MIỀN TẦN SỐ
TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁ T:
Tín hiệu vào là một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu sin cĩ dạng như sau :
Trong đĩ : Ai và fi là các biên độ và pha của thành phần hình sin cĩ tần số ωi Đáp ứng của hệ thống là :
Rõ ràng, tùy thuộc vào đáp ứng tần số H(ω) của hệ thống, các tín hiệu hình sin cĩ tần số khác nhau sẽ bị tác động một các khác nhau bởi hệ thống. Ví dụ : Một số thành phần tần số hình sin cĩ thể bị nén hồn tồn, nếu H(ω) = 0 ở các thành phần tần số này. Các thành phần tần số khác cĩ thể thu được ở ngã ra mà khơng bị làm suy giảm (hay cĩ thể được khuếch đại) bởi hệ thống. Về mặt tác dụng, ta cĩ thể coi hệ thống LTI như một mạch lọc đối với các thành phần hình sin cĩ tần số khác nhau. Bài tốn thiết kế các mạch lọc số cơ bản bao gồm việc xác định các tham số của hệ thống LTI để thu được đáp ứng tần số H(ω) mong muốn.
4.1.2. ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ VÀ ĐÁP ỨNG XÁC LẬP VỚI TÍN HIỆU VÀO HÌNH
SIN
Trong các phần trước, ta đã xác định đáp ứng của một hệ thống LTI với tín hiệu vào là tín hiệu hàm mũ phức hoặc tín hiệu sin mà nĩ đã được đưa vào hệ thống ở thời đểm rất lâu trước đĩ (n = -∞). Ta thường gọi các tín hiệu này là các tín hiệu hàm mũ hay sin thường xuyên (eternal). Trong trường hợp này, đáp ứng mà chúng ta khảo sát ở ngã ra của hệ thống là đáp ứng xác lập. Khơng cĩ đáp ứng quá độ
trong trường hợp này.
Ngược lại, nếu tín hiệu sin hay hàm mũ phức được cung cấp ở một thời điểm xác định nào đĩ, gọi là thời điểm n = 0, đáp ứng của hệ thống bao gồm 2 thành phần, đáp ứng quá độ và đáp ứng xác lập.
Để chỉ rõ các đáp ứng này, ta xét một hệ thống được mơ tả bởi một phương trình
sai phân bậc nhất (như là một ví dụ):
y(n) = ay(n - 1) + x(n), a là một hằng số. (4.17)
Tín hiệu vào được cung cấp ở thời điểm n = 0. Ta sẽ dùng thủ tục đệ qui tiến để
xác định đáp ứng y(n) và thu được :
Với y(-1) là điều kiện đầu.
Bây giờ, ta giả sử tín hiệu vào là hàm mũ phức :
x(n) = Aejwn ; n ³ 0 (4.19)
Thay vào pt(4.18), ta được :
Ta cũng đã biết rằng, hệ thống ổn định nếu |a| < 1. Trong trường hợp này, hai số hạng cĩ chứa an+1 sẽ giảm về 0 khi n ®¥
Kết quả, ta tách ra được đáp ứng xác lập (ký hiệu yxl )
với n ≥ 0
Ta thấy yqd ® 0 khi n ®¥
Số hạng đầu tiên trong đáp ứng quá độ (4.21) là đáp ứng tín hiệu vào bằng khơng (zero - input response) của hệ thống, số hạng thứ hai là đáp ứng quá độ được sinh ra bởi tín hiệu vào hàm mũ.
4.1.3. ĐÁP ỨNG XÁC LẬP VỚI TÍN HIỆU VÀO TUẦN HỒN
Giả sử tín hiệu vào x(n) là một tín hiệu tuần hồn cĩ chu kỳ cơ bản là N và hệ thống LTI cĩ tính ổn định. Vì tín hiệu tồn tại với thời gian -∞ < n < ∞. Đáp ứng tổng của hệ thống ở một thời điểm n bất kỳ bằng với đáp ứng xác lập.
Để xác định đáp ứng y(n) của hệ thống ta sử dụng chuỗi Fourier của tín hiệu tuần
Trong đĩ : là các hệ số của chuỗi Fourier. Ta xét tín hiệu vào cĩ dạng hàm mũ phức:
Áp dụng tính chất tuyến tính của hệ thống LTI, ta thu được đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu tuần hồn x(n)
Kết quả này hàm ý rằng đáp ứng của hệ thống với tín hiệu tuần hồn x(n) cũng tuần hồn với cùng chu kỳ N. Các hệ số chuỗi Fourier của y(n) là :
Ta thấy, hệ thống LTI cĩ thể làm thay đổi dạng sĩng của tín hiệu vào tuần hồn thơng qua việc thay đổi thang biên độ và sự dịch pha của các thành phần tần số trong chuỗi Fourier nhưng khơng ảnh hưởng đến chu kỳ (hay tần số) của tín hiệu
vào.