UM:={R∈U | R không có ảnh đồng cấu khác không thuộc M}
là một lớp căn của U và M∩ UM =T. Ngoài ra, UM là lớp căn lớn nhất của U có giao với M bằng T.
Định nghĩa 3.1.7. Cho M là một lớp chính quy các nửa vành trong lớp phổ dụng U. Lớp căn UM được gọi là lớp căn trên của lớp chính quy M.
Katsov và Nam [27, Section 3] đã xem xét hai lớp căn sau đây mà chúng là các lớp căn trên của một lớp chính quy các nửa vành.
Ví dụ 3.1.8. Cho lớp phổ dụng U gồm tất cả các nửa vành.
(1) Với mọi R ∈U, kí hiệu
ΣR :={RM ∈ |RM| | M là R-nửa môđun trái đơn}, Σ :=∪R∈UΣR và
Theo [27, Proposition 3.1], ta có F(Σ) là một lớp chính quy các nửa vành. Vì thế, từ [27, Proposition 3.5 và Theorem 3.2], lớp con
Js :={R∈U | Js(R) = R}
là một lớp căn củaU và Js là lớp căn trên của lớp chính quyF(Σ) các nửa vành, tức là Js =U F(Σ).
(2) Theo Định nghĩa 2.4.3, nửa vành có đơn vị R được gọi là chỉ có iđêan tầm thường nếu chỉ có 0 và R là các iđêan của nó. Xét lớp con
S:={R ∈U | R là nửa vành chỉ có iđêan tầm thường}
của lớp U. Khi đó, S là một lớp chính quy. Thật vậy, giả sử S ∈ S và A 6= 0 là một iđêan của S. Vì S là nửa vành chỉ có iđêan tầm thường nên A=S, suy ra A có ảnh đồng cấu 06=S ∈S. Do đó, S là một lớp chính quy.
Theo Định nghĩa 3.1.7, lớp con
US={R ∈U | R không có ảnh đồng cấu khác không thuộc S}
là một lớp căn trên của lớp chính quy S các nửa vành chỉ có iđêan tầm thường
trong lớp phổ dụng U.
Lớp căn trênUStrong Ví dụ 3.1.8(2) là lớp căn lớn nhất củaU mà nó không chứa các nửa vành chỉ có iđêan tầm thường. Lớp căn USnày được gọi là lớp căn Brown-McCoy của U.
Một khái niệm khác của căn Kurosh-Amitsur các nửa vành là toán tử căn. Định nghĩa 3.1.9. ([48, Definition 4.1]) Cho U là một lớp phổ dụng các nửa vành. Một ánh xạ % : U −→ U được gọi là một toán tử căn trong U nếu mỗi nửa vành S ∈U có ảnh %(S)∈ K(S)⊆U sao cho bốn điều kiện dưới đây là thỏa mãn với mọi S, T ∈U:
(1) ϕ(%(S))⊆%(ϕ(S)) với mọi đồng cấu ϕ: S −→T; (2) %(S/%(S)) = 0;
(3) Nếu %(I) =I là iđêan khác không của S thì I ⊆%(S); (4) %(%(S)) =%(S).
J : U−→U xác định bởi R 7→J(R)
là một toán tử căn trong U. Thật vậy, theo [22, Theorem 1], J(R) là một iđêan cô lập của R. Bây giờ, chúng tôi chứng minh ánh xạ J thỏa mãn bốn điều kiện trong Định nghĩa 3.1.9.
- Giả sử ϕ: S −→T là một toàn cấu từ nửa vành S vào nửa vành T, ta cần chứng minh ϕ(J(S)) ⊆ J(T). Vì J(S) là iđêan phải nửa chính quy phải của S nênϕ(J(S))cũng là iđêan phải nửa chính quy phải của T, do đó ϕ(J(S))⊆J(T). Vậy ánh xạ J thỏa mãn điều kiện (1).
- Theo [9, Theorem 5], J(S/J(S)) = 0 với mọi S ∈ U. Vậy ánh xạ J thỏa mãn điều kiện (2).
-Theo Định nghĩa 2.1.4, nếu J(I) = I là iđêan khác không của S thì I nửa chính quy phải của S nên I ⊆J(S). Vậy ánh xạ J thỏa mãn điều kiện (3).
- Theo [9, Theorem 6], J(J(S)) = J(S) với mọi S ∈ U. Vậy ánh xạ J thỏa
mãn điều kiện (4).
Cho R là một lớp căn của lớp phổ dụng U các nửa vành và R ∈U. Kí hiệu I ∈ I(R)∩R, tức làI là một iđêan củaR và I ∈R. Khi đó, I được gọi làR-iđêan