Trong chương này, chúng tôi trình bày lại các khái niệm và một số tính chất liên quan đến nửa vành và nửa môđun mà nó cần thiết cho việc trình bày các kết quả trong hai chương chính của luận án. Nội dung chương này được viết dựa trên các tài liệu [9], [13], [22] và [27].
Chương 2
VỀ CĂN JACOBSON, JS-CĂN CỦA NỬA
VÀNH
Trong chương này, sử dụng khái niệm căn Jacobson (J-căn) và Js-căn để mô tả cấu trúc các nửa vành cộng π-chính quy, nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Đặc biệt, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa căn Jacobson và Js-căn trên lớp các nửa vành nửa đơn, lớp các nửa vành cộng π-chính quy, lớp các nửa vành phản bị chặn và lớp các V-nửa vành trái; nghiên cứu mối quan hệ giữa Js-căn và căn Nil trên lớp các nửa vành có đơn vị giao hoán phi khả đối. Mô tả một số lớp các nửa vành mà nó là V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn. Thiết lập các kết quả tương tự của Hopkins về căn Jacobson lũy linh và của Snapper về căn Jacobson của vành đa thức trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành. Nội dung chương này được chia làm năm tiết, gồm: về căn Jacobson của nửa vành, về Js-căn của nửa vành, về mối quan hệ giữa căn Jacobson và Js-căn của nửa vành, về V-nửa vành trái (phải) Js-nửa đơn và kết luận Chương 2. Các kết quả chính trong chương này được trích từ các kết quả trong các bài báo [55], [44], [45] và [46].
2.1 Về căn Jacobson của nửa vành
Trong tiết này, trước tiên chúng tôi trình bày lại khái niệm căn Jacobson (J-căn) của nửa vành và một vài tính chất liên quan. Sau đó, chúng tôi sử dụng công cụ J-căn của nửa vành để mô tả cấu trúc các nửa vành cộng π-chính quy và thiết lập một kết quả tương tự của Hopkins về căn Jacobson lũy linh trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành cộng giản ước.
Năm 1951, Bourne [9] sử dụng lớp các iđêan nửa chính quy một phía để định nghĩa căn Jacobson của các nửa vành.
Định nghĩa 2.1.1. ([9, Definition 3]) ChoR là một nửa vành vàI là một iđêan phải củaR. IđêanI được gọi lànửa chính quy phải củaRnếu với mỗi cặpi1, i2 ∈I thì tồn tại j1, j2∈I sao cho:
Iđêan nửa chính quy trái của nửa vành được định nghĩa tương tự. Một iđêan của nửa vành được gọi là iđêan nửa chính quy nếu nó vừa là iđêan nửa chính quy trái vừa là nửa chính quy phải.
Nhận xét 2.1.2. (1) Mọi nửa vành luôn có ít nhất một iđêan nửa chính quy một phía, chẳng hạn iđêan không.
(2) Chúng tôi nhắc lại rằng, một phần tửz của một vànhR bất kì được gọi là
tựa chính quy phải [26, p. 302] nếu tồn tại phần tửz0 ∈R sao choz+z0+zz0= 0. Một iđêan phải I của vành R bất kì được gọi là tựa chính quy phải nếu tất cả các phần tử của I là tựa chính quy phải.
Nếu R là một vành thì khái niệm iđêan phải nửa chính quy phải trùng với khái niệm iđêan phải tựa chính quy phải. Thật vậy, giả sử I là một iđêan phải nửa chính quy phải của vành R và với mọi i∈ I. Xét cặp phần tử i1 =i, i2 = 0, vì I là nửa chính quy phải nên tồn tại các phần tử j1, j2 ∈I sao cho
i1+j1+i1j1+i2j2 =i2+j2+i1j2+i2j1, suy ra
i+ (j1−j2) +i(j1−j2) = 0.
Do đó, i là phần tử tựa chính quy phải hay I là iđêan phải tựa chính quy phải. Ngược lại, giả sử I là một iđêan phải tựa chính quy phải của vành R và i1, i2 ∈ I. Khi đó, z =i1−i2 ∈ I, vì I là iđêan phải tựa chính quy phải nên z là phần tử nửa chính quy phải trong R. Do đó, tồn tại z0 ∈R sao cho
z+z0+zz0 = 0, tức là i1−i2+z0+ (i1−i2)z0 = 0. Do đó, i1+z0+i1z0 =i2+i2z0, hay i1+z0+i1z0+i20 =i2+ 0 +i10 +i2z0.
Vì z0=−(z+zz0)∈I nên tồn tại các phần tử j1 =z0, j2= 0 ∈I sao cho i1+j1+i1j1+i2j2 =i2+j2+i1j2+i2j1.
(3) Nếu R là một nửa vành cộng lũy đẳng thìR là iđêan phải nửa chính quy phải của chính nó. Thật vậy, với mỗi cặp phần tử i1, i2 ∈R, vì R cộng lũy đẳng nên ta có i1+i1+i2+i1i1+i1i2+i2i1+i2i2 =i2+i1+i2+i1i1+i1i2+i2i1+i2i2, suy ra i1+ (i1+i2) +i1(i1+i2) +i2(i1+i2) = i2+ (i1+i2) +i1(i1+i2) +i2(i1+i2). Đặt j1=j2 =i1+i2 ∈R, suy ra i1+j1+i1j1+i2j2 =i2+j2+i1j2+i2j1. Do đó, R là iđêan phải nửa chính quy phải.
(4) Nửa vành các số tự nhiên N có duy nhất iđêan phải nửa chính quy phải là 0. Thật vậy, gọi I là iđêan phải nửa chính quy phải bất kì của nửa vànhN và với mọi x∈I. Xét cặp i1 =x, i2 = 0∈I, vì I là nửa chính quy phải nên tồn tại j1, j2 ∈I sao cho i1+j1+i1j1+i2j2 =i2+j2+i1j2+i2j1. Do đó,
x+j1+xj1 =j2+xj2. (*) Nếu j1 > j2 thì x+j1 +xj1 > j1+xj1 > j2+xj2, mâu thuẫn với (*). Nếu j1 < j2 thì j1 + 1 ≤ j2. Khi đó, j2+xj2 ≥ j2+x(j1 + 1) ≥ j1 + 1 +xj1 +x > x+j1+xj1, mâu thuẫn với (*). Từ hai điều này suy ra j1=j2, thay vào (*) ta được x+j1+xj1 =j1+xj1, vì N là cộng giản ước nên x= 0. Do đó, I = 0 hay
N chỉ có duy nhất iđêan không là nửa chính quy phải.
Định lý 2.1.3. ([9, Theorems 3]) Cho R là một nửa vành. Khi đó, tổng tất cả các iđêan phải nửa chính quy phải của R là một iđêan nửa chính quy phải.
Theo Nhận xét 2.1.2(1) và Định lý 2.1.3, chúng ta thấy rằng trong nửa vành bất kì luôn tồn tại iđêan nửa chính quy phải lớn nhất. Từ đó, Bourne [9] định nghĩa căn Jacobson của nửa vành như sau:
Định nghĩa 2.1.4. ([9, Definition 4 và Theorem 4]) Cho R là một nửa vành. (1) Tổng tất cả các iđêan phải nửa chính quy phải củaR, kí hiệuJ(R), được gọi là căn Jacobson hay J-căn của nửa vành R.
Ví dụ 2.1.5. (1) Nếu R là một vành thì J-căn J(R) trùng với căn Jacobson trong lý thuyết vành. Thật vậy, theo [26, Definition 2], căn Jacobson của vành R là tổng tất cả các iđêan phải tựa chính quy phải của R. Do đó, theo Nhận xét 2.1.2(2), J-căn J(R) trùng với căn Jacobson của vành R.
(2) Nếu R là một nửa vành cộng lũy đẳng thì J(R) = R. Thật vậy, theo Nhận xét 2.1.2(3), R là iđêan nửa chính quy phải của nó. Do đó, theo Định nghĩa 2.1.4, ta có J(R) =R.
(3) Ta luôn có J(N) = 0. Thật vậy, theo Nhận xét 2.1.2(4), N có duy nhất iđêan không là nửa chính quy phải. Do đó, theo Định nghĩa 2.1.4, ta cóJ(N) = 0. (4) Cho R là một nửa vành và Mn(R) (n ≥1) là nửa vành ma trận trên R. Khi đó, J(Mn(R)) =Mn(J(R)) [27, Theorem 5.8(iii)].
Iizuka [22] sử dụng lớp các nửa môđun trái bất khả quy để đặc trưng J-căn của các nửa vành.
Định nghĩa 2.1.6. ([22, Definition 5]) Cho R là một nửa vành. Một R-nửa môđun trái giản ước M 6= 0 gọi là bất khả quy nếu và chỉ nếu với mọi cặp phần tử cố định bất kỳ u1, u2 ∈M với u1 6=u2 và bất kỳ x∈M luôn tồn tại a1, a2∈R sao cho
x+a1u1+a2u2 =a1u2+a2u1.
Từ Định nghĩa 2.1.6 dễ dàng suy ra rằng: Nếu M là R-nửa môđun trái bất khả quy thì RM 6= 0.
Nhận xét 2.1.7. (1) Nếu R là một nửa vành cộng lũy đẳng thì không tồn tại R-nửa môđun trái bất khả quy. Thật vậy, giả sử M là một nửa môđun trái bất khả quy trên nửa vành cộng lũy đẳng R. Khi đó, M 6= 0 và với mọi 06=m ∈M, lấy u1 = m, u2 = 0 ∈ M và x= m ∈ M, vì M là R-nửa môđun trái bất khả quy nên tồn tại a1, a2 ∈R sao cho x+a1u1+a2u2 =a2u1+a1u2. Do đó,
m+a1m=a2m suy ra
m+a1m+a1m+a2m=a2m+a1m+a2m hay
Vì M giản ước nên m = 0 (mâu thuẫn). Do đó, không tồn tại nửa môđun trái bất khả quy trên nửa vành cộng lũy đẳng R.
(2) ChoRlà một nửa vành. Theo [22, p. 419, Section 4(c)], mộtR-nửa môđun tráiM là bất khả quy nếu và chỉ nếu M giản ước vàD(M) là một D(R)-môđun trái đơn (trong đó, D(M) là R-nửa môđun trái sai phân của R-nửa môđun trái M và D(R) là vành sai phân của nửa vành R đã được nhắc lại trong Mục 1.3). Do đó, nếu R là một vành thì khái niệm R-nửa môđun trái bất khả quy trùng
với khái niệm R-môđun trái đơn.
Định lý 2.1.8. ([22, Theorem 8]) Giả sử R là một nửa vành. Khi đó,
J(R) =∩{(0 : M)R |M ∈ J },
trong đó J là lớp tất cả các nửa môđun trái bất khả quy trên nửa vành R. Chú ý rằng, nếu J =∅ thì ta quy ước ∩{(0 :M)R |M ∈ J } bằng R.
Chúng tôi nhắc lại khái niệm nửa vành nguyên thủy, nó được định nghĩa hoàn toàn tương tự như vành nguyên thủy trong lý thuyết vành. Ngoài ra, chúng tôi cũng giới thiệu lại khái niệm vành con trù mật của vành tự đồng cấu của không gian véctơ trái trên một vành chia.
Định nghĩa 2.1.9. (1) ([22, Definition 9]) Một nửa vànhR được gọi là nguyên thủy nếu tồn tại một R-nửa môđun trái M bất khả quy và trung thành.
(2) ([37, Chapter 4]) Một vành con R của vành tự đồng cấu End(DV) của không gian véctơ tráiDV trên một vành chiaDđược gọi làtrù mật nếu với bất kì hệ độc lập tuyến tính {v1, v2, ..., vn} của V và bất kì các phần tử v10, v20, ..., v0n ∈V luôn tồn tại f ∈R sao cho f(vi) = vi0 với mọi i= 1,2, ..., n.
Hai kết quả sau đây của Katsov-Nam [27] mô tả đầy đủ cấu trúc các nửa vành J-nửa đơn. Trong đó, Định lý 2.1.10 là một mở rộng kết quả của LaTorre [39, Theorem 3.3].
Định lý 2.1.10. ([27, Corollary 3.8]) Một nửa vành R là J-nửa đơn nếu và chỉ nếuR là nửa đẳng cấu với một tích trực tiếp con của các nửa vành nguyên thủy.
Định lý 2.1.11. ([27, Corollary 4.6]) Một nửa vành R là J-nửa đơn nếu và chỉ nếu R là nửa đẳng cấu với một tích trực tiếp con của các nửa vành cộng giản ước S mà vành sai phân D(S) đẳng cấu với vành con trù mật của vành tự đồng cấu End(DV) của không gian véctơ trái DV trên vành chia D.
Dựa trên kết quả tổng quát của Katsov-Nam về nửa vành J-nửa đơn, luận án mô tả đầy đủ nửa vành cộngπ-chính quyJ-nửa đơn. Kết quả này là một mở rộng kết quả của LaTorre [39, Theorem 3.4].
Trước tiên, chúng tôi nhắc lại khái niệm nửa vành cộng π-chính quy.
Định nghĩa 2.1.12. ([14] hoặc [20, p. 1496]) Một nửa vành có đơn vị R được gọi là cộng π-chính quy nếu với bất kì phần tử x ∈ R, luôn tồn tại một số tự nhiên n và phần tử y∈R sao cho
nx+y+nx =nx.
Nhận xét 2.1.13. (1) Mọi vành có đơn vị đều là nửa vành cộng π-chính quy. (2) Mọi nửa vành cộng chính quy đều là cộng π-chính quy. Đặc biệt, mọi nửa vành cộng lũy đẳng đều là cộng π-chính quy.
(3) Mọi nửa vành có đơn vị hữu hạn là cộng π-chính quy. Thật vậy, cho R là một nửa vành có đơn vị hữu hạn. Đặt
(1R) :={n1R | n ∈N}
là nửa vành con của R sinh bởi phần tử đơn vị 1R. Vì R hữu hạn nên nửa vành con (1R) cũng hữu hạn. Do đó, tồn tại n∈N sao cho n1R = (n+ 1)1R suy ra
n1R = (n+ 1)1R = (n+ 2)1R =...= (2n+ 1)1R.
Từ n1R = (2n+ 1)1R dẫn đến n1R =n1R+ 1R+n1R. Do đó, với mọi x∈R ta có nx=nx+x+nx, điều này suy ra R là nửa vành cộng π-chính quy.
Định lý 2.1.14. Giả sử R là một nửa vành cộng π-chính quy. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
(1) R là một nửa vành J-nửa đơn;
(2) R là một vành J-nửa đơn;
(3) R là đẳng cấu với tích trực tiếp con của các vành nguyên thủy.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Giả sử R là một nửa vành J-nửa đơn. Theo Định lý 2.1.11, R nửa đẳng cấu với
sub Q i∈I
Ri của các nửa vành cộng giản ước Ri (i∈I). Vì
mỗi Ri (i ∈I) là nửa vành cộng giản ước nên
sub Q i∈I
ước. Mặt khác, vì R là một nửa vành cộng π-chính quy và R nửa đẳng cấu với sub Q i∈I Ri nên sub Q i∈I
Ri cũng là nửa vành cộng π-chính quy. Từ đó suy ra
sub Q i∈I
Ri là một vành. Theo [38, Theorem 2.4], R cũng là một vành.
(2) ⇒ (3) Theo Định lý 2.1.10, vành R nửa đẳng cấu với
sub Q i∈I
Ri của các nửa
vành nguyên thủy Ri (i ∈ I). Vì R là một vành nên
sub Q i∈I
Ri cũng là một vành và
vì thế Ri (i∈I) cũng là một vành. Khi đó, R đẳng cấu với
sub Q i∈I
Ri.
(3)⇒(1) được suy ra từ Định lý 2.1.10.
Theo Nhận xét 2.1.13(3), nếu R là nửa vành có đơn vị hữu hạn thì nó là cộng π-chính quy. Do đó, từ Định lý 2.1.14 và Định lý Wedderburn-Artin trong lý thuyết vành [37], luận án mô tả đầy đủ cấu trúc nửa vành có đơn vị hữu hạn J-nửa đơn.
Hệ quả 2.1.15. Một nửa vành có đơn vị hữu hạn R là J-nửa đơn nếu và chỉ nếu R là đẳng cấu với
Mn1(F1)×Mn2(F2)×...×Mnk(Fk),
trong đó F1, ..., Fk là các trường hữu hạn và n1, ..., nk là các số nguyên dương.
Tiếp theo, chúng tôi chứng minh một bổ đề liên quan đến J-căn mà nó cần thiết trong việc chứng minh các kết quả tiếp theo của luận án.
Bổ đề 2.1.16. Cho R và S là các nửa vành. Khi đó,
(1) J(R⊕S) = J(R)⊕J(S);
(2) Nếu R là một nửa vành chia thì J(R) =Z(R).
Chứng minh. (1) Theo [48, Theorem 4.9] và [9, Theorem 5 và 6], với bất kì nửa vành H
J(H) = ∩{I ∈ I(H)| J(H/I) = 0}. (**) Lấyx∈J(R)⊕J(S). Khi đó,x=r+svới r∈J(R)và s ∈J(S). Giả sử ngược lại rằng x=r+s /∈J(R⊕S). Theo (**), tồn tại một iđêan I của R⊕S sao cho x= r+s /∈ I và J((R⊕S)/I) = 0. Vì I là một iđêan của R⊕S nên tồn tại các
iđêan I1 của R và I2 của S sao cho I =I1⊕I2. Vì r+s /∈ I suy ra r /∈ I1 hoặc s /∈I2. Mặt khác, ta có
(R⊕S)/I ∼= (R/I
1)⊕(S/I2)
và vì thế R/I1, S/I2 được xem như các iđêan của (R⊕S)/I. Vì J((R⊕S)/I) = 0
dẫn đến J(R/I1) =J(S/I2) = 0 theo [22, Theorem 2]. Sử dụng (**) một lần nữa, suy ra r∈I1 and s∈I2 (mâu thuẫn). Vì vậy x=r+s∈J(R⊕S), tức là
J(R)⊕J(S)⊆J(R⊕S).
Lấy x∈J(R⊕S). Khi đó x=r+s với r∈R và s ∈S. Giả sử ngược lại rằng x = r+s /∈ J(R)⊕J(S), tức là r /∈ J(R) hoặc s /∈ J(S). Giả sử r /∈ J(R), theo (**) tồn tại iđêan I củaR sao cho r /∈I và J(R/I) = 0. Mặt khác, ta có
(R⊕S)/(I⊕S)∼=R/I.
VìJ(R/I) = 0 suy ra J((R⊕S)/(I⊕S)) = 0 và khi đó x=r+s ∈I⊕S điều này chỉ ra rằng r ∈I (mâu thuẫn). Vì vậy x∈J(R)⊕J(S), tức là
J(R⊕S)⊆J(R)⊕J(S).
(2) Theo [22, p. 414], ta có Z(R) ⊆ J(R). Ngược lại, giả sử r ∈ J(R). Vì R là một nửa vành chia nên R là nửa vành Artin. Theo [27, Corollary 4.4], tồn tại số tự nhiên n ∈N sao cho rn ∈ Z(R), tức là rn +x =x với x ∈ R và khi đó r+r−(n−1)x = r−(n−1)x. Điều này chỉ ra rằng r ∈ Z(R) hay J(R) ⊆ Z(R). Vậy
J(R) =Z(R).
Một kết quả của Hopkins [37, Theorem 4.12] về căn Jacobson lũy linh trong lý thuyết vành được phát biểu như sau: Giả sử R là một vành có đơn vị Artin trái. Khi đó, căn Jacobson J(R) là iđêan trái lũy linh lớn nhất và nó cũng là iđêan phải lũy linh lớn nhất.
Tuy nhiên, phát biểu trên nói chung là không đúng đối với nửa vành. Chẳng hạn, nửa trường BooleanB là nửa vành có đơn vị Artin trái và có căn Jacobson J(B) = B không lũy linh.
Chúng tôi kết thúc tiết này bằng việc thiết lập một kết quả tương tự của Hopkins về căn Jacobson lũy linh cho các nửa vành cộng giản ước. Trước tiên chúng tôi chứng minh một bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.17. Cho R là một nửa vành cộng giản ước. Nếu R-nửa môđun phải
R2 là Artin thì R-nửa môđun phải D(R) cũng Artin.
Chứng minh. Ta có R-nửa môđun phải R2 với phép nhân vô hướng xác định