MIỀN TẦN SỐ
4.2.2. TÍNH HÀM ĐÁP ỨNG TẦN SỐ
Nếu đáp ứng xung h(n) của hệ thống LTI đã được biết, hàm đáp ứng tần số H(ω) được tính từ cơng thức biến đổi Fourier
Nếu hệ thống được mơ tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số bằng :
H(ω) thu được bằng cách tính H(z) trên vịng trịn đơn vị :
Đặc biệt đối với hệ thống thuần zero (FIR) nghĩa là ak = 0, k = 1,2, ... N thì H(ω)
cĩ dạng :
Điều này phù hợp với hệ thống FIR đã đề cập ở chương 1, cĩ đáp ứng xung là:
Nếu hệ thống thuần cực hay thuần đệ qui nghĩa là bk = 0, k = 1,2, ..., M; H(ω) cĩ
dạng :
Nếu hệ thống là hệ cực - zero, được mơ tả bởi phương trình sai phân (4.36). Hàm
truyền đạt H(z) cĩ thể viết dưới dạng tích :
Trong đĩ z1, z2 ... zM là M zero khác khơng của H(z) và p1, p2, ... pN là N cực
khác khơng của H(z). G là một hằng số.
Hàm đáp ứng tần số H(ω) cĩ được bằng cách tính H(z) trên vịng trịn đơn vị (thay
z = ejω). Ta cĩ :
(vì biên độ của ejω(N-M) = 1)
Pha của H(ω) là tổng pha của các thừa số ở tử số trừ cho tổng pha của các thừa số
ở mẫu số cộng cho pha của G và cộng ω (N - M). Ta cĩ :
ÐH(w) = ÐG + w(N - M) + q1(w) + q2(w) +
... + qM(w) - [f1(w) + f2(w) + ... + fN(w)] (4.49)
Trong đĩ, pha của G là 0 khi G dương và là π khi G âm.
Rõ ràng, khi biết được các cực và zero của hàm hệ thống H(z), ta cĩ thể tính đáp ứng tần số từ các pt(4.48) vàpt(4.49), cách tính này rõ ràng là khá phức tạp, nhưng
nĩ thuận lợi khi tìm thuật tốn cho một chương trình máy tính.
Hình 4.4 trình bày cách biểu diễn tương đương của các hệ thống mắc song song và mắc liên tiếp trong miền thời gian và miền tần số.
Ví dụ 4.7 : Lọc Hanning
Xác định và vẽ đồ thị đáp ứng biên độ, đáp ứng pha của hệ thống FIR được đặc tả bởi phương trình sai phân (hệ thống trung bình di động).
Giải :
Hình 4.5 vẽ đồ thị của đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ thống này. Ta thấy
Đáp ứng biên độ bằng 1 ở ω = 0 (dc) và suy giảm đến 0, ở ω =π. Đáp ứng pha của nĩ là một hàm tuyến tính theo tần số. Bộ lọc đơn giản này được dùng để ‘làm trơn’
(smooth) dữ liệu trong nhiều ứng dụng.