4. Tính chất đối xứng
3.6.3.1. Phép dịch vịng và tính đối xứng vịng của một dãy:
Như ta đã biết, DFT- N điểm của một dãy x(n) cĩ chiều dài hữu hạn L, với L≤N, tương đương với DFT – N điểm của dãy tuần hồn xp(n), chu kỳ N, mà nĩ được thành lập bằng cách xếp tuần hồn dãy x(n) với chu kỳ N theo pt(3.196). Bây giờ, giả sử xp(n) được dịch phải k mẫu, dãy tuần hồn thu được sẽ là:
(3.201)
Vì ta vẫn khảo sát tín hiệu trong khoảng 0 ≤ n ≤ N – 1, nên dãy cĩ chiều dài hữu hạn tương ứng là:
Định nghĩa phép dịch vịng: dịch vịng chỉ số modulo N (ta sẽ gọi tắt là dịch
vịng modulo N) một dãy x(n) cĩ chiều dài hữu hạn L, với L ≤ N là phép dịch mà
theo đĩ các mẫu ra khỏi khoảng [0,N-1] sẽ quay vịng lại đầu kia.
Nếu x|(n) là tín hiệu thu được trong phép dịch vịng k mẫu modulo N của dãy x(n) , ta ký hiệu:
x|(n) = x(n – k,(mod N)) (3.203)
Ví dụ: nếu k = 2 và N = 4, ta cĩ:
x|(n) = x(n – 2,(mod 4))
x|(1) = x( – 1,(mod 4)) = x(3) x|(2) = x( 0 , (mod 4)) = x(0) x|(3) = x( 1 , (mod 4)) = x(1)
Một cách hình ảnh, ta cĩ thể coi phép dịch vịng như là các mẫu thu được trong một cửa sổ cĩ chiều dài N đứng yên khi dãy tuần hồn xp(n) được dịch ngang qua cửa sổ này.
Thay vì biểu diễn N mẫu, từ 0 đến N – 1, dọc theo một trục nằm ngang, để thuận tiện ta xếp chúng trên một vịng trịn và chọn một chiều dương. Ở đây, ta
chọn chiều dương là ngược chiều kim đồng hồ. Các mẫu của dãy x(n) (hay x|(n)) và giá trị của chúng được ghi bên cạnh các điểm tương ứng (Hình 3.28). Ta thấy, nếu giữ cố định các điểm và quay tập các giá trị k mẫu (theo chiều dương khi k>0, ngược chiều dương khi k<0) ta thu được dãy x|(n) trong phép dịch vịng k mẫu
modulo N.
Từ việc sắp xếp một dãy cĩ chiều dài hữu hạn theo N điểm trên vịng trịn, ta
cĩ các định nghĩa khác về sự đối xứng chẳn, đối xứng lẻ và đảo thời gian của một
dãy.
§ Một dãy N điểm được gọi là chẵn nếu nĩ đối xứng xung qu../Anh điểm
khơng trên vịng trịn. Điều này cĩ nghĩa là:
x(N – n) = x(n) với 0 ≤ n ≤ N-1 (3.204) § Một dãy N điểm được gọi là lẻ nếu nĩ phản đối xứng xung qu../Anh điểm
§ Đảo thời gian của một dãy N điểm là một dãy thu được bằng cách nghịch đảo các mẫu xung qu../Anh điểm khơng trên vịng trịn. Nếu ta ký hiệu dãy đảo thời gian chỉ số modulo N là x(-n,(mod N)), thì định nghĩa này hàm ý rằng:
x(– n, (mod N)) = x(N - n) với 0 ≤ n ≤ N-1 (3.206)
Phép đảo thời gian tương đương với việc xếp x(n) theo ngược chiều kim đồng
hồ trên vịng trịn (Hình 3.29.(b)).