MIỀN TẦN SỐ
4.2.1. QUAN HỆ VÀO RA TRONG MIỀN TẦN SỐ
Xét một hệ thống LTI cĩ đáp ứng xung h(n) được kích thích bởi tín hiệu cĩ năng
Pt(4.27) chính là quan hệ vào - ra trong miền tần số. Theo đĩ, phổ của tín hiệu ra bằng phổ của tín hiệu vào nhân với đáp ứng tần số của hệ thống.
Quan hệ này cĩ thể được viết được dưới dạng cực :
Kết quả, biên độ và pha của Y(ω) là :
ïY(w)ï=ïH(w)ïïX(w)ï (4.29)
và ÐY(w) = ÐX(w) + ÐH(w) (4.30)
hay qy(w) = qx(w) + qh(w) (4.31)
Về bản chất, tín hiệu khơng tuần hồn cĩ năng lượng hữu hạn cĩ phổ bao gồm một dải tần liên tục. Hệ thống LTI thơng qua hàm đáp ứng tần số của nĩ, làm suy giảm một số thành phần tần số nào đĩ của tín hiệu vào đồng thời cĩ thể khuếch đại các thành phần tần số khác. Đồ thị của |H(ω)| cĩ thể cho ta biết được các vùng tần số này. Mặt khác, gĩc pha của H(ω) xác định sự dịch pha của tín hiệu vào khi đi qua
hệ thống như một hàm của tần số.
Ta thấy, tín hiệu ra của một hệ thống LTI khơng chứa các thành phần tầnsố mà nĩ khơng cĩ trong tín hiệu vào. Nghĩa là, hệ thống khơng sinh ra các thành phần tần số mới (hệ thống biến đổi theo thời gian hoặc phi tuyến tính sẽ sinh ra các thành phần tần số khơng chứa trong tín hiệu vào)
Hình 4.3 minh họa một hệ thống LTI ổn định (BIBO)-nghỉ với các phương pháp
phân tích trong miền thời gian và miền tần số. Ta thấy, phân tích trong miền thời
gian xử lý bằng tổng chập giữa tín hiệu vào và đáp ứng xung để thu được đáp ứng của hệ thống trong miền thời gian, ngược lại, phân tích trong miền tần số, ta sẽ xử lý phổ X(ω) của tín hiệu và đáp ứng tần số H(ω) thơng qua phép nhân để thu được phổ của tín hiệu ở ngã ra của hệ thống. Một cách tương đương, ta cĩ thể dùng biến đổi Z của tín hiệu vào X(z) và hàm truyền đạt H(z) để thu được biến đổi Z của tín hiệu ra Y(z) và tìm đáp ứng y(n) qua biến đổi Z ngược.
Trở lại quan hệ (4.27), giả sử rằng ta đã cĩ Y(ω), ta sẽ tìm biểu thức của tín hiệu ra trong miền thời gian bằng biến đổ Fourier ngược.
Ở đây Syy(ω) và Sxx(ω) lần lượt là phổ mật độ năng lượng của y(n) và x(n) ta cĩ quan hệ Parseral cho năng lượng của tín hiệu ra, đĩ là :
Ví dụ 4.6 :
Cho một hệ thống LTI được đặc tả bởi đáp ứng xung :
Xác định phổ và phổ mật độ năng lượng của tín hiệu ra, khi hệ thống được kích thích bởi tín hiệu :