MIỀN TẦN SỐ
4.1.1.3. Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha
Nĩi chung, H(w) là một hàm cĩ giá trị phức của biến tần số. Vì vậy nĩ cĩ thể biểu
diễn dưới dạng cực :
H(w) = êH(w)ïejq(w) (4.12)
Trong đĩ |H(w)| là biên độ và pha, q=Ð H(w) là sự dịch pha được truyền vào tín
hiệu vào ở tần số w.
Để làm nổi các múi bên (sidelobes) hay các gợn sĩng (ripples) trên đặc tuyến biên độ, người ta dùng giai logarit hay decibel (dB) cho trục biên độ, cịn trục tần số vẫn theo giai số tuyến tính. Biên độ theo dB được định nghĩa như sau :
êH(w)ïdB = 20log10êH(w)ï
Nhận xét:
(1) H(w) là một hàm tuần hồn với chu kỳ là 2p. Đây là một tính chất quan trọng
của H(w).
Thậy vậy, từ định nghĩa (4.6) với một số nguyên m bất kỳ ta cĩ :
H(w + 2pm) = H(w)
(2) Từ cơng thức biến đổi Fourier ngược ta cĩ :
(3) Vì H(w) là biến đổi Fourier của ‘tín hiệu’ rời rạc h(n) nên nĩ thỏa mãn các tính chất của biến đổi Fourier đã trình bày trong chương 3.
(4) Vì H(w) là biến đổi Z của h(n) với z trên vịng trịn đơn vị nên các phương
trình của H(z) cũng cĩ thể áp dụng cho H(w), nếu miền hội tụ của H(z) chứa vịng
trịn đơn vị (hệ thống ổn định) và thay z = eJw.
Ví dụ 4.2 :
Hãy xác định biên độ và pha của H(w) cho một hệ thống trung bình di động ba
điểm được biểu diễn bởi quan hệ vào ra như sau :
Và vẽ đồ thị của 2 hàm này với 0 £w£p.
Giải :
Đáp ứng xung của hệ thống là :
Đáp ứng tần số (sử dụng tính chất dịch trong miền thời gian)
Kết quả :
Hình 4.1 vẽ giản đồ biên độ và pha của H(w), ta thấy |H(w)| đối xứng chẵn và
q(w)đối xứng lẻ. Rõ ràng, từ đặc tuyến đáp ứng tần số H(w) ta thấy hệ thống trung
bình động ba điểm này là một mạch lọc làm trơn (smooth) tín hiệu vào, điều này
cũng cĩ thể hiện trong quan hệ vào ra. Nĩi chung các hệ thống trung bình di động là các mạch lọc làm trơn.
đối với tín hiệu vào hình sin cĩ dạng giống như đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào là hàm mũ phức.
Thậy vậy, nếu tín hiệu vào là : x1(n) = Aejwn
Tín hiệu ra là : y1(n) = AêH(w)ïejq(w)ejwn Nếu tín hiệu vào là : x2(n) = Ae-jwn
Trong biểu thức của y2(n), ta đã dùng tính chất đối xứng |H(ω)|= |H(-ω)| và q(w) = - q(-w). Áp dụng tính chất tuyến tính Thì đáp ứng của hệ thống là : = AêH(w)ïcos [wn + q (w)] (4.14) = AêH(w)ïsin [wn + q (w)] (4.15) Nhận xét :
- Từ các kết quả trên ta thấy đối với hệ thống LTI, tín hiệu vào là tín hiệu sin thì tín hiệu ra cũng là tín hiệu sin cĩ cùng tần số, chỉ thay biên độ và pha.
- Đáp ứng tần số H(ω), tương đương với nĩ là đáp ứng biên độ |H(ω)|và đáp ứng
phaθ (ω), đặc trưng một cách đầy đủ cho tác dụng của hệ thống với tín hiệu vào hình sin cĩ tần số bất kỳ.
Ví dụ 4.3 :
Hãy xác định đáp ứng của hệ thống trong ví dụ 4.1 với tín hiệu vào là :
Giải :
Đáp ứng tần số của hệ thống đã được cho trong phương trình (4.10)
Số hạng thứ hai trong x(n) cĩ tần số , 2 0 6 , 26 2 2 ) 2 ( e j H -
Vậy đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào x(n) là :
Ví dụ 4.4 :
Một hệ thống LTI được mơ tả bởi phương trình sai phân như sau :
y(n) = ay(n-1) + bx(n), 0 < a < 1
(a) Xác định biên độ và pha của đáp ứng tần số của hệ thống.
(b) Chọn tham số b sao cho giá trị cực đại của |H(ω)| là đơn vị, vẽ đồ thị |H(ω)| và
Ð H(ω) với a = 0,9.
(c) Xác định đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào là :
Giải :
Đáp ứng xung của hệ thống là :
h(n) = ban u(n)
Vì |a|< 1, nên hệ thống là BIBO, vì vậy H(ω) tồn tại
(b) Vì tham số a là dương, mẫu số của |H(ω)| cựa tiểu khi ω = 0. Vậy |H(ω)| sẽ cựa đại tại ω = 0. Ở tần số này ta cĩ :
Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha được vẽ trong hình 4.2. Ta thấy, đây là hệ thống làm suy giảm tín hiệu ở tần số cao.
q (p) = 0