6. Cấu trúc của luận văn
2.2.4. Biện pháp 4
Thiết kế câu hỏi, bài tập về những tình huống có chứa sai lầm trong giải PT, BPT, HPT và tổ chức học sinh phát hiện sai lầm, nguyên nhân và thực hiện khắc phục
2.2.4.1. Cơ sở khoa học và ý nghĩa
Trong học Toán, nói riêng là khi HS thực hiện các SLTH, có những khi các em gặp phải một số khó khăn, sai lầm cũng là việc bình thường.
“Sai lầm” theo Từ diển tiếng Việt ([35]) có nghĩa là “trái với yêu cầu khách quan hoặc với lẽ phải, dẫn đến hậu quả không hay”. Vậy sai lầm trong
toán học có nghĩa là gì? có khác với sai lầm chung không? Qua nghiên cứu cho thấy sai lầm phổ biến trong toán là trái với yêu cầu khách quan (yêu cầu của bài toán) hoặc lẽ phải (khái niệm, định lý, tiên đề, quy luật, quy tắc, phương pháp suy luận…) dẫn tới không đạt được yêu cầu của việc giải toán - nói riêng là trong SLTH. Những sai lầm này thường hay xảy ra đối với học sinh, đặc biệt là với những học sinh hiểu kiến thức không chặt chẽ.
Mặt khác, cũng cần phân biệt “sai lầm” với “sót”, có khi sót đi liền với sai (xét thiếu điều kiện xác định của PT, BPT, HPT dẫn đến giải sai), nhưng cũng có khi “sót” chỉ là thiếu, chưa đầy đủ tất cả các trường hợp, chưa thực hiện tổng hợp kết quả, rút gọn và trả lời kết quả, ...
Khó khăn được hiểu là những vướng mắc, trở ngại mà ta gặp phải khi giải quyết một vấn đề nào đó, với toán học khó khăn khi giải PT, BPT, HPT tương đối nhiều. Thông thường khó khăn trong giải PT, BPT, HPT xảy đến khi HS yếu về kiến thức có liên quan cần huy động; hoặc yếu về kỹ năng (tính toán, suy luận, ...); hoặc đôi khi là thiếu khả năng sáng tạo trong tìm tòi đường lối giải, ...
Biện pháp này nhằm giúp học sinh phát hiện những sai lầm thường gặp phải trong quá trình làm việc với PT, BPT, HPT. Tìm hiểu đúng nguyên nhân để đưa ra cách khắc phục, từđó giải được bài toán một cách đúng đắn, nhanh gọn, tối ưu.
Những sai lầm các em thường gặp phải khi làm việc với PT, BPT, HPT về nhiều mặt: Sai sót về kiến thức, yếu về kỹ năng lập luận, gặp sai lầm trong suy luận thiếu chặt chẽ, lôgic, ...
Trong đó, từ chỗ các em không hiểu, hiểu sai kiến thức, nhớ nhầm công thức, quy tắc ... dẫn đến khi giải PT, BPT, HPT không áp dụng được, hoặc áp dụng sai tính chất, công thức, quy tắc; gặp phải sai lầm trong SLTH ở từng bước giải quyết.
Có những em áp dụng sai phương pháp chứng minh bằng quy nạp khi bỏ bớt, xét thiếu một bước nào đó, hoặc đánh tráo giữa các bước với nhau, ... Điều đó cũng do HS yếu về tư duy lôgic và suy luận toán học.
Một sai lầm phổ biến ở HS là thực hiện các phép biến đổi không tương đương khi giải PT, BPT, HPT.
Phép biến đổi đồng nhất là phép biến không làm thay đổi giá trị của biểu thức. Trong giải phương trình, chỉ được phép dùng những phép biến đổi tương đương, nghĩa là không được làm thay đổi tập nghiệm của phương trình đó. Tuy nhiên, do nhiều nguyên nhân khác nhau mà HS nhiều khi thực hiện những biến đổi không tương đương: Hoặc là làm cho tập nghiệm của phương trình bị thu hẹp, hoặc là bị mở rộng, thậm chí vừa thu hẹp (mất nghiệm), vừa mở rộng (lấy cả những số không phải là nghiệm). Về mặt SLTH, đây chính là các em đã vi phạm vào những quy tắc suy luận lôgic.
Trong quá trình làm việc với PT, BPT, HPT, HS cần đến những suy luận toán học nhưng gặp phải khó khăn, sai lầm mà do nhiều nguyên nhân khác nhau dẫn đến suy luận sai hoặc bế tắc, có thể kểđến những tình trạng và nguyên nhân như sau:
• ••
• Không hiểu hoặc hiểu không đúng khái niệm, kí hiệu.
• ••
• Kỹ năng tính toán chưa thành thạo dẫn tới nhầm lẫn; Nhớ sai công thức, tính chất;
• ••
• Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất hoặc biến đổi PT làm thay đổi tập xác định của PT; • •• • Xét thiếu trường hợp; • ••
• Lập luận thiếu lôgic;
• ••
• Diễn đạt kém;
• ••
• Không hiểu hoặc hiểu sai đề toán
• ••
• Tư duy thuật toán của HS còn yếu.
• ••
• ••
• Khả năng lĩnh hội và tái hiện kiến thức còn hạn chế.
2.2.4.2. Cách thức thực hiện
Sưu tầm, thiết kế những tình huống có chứa sai lầm để HS được tiếp xúc và phát hiện, sửa chữa những sai lầm gặp phải khi làm việc với PT, BPT, HPT - đặc biệt là những sai sót thuộc về suy luận toán học.
Có thể thống kê một số khó khăn, sai lầm thường gặp khi HS giải PT, BPT, HPT như sau:
• ••
• Bỏ bước tuỳ ý trong quá trình chứng minh, thiếu các bước lập luận:
Trong quá trình chứng minh một bài toán, HS thường bỏ qua một vài bước một cách tùy ý, lướt qua quá trình SL, thiếu các bước lập luận, chỉ coi trọng đến tính toán, không tuân theo 3 giai đoạn lập luận chứng minh một bài toán đó là:
tiền đề, lập luận và kết luận. •
••
• Sai lầm về luận cứ không đúng thường là do HS không hiểu đúng địnhnghĩa, định lí, không nắm vững cấu trúc logic của định lí. Để khắc phục sai lầm này, GV đưa ra những phản ví dụđể HS nhận biết.
• ••
• Ngộ nhận, hiểu sai về các kết luận logic:
Căn cứ và tiến trình xây dựng câu hỏi, bài tập
• ••
• Căn cứ: Nội dung chủ đề PT, BPT, HPT ở Đại số 10; đặc điểm đối tượng HS; khả năng chuyên môn và trình độ sư phạm của GV; SGK và tài liệu tham khảo; điều kiện phương tiện dạy học Toán ...
• ••
• Các bước:
Bước 1: Xác định dạng bài tập hoặc dạng cách giải bài tập để xác định chủ đề của một hay một số chủ đề có cơ hội tốt trong việc phát triển NL suy luận toán học cho HS. Trong đó tập trung vào việc lồng ghép những khó khăn, sai lầm thường gặp ở HS vào bài tập.
Bước 2: Khai thác, thiết kế các bài tập từ các nguồn tài liệu tham khảo khác nhau, trong đó có các tài liệu từ các cuộc thi toán quốc tếở bậc THPT. Đặc biệt là nghiên cứu sâu một số lời giải hay để tìm ra những điểm có thể gặp phải sai lầm ...
Bước 3: Giải các bài tập đã khai thác theo nhiều cách, chú ý đến những hướng giải dễ gặp phải sai lầm.
Bước 4: Biến đổi và sắp xếp các bài tập cho phù hợp với các định hướng đã trình bày ở phần trên thành các nhóm, hệ thống bài tập theo các định hướng đã xác định ở trên (mỗi hệ thống gồm 2 phần: phần các bài tập mẫu và phần bài tập tự luyện).
Bước 5: Khai thác sử dụng hợp lý hệ thống câu hỏi bài tập đã xây dựng.
Bước 6: Rút kinh nghiệm, điều chỉnh lại cả phần các bài tập mẫu và phần bài tập tự luyện (về cách giải, các lưu ý trong tư duy, lập luận của HS, trong cách gợi ý của GV, về sự chưa phù hợp nội dung, thứ tự,… của các bài tập).
2.2.4.3. Ví dụ minh họa
Trong quá trình biến đổi phương trình để tìm nghiệm, học sinh thường hay viết các dấu bằng liên tiếp mà không để ý đến bản chất, thậm chí hiểu sai dẫn đến giải sai PT, BPT, HPT.
Ví dụ 2.6:
Giải phương trình x2 – 5x + 6 = 0. Học sinh viết:
x2 – 5x + 6 = x2 – x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 2)(x – 3) = 0. Từ đó tìm được các nghiệm x = 2; x = 3.
Tuy nhiên GV cần phải lưu ý học sinh là các dấu “=” ở phương trình và đẳng thức có bản chất khác nhau:
Do khái niệm đẳng thức là: Hai biểu thức được nối với nhau bởi dấu “=”, nên có
những loại đẳng thức sau đây:
a) Đẳng thức số, gồm có 2 loại: Đẳng thức số sai, ví dụ “ 2= 1,4” và đẳng thức số đúng, chẳng hạn “15 = 3 ×××5”. ×
b) Đẳng thức chữ, gồm có 3 loại:
• Đẳng thức chữ luôn luôn sai, ví dụ: “a2 = – 1” (nếu xét a ∈∈∈∈R).
• Đẳng thức chữ luôn luôn đúng, ví dụ: “(a – b)2 = a2 – 2ab + b2”.
• Đẳng thức chữ khi đúng, khi sai, ví dụ: “y2 = 16” (đúng với y = ±4, còn với các giá trị khác của y đều là sai).
Trong khi đó, dấu “=” ở phương trình không đồng nhất với ý nghĩa là hai vế của nó luôn luôn bằng nhau! Nói cách khác, PT f(x) = g(x) chỉđặt ra vấn đề tìm giá trị của các ẩn để cho đẳng thức đó có thể trở thành đẳng thức sốđúng (tìm được thì PT có nghiệm, còn lại là vô nghiệm).
Ví dụ 2.7:
GV đưa ra tình huống và gợi ý để giúp học sinh phát hiện được sai lầm, tìm ra được nguyên nhân và khắc phục qua tình huống giải phương trình sau:
Giải phương trình sau trên R: 3 x−1+3 2x−1=3 x+1
Lời giải của HS:
Theo thói quen và con đường khá quen thuộc do GV thường dạy "Đối với phương trình vô tỷ thì PP chung là lũy thừa đểđưa về hữu tỷ" → thấy căn bậc ba → các em nghĩ đến việc lập phương 2 vế, được: Dùng biến đổi vô tỷ, hằng đẳng thức ... HS thu được 3x - 2 + 3. (3 x−1+3 2x−1) = x+1.
Đến đây, HS cũng theo thói quen và kinh nghiệm được GV khuyên: chuyển biểu thức chứa căn sang một vế, còn lại biểu thức không chứa căn → sau đó lại lũy thừa để hy vọng làm mất căn thức:
3. (3 x−1+3 2x−1) = 3 - 2x ⇔ 27 (3x 1− +32x 1− )3 = (3 - 2x)3
⇔ 27 [(x - 1) + 3.3x 1. 2x 1− 3 − (3x 1− +32x 1− ) + (2x – 1)] = (3 - 2x)3 ...
Đến đây, HS thấy khó khăn và lúng túng khi lại gặp phải biểu thức vế trái (3 x−1+3 2x−1) cần được làm mất căn thức! Muốn vậy, lại phải lập phương tiếp ... vòng quanh ... ngày càng phức tạp và không thể làm mất căn thức bằng cách đó ...
Có HS phát hiện được người ta cho phương trình ban đầu 3
3
3
3 x−1+ 2x−1bởi vế phải của phương trình ban đầu, tức là thay (3 x+1) vào để có 33 x 1. 2x 1− 3 − ( x 1)3 + = 3 – 2x ⇔ 27(x – 1)(2x – 1)(x+1) = (3 – 2x)3 ⇔ 62 3 7 2 x x 0 x 0 27 −3 = ⇔ = ⇔ x = 0 hoặc x = 63 62.
Nhờ cách làm này, HS biến đổi đểđược đưa về một phương trình hữu tỷ bậc 3 ..., rút gọn và phân tích về dạng tích được x2(x -
62 63
) = 0. Từđó giải được PT.
Khi đó, nhiều HS rất hứng thú, thỏa mãn ... bởi vì các em thấy rằng mình đã vượt qua khó khăn để tìm được nghiệm của phương trình đã cho.
Tuy nhiên, nếu thử lại 2 nghiệm vừa tìm được, ta thấy x = 0 không phải là nghiệm! Vì sao lại như vậy?
GV gợi ý, hướng dẫn HS phân tích, đánh giá lại từng bước giải PT. Các em đều nhận thấy từng bước không có gì sai. GV gợi ý việc thay thế vế trái bởi vế phải thì sao? Liệu có đúng hay không?
Trong trường hợp này, học sinh đã coi hai vế của một phương trình luôn luôn bằng nhau về giá trị (nhầm lẫn bản chất dấu “=” trong phương trình và trong hằng đẳng thức). Tức là không phải 3x 1− +32x 1− =3x 1+ luôn luôn đúng với mọi x ∈ R nên việc thay 3x 1− +32x 1− bởi 3x 1+ là sai (sẽ chỉ thay thế được khi hai biểu thức luôn luôn có giá trị bằng nhau). Do vậy, ở bước thứ hai trong quá trình trên, phép biến đổi là không tương đương, dẫn đến nghiệm ngoại lai x = 0 (!).
Chú ý rằng: Theo lý luận về giải phương trình, người ta có thể biến đổi từ phương trình này sang phương trình khác bằng cách sử dụng các phép biến đổi tương đương ...
Hai phép biến đổi cơ bản: cộng thêm và nhân thêm vào 2 vế ...
Tuy nhiên, cần phải thấy rằng, trước khi học về biến đổi tương đương phương trình ... HS đã được học về biến đổi biểu thức dựa trên cơ sở đồng nhất về giá trị của biểu thức → dẫn đến việc trong quá trình giải toán, nói riêng là
giải phương trình người ta có thể thay thế một biểu thức nào đó bởi biểu thức đồng nhất với nó. Trong khi ở đây HS đã thay thế một biểu thức bởi biểu thức khác chưa chắc chắn đã đồng nhất.
Ví dụ 2.8:
Khi chúng ta biến đổi tương đương một phương trình f = g ⇔ f+h = g+h thì người ta bảo rằng: phương trình sau tương đương với phương trình ban đầu bởi lẽ, ở đây cần chú ý rằng: Bất cứ phép biến đổi tương đương nào cũng cần đảm bảo:
+ Không làm thay đổi tập xác định (nơi chứa nghiệm nếu có) + Không làm thay đổi khả năng bằng nhau của tập giá trị
Vì vậy, cần lưu ý điều kiện của biểu thức h xác định ở đâu? Có ảnh hưởng gì đến tập xác định D của phương trình đã cho hay không?
Mặt khác: GV có thể dựa vào đặc điểm của biểu thức - phương trình (tập xác định và tập giá trị) đểđưa ra những phương trình giải bằng cách đặc biệt: Ta có thểđưa vào nội dung dạy học và kiểm tra tình huống sau đây
+ Phương trình ở dạng rất phức tạp, rất khó giải → giải rất đơn giản (miễn là tập xác định rỗng)
+ Phương trình ở dạng rất phức tạp, rất khó giải → giải rất đơn giản (miễn là tập giá trị của 2 vế không giao nhau; hoặc là chỉ giao nhau ở một vài giá trị của ẩn).
Khi hiểu bản chất về khái niệm, tập xác định, tập giá trị, tập hợp nghiệm của PT, BPT, HPT, HS có thể dùng những suy luận toán học khá đơn giản để giải quyết tình huống giải PT, BPT, HPT phức tạp, chẳng hạn như:
Ví dụ 2.9: Vận dụng sai phương pháp chứng minh quy nạp (tham khảo [57])
Học sinh chứng minh bất đẳng thức 2n > 2n + 1 đúng với mọi số tự nhiên n (khác 0) như sau:
Ta thấy rằng: Nếu bất đẳng thức đúng với n = k, tức là
2k > 2k + 1 thì 2k+1 > 2(2k + 1) = 4k + 2 > 2k + 3 = 2(k + 1) + 1.
Phân tích sai lầm: Do bất đẳng thức không đúng với n = 1 nên không có cơ sở quy nạp. Quá trình quy nạp vì thế cũng trở nên vô nghĩa.
Ví dụ 2.10: (tham khảo [57])
Sử dụng phủ định hàm mệnh đềđể chứng minh phản chứng hoặc giải bài toán “đối ngẫu”:
Đối với bất phương trình f(x) > g(x), ta có thể coi là hàm mệnh đề A(x): “giá trị của f(x) lớn hơn giá trị của g(x), x∈ D” thì phép toán phủ định đối với A(x) thu được một hàm mệnh đề A (x): “giá trị của f(x) không lớn hơn giá trị của g(x), x∈ D”, hay chính là bất phương trình f(x) ≤ g(x). Mà tập hợp nghiệm của nó (miền đúng củaA(x)) là phần bù của tập hợp nghiệm (miền đúng của A(x)) của bất phương trình ban đầu.
Do vậy, với bài toán tìm tham số m để một phương trình, bất phương trình có nghiệm ... thay vì ta phải xét khá nhiều trường hợp của m, ta có thể giải bài toán “Tìm những giá trị của m để phương trình ... vô nghiệm”.
Bài toán: Tìm tất cả các giá trị m để hệ bất phương trình có nghiệm: 2 2 2 3x 2x 1 0 (1) x 3m x 1 0 (2) + − < − + >
Giải: Gọi M, M1, M2 lần lượt là tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình đã cho, của (1), của (2). Khi đó: M = M1 ∩ M2. Bài toán trở thành: Tìm m ∈ R để M ≠∅. Giải từng bất phương trình ta có M1 = ( – 1; 3 1) và M2 = 2 1 2 ( ; ) 3m R \ 2 ( ; x ) (x , ) −∞ +∞ −∞ ∪ +∞ 2 1 2 ( ; ) 3m R \ 2 ( ; x ) (x , ) −∞ +∞ ∆ ∆ = −∞ ∪ +∞ ∆ nÕu < 0 nÕu 0 nÕu < 0 với ∆ = 9m4 – 4. Từđó M ≠ ∅ khi và chỉ khi: Hoặc ∆< 0; hoặc ∆> 0 và khi đó ta phải so sánh hai số (–1) và 3 1 với hai nghiệm x1, x2
của bất phương trình (2). Theo cách này, ta cần phải so sánh trong 5 trường hợp xảy ra. Do đó