7. Cấu trúc luận
2.4.2 Liên tởng đến những phơng pháp hay bài toán đã từng giả
Để thực hiện gợi động cơ theo cách này cần rèn luyện cho HS khả năng liên tởng, thấy đợc chức năng của bài toán, ý nghĩa của bài tập hoặc GV có thể đa ra một loạt các bài tập khác nhau mà việc giải các bài toán đó nhờ vào việc vận dụng các bài tập cơ bản mà HS đã đợc biết.
Bài toán cơ bản 1 :(Bài tập 17,T103 Sgk hình học 11- Nâng cao)
“Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng:
a) Hình chiếu vuông góc H của S xuống (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC.
b) 12 12 12 12
SH = SA +SB +SC ”
Ta sẽ vận dụng kết quả của bài toán này để giải quyết một số các bài tập sau:
Bài toán 1: Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O, OA = a, OB = b, OC =c. Gọi α, β, γ lần lợt là các góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mp(ABC).
Chứng minh rằng: cos2α + cos2β +cos2γ = 1.
Cách 1: Ta dễ dàng chứng minh đợc H là trực tâm của ∆ABC AH ⊥ BC tại A’; OA’⊥ BC. Vậy α = .
Ta có: cosα = cos = sin = = . Tơng tự: cosβ = ; cosγ =
áp dụng kết quả của bài toán (*) trên ta có: 1 2 12 12 12 OC OB OA OH = + + Hay : OH22 OH22 OH22 1 a + b + c = .
Vậy cos2α + cos2β +cos2γ = 1.(đpcm) Cách 2: Dùng phơng pháp toạ độ
Hoặc có thể phát biểu bài toán 1nh sau:
“ Điểm A bên trong hình chóp OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O. Đoạn thẳng OA tạo với các cạnh OB, OC, OD các góc α, β,γ. Chứng minh rằng: cos2α + cos2β +cos2γ =1”.
Bài toán 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a, AC’ = 2a. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ACD’).(Bài 32, T117 Sgk hình học 11- Nâng cao)
Bài toán 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a; OB = b; OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính diện tích của các tam giác HAB, HBC và HCA(Bài 5,T120 Sgk hình học 11- Nâng cao)
Bài toán 4: Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của AB, BC, C’D’. Hãy tính góc giữa các cặp mặt phẳng: (AB’P) và (ABCD); (AB’P) và (BCC’B’). B O A C A’ C’ H B’
Bài toán 5: Cho hình tứ diện ABCD, H là trực tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng AH vuông góc với mp(BCD) khi và chỉ khi các cạnh đối của tứ diện đã cho vuông góc với nhau.
Ta lại tiếp tục khai thác bài toán 1 vào bài tập sau:
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = b, BC = a, CC’=c. Gọi α, β, γ là các góc mà một đờng chéo của hình hộp chữ nhật tạo với ba cạnh xuất phát từ một đỉnh. Tìm α biết β = 600,γ = 450.
Lời giải:
áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông A’AC và ABC, ta có: A’C2 = A’A2+AC , AC = AB + BC
⇒ A’C2 = A’A2 + AB + BC (1) Với AA’= A’C cosα = acosα
A’B’ = A’C cosβ = acosβ ; A’D’= A’C cosγ = acosγ (1) ⇔ a = a ( cos2α + cos2β +cos2γ )
⇒ cos2α + cos2β +cos2γ = 1(2)
Thay β = 600, γ = 450 vào (2) ta đợc cosα = ⇒α = 600
Cũng với kết luận đó nhng giả thiết đợc phát biểu theo cách khác, ta có bài toán sau:
Bài 2: Đờng thẳng (d) tạo với ba đờng thẳng vuông góc với nhau từng đôi một (d1), (d2), (d3) các góc α, β,γ . CMR: cos2α + cos2β +cos2γ = 1.
Bài 3: Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OAC đều là tam giác vuông tại đỉnh O, OA = a, OB = b, OC = c. Gọi α, β, γ lần lợt là các góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với (ABC).
a) Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC bằng tổng bình phơng diện tích ba tam giác: OAB, OBC, OCA.
b) Chứng minh rằng: Cos2α + cos2β + cos2γ =2
Lờigiải: A A’ D’ C’ C B B’
a) Cách 1: Ta có: OA’ = . Vậy AA’2 = OA’2+OA2 = a2+ b c22 22 b +c = a b2 2 2b c2 22 c b2 2 b c + + + . Gọi S2 ABC = AA’2.BC2 = (a b2 2+b c2 2+c b2 2) = S2 OBC + S2 COA + S2 OAB = S2 ABC (đpcm) Cách 2:
Tam giác OBC là hình chiếu của tam giác ABC trên mp(OBC) nên ta có: SOBC= SABCcosα Tơng tự ta cũng có: SOCA = SABCcosβ
SOAB = SABCcosγ. Từ đó: S2
OBC + S2
COA + S2 OAB
= S2
ABC(cos2α +cos2β + cos2γ)
Vì theo bài toán 1 có cos2α +cos2β + cos2γ = 1 nên S2
OBC + S2
COA + S2
OAB = S2
ABC .
b) Sử dụng phơng pháp toạ độ trong hệ trục Oxyz với A∈Ox, B∈Oy, C ∈ Oz. Khi đó: A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c).
Gọi là vtpt của (ABC), ta có:(bc, ac, ab) nên: sinα = 2 2 bc2 2 2 2
b c +a c +a b . Tơng tự ta có sinβ, sinγ . Vậy Cos2α + cos2β + cos2γ = 3- sinα - sinβ - sinγ
=3- 2 2 b c2 22 2 2 2 2 2 a c2 22 2 2 2 2 2 a b2 22 2 2 2
b c a c a b −b c a c a b −b c a c a b
+ + + + + + =2.
Bài 4: Cho hình tứ diện ABCD có ba mặt ABC, ADB, ADC vuông tại A; M là một điểm ở trong ∆BCD. Gọi α, β, γ lần lợt là góc giữa AM và các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ADB). Chứng minh: sinα + sinβ + sinγ = 1.
Bài toán cơ bản 2 (Ví dụ 2,T86 Sgk hình học11-Nâng cao):
Cho tứ diện ABCD có AB =c, CD = c’, AC = b, BD = b’, BC= a, AD = a’.
Tính góc giữa các véc tơ và . O B A C H A1 B1 C1 α
Lời giải: Ta có: . = ( + ) = . - = (CB2 + CD2 - BD2)- (CB 2+CA2-AB2) = ( AB 2+ CD2- BD2 - CA2) Từ đó góc ( , ) = 2 '2 '2 '2 2 c c b b aa + − − (**)
Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a; AC = BD = b; AB = CD= c. Đặt α là góc giữa BC và AD, β là góc giữa AC và BD; γ là góc giữa AB và CD. Chứng minh rằng: b2cosβ = a2cosα + c2cosγ.
Hớng dẫn: áp dụng (**) ta tính đợc cos( , ) = 2 2 2
c b a
−
Vì α là góc giữa hai đờng thẳng BC và AD nên cosα = c2 2b2
a
− ; Tơng tự đối với cos β và cosγ ta sẽ đợc điều phải chứng minh.
Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. CMR: AD ⊥ BC. Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD cóAB ⊥ CD, AC ⊥ BD.
Chứng minh rằng AB2+CD2= AC + BD = AD + BC Bài toán 4: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Đặt =α ,
=β, =γ. Chứng minh rằng: cosα + cosβ + cosγ >- .
Bài toán 5: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Dựng đoạn SA ⊥ (P).Tính tan của góc nhọn giữa hai cạnh AB và SC.
Bài toán 6: Cho tứ diện vuông OABC có các góc phẳng ở đỉnh O là vuông, ngoài ra OC= OA+OB. CMR tổng các góc phẳng ở đỉnh C bằng 900.