Sự phân cấp vai theo thời gian dạng không hạn chế

Với x, y ∈ , R τ ⊆ T, <f> là một quan hệ phân cấp vai, nếu xảy ra x<f>y

trong khoảng thời gian τ thì xđợc gọi là vai cấp trên của yvà ngợc lại yđợc gọi là vai cấp dới của x đối với quan hệ <f> trong khoảng thời gian τ. Các định nghĩa do Joshi đa ra về sự phân cấp vai theo thời gian xét tại từng thời điểm [16], t ∈ T

đợc chúng tôi phát biểu lại với sự phân cấp vai trong khoảng thời gian . τ⊆ T

Định nghĩa 2.1: Cho x, y ∈ R τ, ⊆ T. Ta nói x có quan hệ phân cấp kế thừa giấy phép dạng không hạn chế trên y trong khoảng thời gian τvà viết là x≥≥≥≥≥τττττy, nếu thoả mãn điều kiện: ∀p∈P,∀t∈τ, can_be_acquired(p, y, t)→ can_be_acquired(p, x, t).

Định nghĩa 2.2: Cho x, y ∈ , R τ ⊆ T. Ta nói x có quan hệ phân cấp kế thừa kích hoạt dạng không hạn chế trên y trong khoảng thời gian τvà viết là x>>>>>•••••τττττy, nếu thoả mãn điều kiện sau: ∀u∈U, ∀t∈τ, can_activate(u, x, t) →can_activate(u, y, t).

Định nghĩa 2.3: Cho x, y ∈ , R τ ⊆ T. Ta nói x có quan hệ phân cấp kế thừa tổng quát dạng không hạn chế trên y trong khoảng thời gian τ vàviết là x≥≥≥≥≥•••••τττττy, nếu đồng thời xảy ra x≥≥≥≥≥τττττy vàx>>>>>•••••τττττy.

Trên một tập vai đã cho, có thể có các quan hệ kế thừa khác nhau. Một yêu cầu bắt buộc là tính nhất quán giữa các kiểu phân cấp vai: nếu hai vai trong tập vai này có quan hệ cấp trên - cấp dới trong một kiểu phân cấp thì không bị đảo ngợc quan hệ cấp trên-cấp dới trong các kiểu phân cấp khác. Ví dụ: Vai A là cấp trên của vai B trong quan hệ kế thừa giấy phép, thì vai không thể là cấp trên của vai AB trong quan hệ kế thừa kích hoạt Về. tính nhất quán giữa các kiểu phân cấp vai rong t một tập vai , nếu tồn tại đồng thời quan hệ R phân cấp kế thừa giấy phép kế thừa , kích hoạt không hạn chế trong khoảng thời gian , τ thì phải có điều kiện :

Phần dới đây sẽ làm rõ tính nhất quán giữa các kiểu phân cấp vai đã đợc Joshi đa ra trong [16] và sau đó chúng tôi chứng minh tính bắc cầu của các quan hệ phân cấp dạng không hạn chế.Để ngắn gọn, từ đây ta gọi các quan hệ phân cấp kế thừa giấy phép, kế thừa kích hoạt, kế thừa tổng quát dạng không hạn chế trong khoảng thời gian τtơng ứng là quan hệ≥≥≥≥≥τττττ, quan hệ >>>>>•••••τττττ , quan hệ ≥≥≥≥≥•••••τττττ .

Tính chất 2.1: Trên tập vai R có các kiểu phân cấp vai {≥≥≥≥≥τττττ, >>>>>•••••τττττ, ≥≥≥≥≥•••••τττττ} thoả mãn điều kiện (2.4). Xét <f>,<f–>∈≥≥≥≥≥{τττττ, >>>>>•••••τττττ, ≥≥≥≥≥•••••τττττ} mà <f>≠<f–>. Cho x, y ∈Rsao cho x<f>y. Thế thì điều kiện (y<f–>x) là đúng.ơ

Chứng minh:

Xét cặp bất kỳ <f>, <f–>∈{ ≥≥≥≥≥τττττ, >>>>>•••••τττττ, ≥≥≥≥≥•••••τττττ} mà <f>≠<f–>. Cho x, y ∈ R sao cho

x<f>y. Giả sử ngợc lại xảy ra y <f–>x. Ta xét các trờng hợp sau:

(i) Nếu <f> là quan hệ ≥≥≥≥≥•••••τττττ thì xảy ra 2 khả năng Hoặc : <f–> là quan hệ ≥≥≥≥≥τττττ

thì ta có: x≥≥≥≥≥•••••τττττy và y≥≥≥≥≥τττττx, nên x≥≥≥≥≥τττττy và y≥≥≥≥≥τττττx đều đúng (mâu thuẫn). Hoặc <f–> là quan hệ >>>>>•••••τττττ thì ta có: x≥≥≥≥≥•••••τττττy và y>>>>>•••••τττττx, nên x>>>>>•••••τττττy và y>>>>>•••••τττττxđều đúng (mâu thuẫn).

(ii) Nếu <f> là quan hệ >>>>>•••••τττττ thì xảy ra 2 khả năng Hoặc : <f–> là quan hệ ≥≥≥≥≥•••••τττττ

thì ta có: x>>>>>•••••τττττy và y≥≥≥≥≥•••••τττττx, nên x>>>>>•••••τττττy và y>>>>>•••••τττττx đều đúng (mâu thuẫn). Hoặc <f–> là quan hệ ≥≥≥≥≥τττττ thì ta có: x>>>>>•••••τττττy và y≥≥≥≥≥τττττxđều đúng trái với điều kiện , (2.4 ).

(iii) Nếu <f> là quan hệ ≥≥≥≥≥τττττ thì xảy ra 2 khả năng Hoặc : <f–> là quan hệ ≥≥≥≥≥•••••τττττ

thì ta có: x≥≥≥≥≥τττττy và y≥≥≥≥≥•••••τττττx, nên x≥≥≥≥≥τττττy và y≥≥≥≥≥τττττx đều đúng (mâu thuẫn). Hoặc <f–> là quan hệ >>>>>•••••τττττ thì ta có: x≥≥≥≥≥τττττy và y>>>>>•••••τττττxđều đúng trái với điều kiện (2.4), .

Vậy không thể xảy ra y <f–>x hay điều kiện (ơ y <f–>x) là đúng.

Định lý 2.4: Các quan hệ phân cấp dạng không hạn chế kế thừa giấy phép và kế thừa kích hoạt đều có tính bắc cầu.

Chứng minh:

Cho U R P, , tơng ứng biểu diễn tập ngời dùng, tập các vai, tập các giấy phép. là tập các thời điểm (0, T ∞).

(i) Xét quan hệ phân cấp kế thừa giấy phép dạng không hạn chế trên tập vai

R. Giả sử với x, ,y z ∈R và trong khoảng thời gian τ ⊆Txảy ra: ≥≥≥≥≥xτττττy y, ≥≥≥≥≥τττττz. Theo định nghĩa quan hệ ≥≥≥≥≥τττττ, ta có:

∀ ∈ ∀ ∈p P, t τ,can_be_acquired(p, y, t) can_be_acquired(p, x, t) →

∀ ∈ ∀ ∈p P, t τ,can_be_acquired(p, z, t) can_be_acquired(p, y, t) →

Suy ra: ∀ ∈ ∀ ∈p P, t τ, can_be_acquired(p, z, t) → can_be_acquired(p, x, t)

Thế thì: x≥≥≥≥≥τττττz. Vậy quan hệ phân cấp kế thừa giấy phép dạng không hạn chế có tính bắc cầu.

(ii) Xét quan hệ phân cấp kế thừa kích hoạt dạng không hạn chế trên tập vai

R. Giả sử với x, , y z ∈ Rvà trong khoảng thời gian τ⊆ Txảy ra: >>>>>x•••••τττττy y, >>>>>•••••τττττz. Theo định nghĩa quan hệ >>>>>•••••τττττ, ta có:

∀ ∈u U, t∀ ∈τ, can_activate(u, x, t) can_activate(u, y, t) →

∀ ∈u U, t∀ ∈τ, can_activate(u, y, t) →can_activate(u, z, t)

Suy ra: ∀ ∈u U, t∀ ∈τ, can_activate(u, x, t) can_activate(u, z, t) →

Thế thì: x>>>>>•••••τττττz. Vậy quan hệ phân cấp kế thừa kích hoạt dạng không hạn chế có tính bắc cầu.

Hệ quả 2.3: Quan hệ phân cấp kế thừa tổng quát dạng không hạn chế có tính bắc cầu.

Chứng minh: Xét quan hệ phân cấp kế thừa tổng quát dạng không hạn chế trên tập vai R. Giả sử x y z , , ∈ R và trong khoảng thời gian τ ⊆ T xảy ra: ≥≥≥≥≥x•••••τττττy và y≥≥≥≥≥•••••τττττz. Theo định nghĩa quan hệ ≥≥≥≥≥•••••τττττ, ta có: ((x≥≥≥≥≥τττττy)∧(x>>>>>•••••τττττy))∧((y≥≥≥≥≥τττττz)∧(y>>>>>•••••τττττz)). Vì toán tử

∧ có tính giao hoán và kết hợp nên ta đợc: ((x≥≥≥≥≥τττττy)∧(y≥≥≥≥≥τττττz))∧((x>>>>>•••••τττττy)∧(y>>>>>•••••τττττz)). Do tính bắc cầu của các quan hệ và •••••τττττ (Định lý 2.4) nên ta đợc (x z)∧(x •••••τττττz) hay x≥≥≥≥≥•••••τττττz. Vậy quan hệ≥≥≥≥≥•••••τττττ cótính bắc cầu.