Trong dài hạn, tất cả các yếu tố đầu vào được sử dụng trong quá trình sản xuất sẽ thay đổi. Do đó, dạng hàm sản xuất trong dài hạn tổng quát được thể hiện: Q = f (K, L).
Trong đó: Q là mức sản lượng tối đa mà doanh nghiệp có thể sản xuất ra được trong một khoảng thời gian dài hạn nhất định; K là lượng vốn được sử dụng; L là lượng lao động.
Dạng tổng quát:
Q = .KαLβ ; α > 0, β > 0 Trong đó:
Y: sản lượng
L: số lượng lao động
K: lượng vốn
: năng suất toàn bộ nhân tố
α và β là các hệ số co giãn theo sản lượng lần lượt của lao động và vốn; chúng cố định và do công nghệ quyết định.
Với dạng hàm sản xuất này, có thể thấy được để sản xuất ra một mức sản lượng nhất định thì doanh nghiệp sẽ phải sử dụng đồng thời cả hai đầu vào. Giả sử, một trong hai đầu vào bằng 0, tức là K = 0 hoặc L = 0 thì ta có:
Sản phẩm cận biên của các yếu tố đầu vào được xác định như sau: Sản phẩm cận biên của vốn:
Sản phẩm cận biên của lao động:
Với sản phẩm cận biên dương, và phải dương. Tính đạo hàm cấp 2 ta được:
Từ công thức ta thấy, nếu sản phẩm cận biên giảm (ví dụ: QKK < 0 và QLL < 0),
và phải nhỏ hơn 1. Như vậy, điều kiện của và trong hàm sản xuất này là lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1.
Tỷ lệ thay thế cận biên của hai đầu vào:
Theo dạng hàm Cobb - Douglas thì:
Nếu lấy đạo hàm của MRTS tương ứng với L ta được:
Độ co giãn của sản lượng:
Với dạng hàm Cobb - Douglas ta có:
Hệ số của phương trình: Hàm sản xuất Q(K, L). Giả định rằng mức sử dụng của cả hai yếu tố đầu vào tăng cùng tỷ lệ (), có nghĩa là � . Tham số của hàm là ():
Lấy đạo hàm của hàm sản xuất:
dQ = QKdK + QLL
Vì K và L đều tăng cùng tỷ lệ, nên ��/� = dL/L=d/. Do đó:
Hệ số phương trình trong trường hợp này là: Với hàm sản xuất Cobb - Douglas, ta có: :
Dạng hàm sản xuất Cobb - Douglas có những đặc điểm phù hợp với lý thuyết kinh tế. Do đó, chúng ta sẽ sử dụng dạng hàm này để ước lượng sản lượng trong dài hạn của các doanh nghiệp. Các bước ước lượng hàm sản xuất dài hạn cũng theo các bước đã được phân tích, do đó trong phần này chúng ta sẽ thảo luận một số lưu ý khi thực hiện ước lượng đối với dạng hàm sản xuất Cobb - Douglas. Thông thường, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất OLS để ước lượng. Do đó, chúng ta sẽ phải biến đổi hàm mũ về dạng logarit tự nhiên.
Hàm sản xuất Cobb - Douglas: Q = .KαLβ , được lấy logarit tự nhiên như sau: Nếu đặt: lnQ = Y ; lnγ = A ; lnK = X ; lnL = Z
Thì phương trình trên được viết lại:
Y = A + αX + βZ
Đây là dạng hàm tuyến tính nên chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp OLS để ước lượng hàm trên. Các số liệu cần thu thập bao gồm sản lượng Q, tổng số
vốn đã sử dụng K và tổng số lao động L. Từ các số liệu đó, có thể tính được các giá trị lnQ, lnK, lnL.
Lưu ý rằng, các số liệu có thể ở nhiều dạng khác nhau. Nếu chúng ta chỉ ước lượng hàm sản xuất cho một nhà máy của doanh nghiệp trong một giai đoạn nhất định thì số liệu thu thập theo thời gian (số liệu chuỗi thời gian); nhưng trong trường hợp, hàm sản xuất của doanh nghiệp sẽ ước lượng với nhiều nhà máy trong một giai đoạn nhất định thì số liệu sẽ thu thập theo thời gian với nhiều nhà máy khác nhau (số liệu chéo). Đối với số liệu theo chuỗi thời gian, với các biến đo lường bằng giá trị tiền tệ (ví dụ như yếu tố vốn) thì chúng ta cần phải điều chỉnh yếu tố lạm phát. Hơn nữa, theo thời gian, có thể quá trình sản xuất có sự thay đổi về yếu tố công nghệ kỹ thuật. Do đó, tùy vào những tình huống cụ thể, chúng ta còn có thể sử dụng thêm các biến giả khi ước lượng hàm sản xuất. Đối với số liệu chéo, việc thu thập số liệu giữa các nhà máy khác nhau có thể hoàn toàn không phù hợp khi ước lượng do các nhà máy khác nhau có thể sẽ có những mức hoạt động công nghệ khác nhau. Do đó, khi xử lý số liệu, chúng ta cần có kỹ thuật để loại bỏ các yếu tố này.
Ước lượng hàm sản xuất sẽ thu được các giá trị ước lượng và , đây là các giá trị ước lượng của độ co giãn của sản lượng theo vốn và lao động. Các giá trị sản phẩm cận biên ước lượng tương ứng là . Theo lý thuyết kinh tế đã chứng minh, các giá trị là dương và giảm dần, thì các giá trị ước lượng và phải có giá trị là dương nhưng nhỏ hơn 1. Do đó, trong lý thuyết thống kê, để kiểm định các giá trị α và β trong hàm sản xuất có giá trị dương và nhỏ hơn 1 thì chúng ta phải sử dụng thống kê t.
Hệ số phương trình của hàm sản xuất là:
Ước lượng tương ứng là . Giá trị này cho biết về hàm sản xuất có hiệu suất kinh tế tăng, giảm hay không đổi theo quy mô.
Theo lý thuyết kinh tế đã chứng minh, với hàm sản xuất là hàm Cobb - Douglas: - Nếu α + β > 1 thì hàm sản xuất thể hiện hiệu suất tăng theo quy mô.
- Nếu α + β < 1 thì hàm sản xuất thể hiện hiệu suất giảm theo quy mô. - Nếu α + β = 1 thì hàm sản xuất thể hiện hiệu suất không đổi theo quy mô.
Mặc dù, giá trị ước lượng của và trong mô hình có thể cho chúng ta biết hiệu suất mà hàm sản xuất thể hiện nằm trong trường hợp nào nhưng chúng ta phải kiểm định xem thực sự nó có đúng với giá trị ước lượng với một mức ý nghĩa nhất định nào đó hay không. Do đó chúng ta sẽ phải kiểm định ràng buộc các hệ số và trong mô hình để biết hàm sản xuất có thực sự là thể hiện hiệu suất không đổi theo quy mô hay không. Chúng ta sử dụng kiểm định ràng buộc các hệ số α và β trong mô hình.
Giả thiết: α + β = 1
Với kiểm định t có thống kê =
Độ lệch chuẩn được ước lượng của là
Tuy nhiên, việc ước lượng các hàm số hiện nay được hỗ trợ nhiều từ các công cụ kinh tế lượng. Do đó, chúng ta có thể không cần tính toán thủ công các giá trị trên mà thực hiện kiểm định ngay trên các công cụ và thu được kết quả nhanh thông qua giá trị xác suất P tương ứng với kiểm định. Trong phần mềm Eviews, việc kiểm định liên quan đến các hệ số của hàm được thực hiện bằng kiểm định Wald. Với mô hình hồi quy tuyến tính, kiểm định Wald tương đương với kiểm định t một ràng buộc và kiểm định F cho kiểm định nhiều ràng buộc.