III. Đề tài nghiêncứu khoa học cấp Trường đã được nghiệm thu
1. Kiến thức cơ bản Một số định nghĩ a
1.2. Các trường hợp đặc biệt:
- Một tứ diện là tứ diện trực tâm nếu 4 đường cao của tứ diện đồng quy.
1.3. Tính chất
Tính chất 1. Điều kiện cần và đủ để n- đơn hình S(I0, I1,…,In) là đơn hình
trực tâm là I P Ij .I P Ik không đổi với mọi j ≠ k; k,j ϵ { 0, 1, 2,..,n}\ p; p cố định thuộc { 0, 1, 2,..,n}.
Chứng minh . Điều kiện cần
Nếu S(I0, I1,…,In) là n- đơn hình trực tâm, gọi H là trực tâm. Ta có: I0H ⊥ Ij
Ik
với mọi j ≠ k . Tức là
I 0 H.I t I k =0 ⇔ I 0 H.(I 0 I k -I 0 I t )=0 ⇔ I 0 H.I 0 I k =I 0 H.I 0 It
⇔ I 0 H.I 0 I k +HI j I 0 I k =I 0 H.I 0 I t +HI s I 0 I t ⇔ I 0 I j .I 0 I k =I 0 I s .I 0 It
Hay ta có ĐPCM.
Hệ quả. Một đơn hình là trực tâm thì mọi q- đơn hình thuộc q- mặt bên đều là đơn hình trực tâm.
Tính chất 2. Điều kiện cần và đủ để n- đơn hình S(I0, I1,…,In) là đơn hình
trực tâm là tồn tại duy nhất điểm H sao cho HI j .HIk không đổi với mọi j ≠ k; k,j ϵ { 0, 1, 2,..,n} \ p; p cố định thuộc { 0, 1, 2,..,n}.
Tính chất 3. Giả sử H là trực tâm của n- đơn hình trực tâm S(I0, I1,…,In); Hk là trực tâm của (n- 1)- đơn hình trực tâm đối diện với Ik. Khi đó IkH là đường cao của (n- 1)- đơn hình trực tâm đối diện với Ik và Ik, H, Hk thẳng hàng.
Tính chất 4. Điều kiện cần và đủ để đơn hình là đơn hình trực tâm là các cặp mặt bên đối diện trực giao với nhau.
Tính chất 5. Trong đơn hình trực tâm, đường thẳng nối trực tâm của hai mặt đối diện trực giao với hai mặt đó.
Tính chất 6. Trong đơn hình trực tâm, các đường thẳng nối trực tâm của các mặt bên đối diện đồng quy tại trực tâm của đơn hình.