Thời gian có tính chu kỳ đợc biểu diễn bằng một sự hình thức hoá tợng trng dễ hiểu đối với ngời dùng. Cụ thể thời gian chu kỳ đợc biểu diễn bằng cặp ([begin, end], P). Trong đó P là một biểu thức thời gian chu kỳ biểu thị một tập vô hạn các khoảng thời gian có tính chu kỳ. Còn [begin end, ] là một khoảng thời gian chứa tất cả các khoảng của . P
Sự hình thức hoá đối với các biểu thức thời gian chu kỳ dựa trên khái niệm về lịch. Lịch đợc xác định nh là một tập đếm đợc các khoảng thời gian kề nhau đợc đánh số tự nhiên gọi là chỉ số của các khoảng.
Một mối quan hệ lịch con có thể đợc thiết lập giữa các lịch. Cho hai lịch C1 và C2, lịch C1 đợc gọi là lịch con của C2 (viết là C1 ⊆C2), nếu mỗi khoảng của C2
đợc phủ đúng bởi một số xác định các khoảng của C1. Các lịch mới có thể đợc
sản sinh từ các lịch đang tồn tại bằng một hàm generate(), một thời điểm tham chiếu và một lịch cơ sở.
Sau đây thừa nhận sự tồn tại của một tập lịch gồm các lịch Hours, Days,
Weeks, Months và Years (Giờ, Ngày, Tuần, Tháng và Năm), trong đó Hours là lịch có độ mịn nhất, tức nó là lịch cơ sở. Các lịch có thể đợc kết hợp với nhau để biểu diễn những biểu thức thời gian chu kỳ tổng quát hơn, khi muốn biểu thị các thời gian chu kỳ không liền kề nhau, chẳng hạn nh tập các ngày Thứ Hai hoặc tập các giờ thứ ba của ngày đầu tiên của mỗi tháng. Biểu thức thời gian chu kỳ đợc định nghĩa một cách hình thức nh sau:
Định nghĩa 2.11 (Biểu thức thời gian chu kỳ) [15]:
Cho các lịch C1, , … Cn, Cd. Một biểu thức thời gian chu kỳ P đ ợc xác định là
∑ = = n i d i i C xC O P 1 .
. > , trong đó O1 = all O, i∈2N∪{all}, Ci ⊆ Ci-1 với i =2,.., , n Cd ⊆
Cnvà x ∈ . N
Ký hiệu chia biểu thức thời gian chu kỳ thành hai phần. Phần đầu của biểu thức này là tập tất cả các điểm bắt đầu của các khoảng thời gian mà nó biểu diễn. Phần thứ hai đặc tả độ dài của mỗi khoảng tính bằng số đơn vị lịch Cd. Trong Định nghĩa 2.11 và các định nghĩa dới đây, “all” là toàn bộ các số tự nhiên.
Ví dụ: all.Years + {7}.Months + {4 , 9}.Days 2.Days biểu diễn tập các khoảng thời gian chu kỳ bắt đầu vào tháng Bảy hàng năm, kéo dài 2 ngày bắt đầu từ ngày mồng 4 và ngày mồng 9. Đây chính là thời gian diễn ra kỳ thi tuyển sinh vào các trờng đại học khối A và các khối B, C, T... ở Việt Nam trong thời gian qua.
Trong thực tế, khi biểu diễn một biểu thức thời gian chu kỳ: số hạng chứa Oi
đợc bỏ qua khi giá trị của Oi là all. Nhng nếu Oi là tập hợp chỉ gồm một phần tử thì số hạng chứa Oi phải đợc biểu diễn với phần tử duy nhất này. Phần đặc tả độ dài của mỗi khoảng thời gian .x Cd không cần biểu diễn khi nó bằng 1.Cn.
Trong ví dụ trên, biểu thức thời gian chu kỳ có thể đợc biểu diễn : {7}.Months + {4 , 9}.Days 2.Days
Tập vô hạn các khoảng thời gian tơng ứng với biểu thức thời gian chu kỳ P
đợc biểu thị bằng hàm (∏ P). Hàm ∏(P) đợc định nghĩa một cách hình thức nh sau. Định nghĩa 2.12 (Hàm ( [15]: ∏ )) Cho ∑ = = n i d i i C xC O P 1 .
. > là một biểu thức thời gian chu kỳ thì ∏(P là tập ) tất cả các
khoảng thời gian có cùng độ dài Cd và tập hợp S các điểm bắt đầu của các khoảng thời gian này đ ợc xác định nh sau:Nếu n= 1 thì S là tập tất cả các điểm bắt đầu các khoảng của lịch C1. Nếu n > 1 và On= {n1,.., nk}thì S là tập tất cả các điểm bắt đầu của các khoảng thứ n1,..., thứ nk (tất cả các khoảng nếu On = all) của lịch Cn
đ ợc bao hàm trong mỗi khoảng của∏ ∑
= − n i n i iC C O 1 1 . 1 . > .
Để đơn giản, các biên begin và end trong khoảng thời gian [begin, end] ràng buộc một biểu thức thời gian chu kỳ Psẽ đợc biểu thị bằng một cặp biểu thức ngày tháng có dạng mm/dd/yyyy:hh (tháng/ngày/năm giờ); : end cũng có thể là ∞. Chẳng hạn, [1/1/2008, 12/31/2008] biểu thị tất cả các thời điểm trong năm 2008. Tập tất cả các thời điểm đợc biểu thị bằng ([begin, end], P) đợc xác định thông qua việc sử dụng hàm Sol( ) đợc định nghĩa một cách hình thức nh sau.
Định nghĩa 2.13 (Hàm Sol( [15]: ))
Cho t là một thời điểm, P là một biểu thức thời gian chu kỳ, begin và end là hai
biểu thức ngày tháng. Thời điểm t ∈ Solbegin([ , end], P) nếu và chỉ nếu tồn tại khoảng thời gian τ∈∏(P) sao chot ∈ , τ tb ≤ t ≤te ,trong đó tb và te là các thời điểm đ ợc biểu thị t ơng ứng bằng beginvà end.