Quan hệ Parseval:
Ta xác định mối quan hệ giữa Ex và X(ω)
Ta cĩ :
Hốn đổi vị trí tổng và tích phân :
Ta cĩ mối quan hệ giữa x(n) và X(ω) là :
(3.87)
Phương trình (3.87) là quan hệ Parseval cho tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn
cĩ năng lượng hữu hạn.
Phổ biên độ - Phổ pha - Phổ mật độ năng lượng:
Nĩi chung, X(ω) là một hàm phức của tần số. Vì vậy ta cĩ thể biểu diễn bởi
một đại lượng phasor.
(3.88)
Trong đĩ :là phổ biên độ và q(w) = ÐX(w) là phổ pha.
Sxx(w) = (3.89)
biểu diễn sự phân bố năng lượng theo tần số được gọi là phổ mật độ năng
lượng của x(n). Rõ ràng, Sxx(ω) khơng chứa thơng tin về pha. Đặc biệt, nếu x(n) là tín hiệu thực thì :
X*(w) = X(-w) (3.90)
hay (đối xứng chẵn) (3.91)
và : ÐX(-w) = -ÐX(w) (đối xứng lẻ) (3.92)
Từ pt(3.89) ta cũng cĩ :
Sxx(-w) = Sxx(w) (đối xứng chẵn) (3.93)
Do tín đối xứng ta chỉ cần khảo sát tính hiệu rời rạc trong dải tần 0 ££.
Ví dụ 3.5
Xác định và vẽ phổ mật độ năng lượng Sxx(ω) của tín hiệu :
x(n) = anu(n) với -1 < a < 1, cụ thể : a = 0,5 và a = -0,5
Giải :
Biến đổi Z của x(n) là: X(z) = , với ROC : êzï> êạ (3.94)
Vì |a|< 1 nên ROC của X(z) chứa vịng trịn đơn vị, vì vậy biến đổi Fourier tồn tại. Ta thay z = ejωđể cĩ được biến đổi Fourier của x(n), đĩ là :
(3.95)
Mật độ phổ năng lượng :
Ta thấy Sxx(-ω) = Sxx(ω), phù hợp với pt(3.93).
Hình 3.12 vẽ tín hiệu x(n) và phổ tương ứng với a = 0,5 và a = -0,5. Ta thấy
với a=-0,5 tín hiệu biến đổi nh../Anh hơn và kết quả là phổ của nĩ tập trung ở vùng tần số cao.
Ví dụ 3.6:
Xác định tín hiệu x(n), biết rằng phổ của nĩ là :
(3.97)
Giải :
Từ pt(3.83) ta cĩ :
Khi n = 0, ta cĩ :
Cặp biến đổi Fourier được minh họa trong hình 3.13. Ta thấy, x(n) là một tín hiệu cĩ năng lượng hữu hạn và Ex =.
Ví dụ 3.7 :
Xác định biến đổi Fourier và phổ mật độ năng lượng của dãy
(3.99)
Đồ thị của tín hiệu này được vẽ trong hình 3.14
Giải : Tín hiệu đã cho là tín hiệu khả tổng tuyệt đối thật vậy :
Biến đổi Fourier của tín hiệu cĩ thể được tính như sau :
Cho ω = 0, ta cĩ X(0) = AL (dùng qui tắc L’Hospital)
Phổ biên độ của x(n) là : (3.101)
và (3.102)
Ta nhớ rằng, pha của một số thực là 0 nếu đĩ là một số thực dương và là (nếu đĩ là số thực âm.
Hình 3.15 trình bày phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu (3.99) với A = 1 và
L=5 phổ mật độ năng lượng chỉ là bình phương của phổ biên độ.
Nhận xét :
w = wk = , k = 0,1, ... N-1
Ta cĩ :
So sánh với chuỗi Fourier, pt(3.78) dãy hệ số của chuỗi xung chữ nhật tuần hồn ở ví dụ 3.4 ta thấy rằng : X() = NXp(k), k = 0, 1, ... N-1
Ở đây ta đã xét một tín hiệu xung chữ nhật bằng với một chu kỳ của chuỗi xung chữ nhật tuần hồn cĩ chu kỳ N. Giá trị của biến đổi Fourier ở các tần số w = , k = 0,1, ... N-1 chính là tích của chu lỳ N với các hệ số của chuỗi Fourier
{Xp(k)} ở các hài tương ứng. Hay nĩi ngược lại các hệ số Xp(k) của chuỗi Fourier bằng với mẫu thứ k của biến đổi Fourier X(ω)(được lấy mẫu đều với chu kỳ lấy mẫu l nhân cho N).