4. Tính chất đối xứng
3.6 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT DISCRETE FOURIER TRANFORM)
Trong phần trước, ta đã trình bày về sự lấy mẫu trong miền tần số của một tín hiệu cĩ năng lượng hữu hạn khơng tuần hồn. Nĩi chung, các mẫu X() của biến đổi Fourier X(ω), với k = 0,1, ... N-1 khơng đặc trưng cho sự duy nhất của dãy x(n) khi x(n) là một dãy cĩ độ dài vơ hạn. Thay vào đĩ, các mẫu tần số X() này lại
tương ứng với một dãy tuần hồn xp(n) cĩ chu kỳ N. Ở đây, xp(n) là dãy được tạo ra từ sự xếp chồng tuần tuần của x(n). Như đã được xác định bởi phương trình
(3.154) đĩ là :
(3.164)
Khi x(n) cĩ chiều dài hữu hạn L ≤ N thì xp(n) chính là sự lặp lại tuần hồn của x(n), trong một chu kỳ xp(n) được xác định bởi :
(3.165)
Ngược lại, dãy x(n) cĩ thể được khơi phục lại từ xp(n) bằng cách cắt lấy một chu kỳ của xp(n) nghĩa là :
Cần khẳng định lại rằng x(n) chỉ cĩ thể khơi phục lại từ xp(n) khi L ≤ N và lúc
này ta coi như x(n) cĩ độ dài N bằng cách thêm vào các mẫu cĩ giá trị 0 ở các thời
điểm L ≤ n ≤ N-1. Khi đĩ, trong miền tần số các mẫu của X(ω) là X(), với k = 0,1, ... N-1, biểu diễn một cách duy nhất dãy cĩ độ dài hữu hạn x(n).
Ta cĩ thể được khơi phục X(ω) từ các
mẫu bằng cơng thức nội suy (3.163).
Tĩm lại, một dãy x(n) cĩ độ dài hữu hạn cĩ biến đổi Fourier là :
Khi ta lấy mẫu X(ω) tại những tần số cách đều nhau ωk =,
với k = 0,1,... N-1 với N ≤ L ta được :
(3.168)
Để thuận tiện, chỉ số trên của tổng cĩ thể được tăng lên từ L-1 đến N-1,
vì x(n)=0, khi n ³ L.
Ta cĩ : (3.169)
Quan hệ (3.169) là cơng thức biến đổi một dãy {x(n)} cĩ độ dài L ≤ N trong miền thời gian thành dãy {X(K)} cĩ độ dài N trong miền tần số. Vì các mẫu tần số
này thu được bằng cách tính biến đổi Fourier X(ω) ở một tập N tần số rời rạc
(cách đều nhau), nên quan hệ (3.169) được gọi là biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
của x(n). Ngược lại, quan hệ (3.158) cho phép ta khơi phục x(n) từ các mẫu tần số
X(K)
(3.170)
Pt(3.180) được gọi là biến đổi Fourier rời rạc ngược (IDFT: Inverse DFT). Khi
x(n) cĩ chiều dài L < N, IDFT N điểm sẽ cho kết quả x(n)=0 với L≤n≤N-1. Như
vậy, ta cĩ cặp cơng thức biến đổi DFT như sau :
Ví dụ 3.11 :
Xét một dãy cĩ chiều dài hữu hạn L được định nghĩa như sau :
Xác định DFT N điểm của dãy này với N ≥ L
Giải :
Biến đổi Fourier của dãy này là :
Biên độ và pha của X(ω) được vẽ trong hình 3.25 với L = 10. DFT N điểm của
x(n) đơn giản là giá trị của X(ω) tại tập N tần số ωk =, k = 0,1, ..N-1 , vậy :
Nếu N được chọn sao cho N = L, thì DFT trở thành :
Ta thấy, trong trường hợp này chỉ cĩ một giá trị khác 0 trong DFT. Ta cĩ thể kiểm tra lại rằng x(n) cĩ thể được khơi phục từ X(K) bằng cách thực hiện biến đổi
IDFT L điểm.
Mặc dù DFT L điểm đủ để đặc trưng một cách duy nhất cho dãy x(n) trong miền tần số, nhưng rõ ràng nĩ khơng cung cấp đủ chi tiết để cĩ một hình ảnh tốt về đặc tính phổ của x(n). Nếu muốn cĩ một hình ảnh tốt hơn, ta phải ước lượng X(ω) ở các tần số cĩ khoảng cách gần nhau hơn, nghĩa là ωk = , với N > L. Ta thấy cách tính này tương đương với sự kéo dài chiều dài của dãy x(n) bằng cách thêm vào N - L mẫu cĩ giá trị bằng 0.
Hình 2.26 vẽ đồ thị của DFT N điểm, biên độ và pha với L = 10, N = 50 và N = 100. Ta thấy đặc tính phổ của dãy rõ ràng hơn.
Hình 3.26a Biên độ và pha của DFT N điểm trong ví dụ 3.11 với L=10 và
Hình 3.26 b : Biên độ và pha của DFT N điểm trong ví dụ 3.11 với L=10 và N
=100
DFT và IDFT là các biến đổi tuyến tính trên các dãy {x(n)} và {X(K)}.
Để thấy được tính chất này ta định nghĩa một vectơ XN(n) của các mẫu tần số và một ma trận WN bậc N x N như sau :
Với các định nghĩa này DFT N điểm cĩ thể được biểu diễn dưới dạng ma trận
như sau : XN = WN xN (3.185)
Ở đây WN là một ma trận của sự biến đổi tuyến tính . Ta thấy WN là một ma trận đối xứng. Giả sử rằng nghịch đảo của WN tồn tại thì pt(3.185) cĩ thể viết lại
như sau :
(3.186)
Đây chính là biểu thức cho IDFT
Thực ra, IDFT chobởi phương trình (3.182) cĩ thể biểu diễn dưới dạng ma trận :
(3.187)
Ở đây là ma trận liên hợp phức của WN . So sánh pt(3.187) và pt(3.156) ta
suy ra :
(3.188)
Pt(3.188) hàm ý rằng : WN = NIN
Với IN là ma trận đồng dạng (đơn vị) bậc N x N. Do đĩ ma trận WN là một ma trận trực giao. Hơn nữa ma trận đảo của nĩ tồn tại và bằng /N
DFT và IDFT đĩng vai trị rất quan trọng trong nhiều ứng dụng của xứ lý tín hiệu số như: phân tích phổ, ước lượng phổ mật độ cơng suất, phân tích tương
quan, lọc tuyến tính …Cĩ nhiều thuật tốn cĩ hiệu quả để tính DFT và IDFT một
cách nhanh chĩng và chính xác. Trong đĩ thuật tốn được sử dụng rộng rãi gọi là
biến đổi fourier nhanh (FFT : Fast Fourier Transform) (Tham khảo [11], [4], [7]).