7. Cấu trúc luận
1.4. Một số tri thức định hớng năng lực huy động kiến thức
1.4.1 Tri thức thuộc phạm trù duy vật biện chứng
Phơng pháp luận của phép duy vật biện chứng đóng vai trò hết sức quan trọng và cần thiết trong dạy học Toán, nó đợc áp dụng vào các phơng pháp dạy học và giúp cho ngời học thấy đợc sự biện chứng trong nội tại của toán học thể hiện qua các cặp phạm trù về mối quan hệ chung - riêng, mối quan hệ nhân - quả, mối quan hệ giữa nội dung - hình thức,... Nắm đợc phơng pháp luận của phép duy vật biện chứng sẽ giúp cho học sinh hiểu sâu đợc cội nguồn của Toán học, thấy đợc mối liên hệ đan xen của các đơn vị kiến thức và vận dụng chúng để tìm tri thức mới; mặt khác phép duy vật biện chứng còn rèn luyện khả năng sáng tạo, độc lập và biết phát hiện vấn đề trong cuộc sống.
a) Năng lực HĐKT khi giải quyết một vấn đề thể hiện trong mối quan hệ chung- riêng
Ta biết rằng phạm trù cái riêng dùng để chỉ một sự vật, một hiện tợng, một qúa trình còn phạm trù cái chung dùng để chỉ những mặt, những thuộc tính những quan hệ, những mối liên hệ... tồn tại phổ biến ở nhiều sự vật, hiện tợng. Liên hệ đến Toán học tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng khi nghiên cứu một vấn đề thông thờng ta sẽ: “ Đi từ trờng hợp riêng đến trờng hợp chung, lấy trờng hợp riêng soi sáng cho trờng hợp chung và vận dụng trờng hợp riêng để giải quyết trờng hợp chung”. Việc dự đoán những quy luật xuất phát từ những trờng hợp riêng là một thủ thuật ta rất hay dùng. Chẳng hạn nh trong Bài toán tìm quỹ tích, Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất không sử dụng đến đạo hàm. Có những bài toán mà khi khảo sát cái riêng sẽ cho ta cách tìm cái chung.
Ví dụ 22: Yêu cầu HS tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y)(y+z)(z+x), với x+y+z=1 và x, y, z > 0.
Khi đứng trớc bài toán này nhiều HS cảm thấy e ngại song nếu GV hớng dẫn HS phân tích cái chung thành những cái riêng cụ thể, đó là:
xyz; (x+y)(y+z)(z+x), thì bài toán sẽ đợc giải quyết một cách nhẹ nhàng. áp dụng BĐT Cauchy cho từng cái riêng đó ta có:
1 = x+y+z ≥ 3 (1)
2 = (x+y)+(y+z)+(x+z) ≥ 3 (2)
Nhân vế với vế (1) và (2) ta đợc: 2 ≥ 9 ⇔ S ≤ ( )3 =
Đẳng thức S = ⇔ các đẳng thức (1),(2) xảy ra ⇔ x = y = z = Vậy MaxS = khi x = y = z = .
Qua quá trình phân tích từ cái chung dẫn tới cái riêng chúng ta đã đa việc dùng BĐT Cauchy cho một biểu thức (rất khó thực hiện) về dùng BĐT Cauchy cho từng nhóm biểu thức đơn giản để tìm GTLN.
Từ một cái riêng nếu biết nhìn theo nhiều quan điểm các góc độ khác nhau thì có thể khái quát thành nhiều cái chung khác nhau, chẳng hạn ta có thể xem hình thoi là trờng hợp đặc biệt của hình bình hành, cũng có thể xem nó là trờng
hợp đặc biệt của tứ giác có vòng tròn nội tiếp nếu ta nhìn nó dới góc độ có “vòng tròn nội tiếp”, có thể xem nó là trờng hợp đặc biệt của tứ giác có hai đờng chéo vuông góc, nếu nhìn nó dới góc độ có “hai đờng chéo vuông góc”
Đôi khi đem đặc biệt hoá nhiều cái chung thì lại đợc một cái riêng và cứ nh thế ta sẽ tìm ra đợc những cái mới, chẳng hạn một tứ giác đem đặc biệt hoá theo các tính chất và quan hệ giữa các cạnh, các góc có thể cho ta hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông.
Trong dạy học Toán, nếu ngời giáo viên nắm đợc mối quan hệ giữa cái chung - cái riêng, biết biến đổi phát triển bài toán thành chuỗi các bài toán thì không những HS hiểu đợc sâu sắc kiến thức của bài toán đó mà còn biết thêm các kiến thức khác và đem lại hiệu quả cao trong học tập (phần này sẽ đợc thể hiện tiếp trong chơng 2)
b) Năng lực HĐKT khi giải quyết một vấn đề thể hiện trong mối quan hệ giữa nội dung - hình thức
Theo quan điểm triết học, nội dung là những mặt, những yếu tố, những quá trình tạo nên sự vật; hình thức là phơng thức tồn tại và phát triển của sự vật hiện tợng, là hệ thống các mối liên hệ tơng đối bền vững giữa các yếu tố của sự vật. Nội dung và hình thức không tồn tại tách rời nhau, nó có sự thống nhất biện chứng với nhau. Nội dung giữ một vai trò quyết định đối với hình thức trong quá trình vận động và phát triển của sự vật, và hình thức cũng có tác động sâu sắc tới nội dung.
Vận dụng vào toán học ta có thể mô tả mối quan hệ giữa nội dung “Điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB” theo sáu hình thức để làm sáng tỏ quan điểm trên: A, B, O thẳng hàng và OA=OB; Đ0: A → B (B là ảnh của A qua Đ0); =- ; V0-1 :A → B ; O là tâm hình bình han AMBN; MO là đờng trung bình của tam giác ACB; M là trung điểm AC.
Ngợc lại từ đẳng thức hình thức: = có thể liên tởng các nội dung: O là trung điểm đoạn AB; hai véc tơ và đối nhau; A là ảnh của B qua phép vị tự V0-1 . Trong thực tế ở một số tình huống nội dung có thể bị che lấp bởi hình thức, hình thức biểu thị không bình thờng . Vì vậy cần tăng cờng diễn đạt nội dung đó qua những hình thức khác nhau để tạo điều kiện cho các em huy động đợc tốt kiến thức và kinh nghiệm đã có vào giải quyết nội dung.Chẳng hạn ta có ví dụ:
“Giải hệ phơng trình: 2n 2n 2n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2 2n 2 2n 2 x y z 3 x y z 3 x y z =3 + + + + + + + + = + + = + + , với x,y,z>0.”
HS sẽ không biết bắt đầu nh thế nào bởi những phơng pháp và tri thức đã có quá xa lạ với hình thức biểu thị nội dung đó nên cần phải có sự biến đổi hình thức để đa việc giải hệ phơng trình đại số về việc giải bài toán bằng phơng pháp véc tơ.
Đôi khi trong quá trình giải toán HS còn phải biết biến đổi đối tợng bằng cách chuyển hoá hình thức của đối tợng cho phù hợp với nội dung để phát hiện cách HĐKT một cách đúng đắn.
Ví dụ 23: Đề xuất cho HS hoạt động tìm nghiệm (x, y, z, t) của hệ :
để x+z đạt giá trị lớn nhất. Xét bài toán với t cách là đối tợng HĐ; do nên có thể hớng HS thay đổi hình thức của đối tợng HĐ, bằng cách lợng giác hoá ta đặt: x=3cosα ; y = 3 sinα ; z = 4 cosβ ; t = 5 sinβ. Nh vậy hình thức đã bị thay đổi còn nội dung lại trở thành việc tìm giá trị của α, β, γ.
Ta thấy nội dung và hình thức luôn gắn bó, thống nhất với nhau trong quá trình vận động và phát triển của sự vật. Trong Toán học chúng ta cần nhìn rõ mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức để tìm ra bản chất của nó.
1.4.2 Tri thức phơng pháp
Nó đợc hiểu là tri thức về "hệ thống các nguyên tắc, hệ thống các thao tác có thể nhằm đi từ những điều kiện nhất định ban đầu tới một mục đích xác định". Hệ thống các nguyên tắc, các thao tác nói trên đợc rút ra từ tri thức sự vật, từ tri thức về các quy luật khách quan để con ngời điều chỉnh HĐ nhận thức và
HĐ thực tiễn. Nếu HS có một hệ thống tri thức phơng pháp đầy đủ thì sẽ dễ dàng tiến hành nhiều HĐ tìm tòi khám phá tri thức mới. Về mặt tri thức phơng pháp, trớc hết GV cần cung cấp cho HS phơng pháp chung để giải bài toán bao gồm 4 bớc của G.Polya, đó là:Tìm hiểu nội dung đề bài, tìm cách giải, trình bày lời giải và nghiên cứu sâu lời giải. Nhiệm vụ của HS phải hiểu và vận dụng đợc phơng pháp đó trong những tình huống tơng tự.
Tri thức phơng pháp không có sẵn trong thế giới hiện thực mà do con ngời lĩnh hội trên cơ sở những quy luật khách quan đã đợc nhận thức và đợc trình bày thành lý luận. Tri thức phơng pháp đợc xây dựng dần qua việc chủ thể kiến tạo tri thức, rồi lại chiếm lĩnh tri thức đó để vận dụng vào những tình huống khác có liên quan.
Ví dụ 24: Dạy học tìm nghiệm của PT bậc hai ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) (1) Để đi tìm công thức nghiệm tức là ta đi kiến tạo tri thức dựa trên sơ đồ nhận thức cũ:
+) chia hai vế của phơng trình bậc hai cho a (a ≠ 0): x2+ x+ = 0 (2)
+) Nhóm hai số hạng đầu để đa về bình phơng của một tổng: (x + )2- ( )2 + = 0 ⇔( )2 2 b x a + - 2 2 4 4 b ac a − = 0 . Đặt b2- 4ac = ∆ *) Xét ∆ > 0 ⇒ ( )2 2 b x a + = 2 2 4 4 b ac a − = 4a2 V x+ = ± ⇒ x = 2 4 2 b b ac a − ± − ⇔ (1) có nghiệm. *) Xét ∆ <0 ⇒ ( )2 2 b x a + - 2 2 4 4 b ac a −
≥ 0 ⇒ (2) luôn có nghiệm với ∀x ⇔ (1) luôn có nghiệm ∀x. *) Xét ∆= 0 ⇒ ( )2 2 b x a + = 0, (2) có nghiệm x= ±
Hay (1) có nghiệm x= ± .
Trong dạy học Toán, tri thức phơng pháp là tri thức có ý nghĩa công cụ, ph- ơng tiện để tiến hành các HĐ nhằm phát hiện, tìm tòi, lĩnh hội tri thức sự vật. Tri thức phơng pháp liên hệ với hai loại tri thức khác nhau về bản chất,
đó là:
• Phơng pháp có tính chất thuật giải( chẳng hạn giải phơng trình bậc hai d- ới dạng chuẩn, tìm ƯCLN của hai số tự nhiên).
• Phơng pháp có tính chất tìm tòi (chẳng hạn nh qui lạ về quen, khái quát hoá, tơng tự hoá, phơng pháp tổng quát để giải bài tập toán học của G.Polya). Chú ý những qui tắc, phơng pháp tìm tòi chỉ là những gợi ý giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật giải bảo đảm chắc chắn dẫn tới thành công. Vì vậy khi sử dụng chúng HS cần có tính mềm dẻo, linh hoạt, biết điều chỉnh ph- ơng hớng, thay đổi phơng pháp khi cần thiết.
ở trờng phổ thông, không phải lúc nào ta cũng tìm đợc các phơng pháp có tính chất thuật toán để giải quyết các vấn đề. Chẳng hạn, ta không thể có đợc thuật toán giải các phơng trình lợng giác phức tạp (không thuộc các loại phơng trình cơ bản đã học). Khi đó cần phải có những kỹ năng kỹ xảo để có thể cho phép tìm đợc lời giải bài toán đặt ra.
Ví dụ 25 : Biện luận theo tham số a, nghiệm x<0 của phơng trình: =a(x-2)+2
Để giải bài này GV có thể gợi ý tri thức phơng pháp quen thuộc là: biện luận số nghiệm âm của phơng trình bậc 2 cho HS tự kiểm nghiệm, sau đó bằng cách gợi động cơ GV đa HS vào tình huống có vấn đề: Có thể vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải bài toán này đợc không?
HS huy động kiến thức về tính đơn điệu của hàm số vào giải quyết bài toán nh sau:
Khi x<0, phơng trình đã cho trở thành: = a(x-2)+2 ⇔ g(x) = =a.
Ta khảo sát sự biến thiên của hàm số g(x) để biện luận số nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ trên đây thể hiện việc giải và biện luận một phơng trình bằng kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số. GV luôn có nhiệm vụ thông báo tri thức ph- ơng pháp để HS có thể tích luỹ và vận dụng lại nó. Tất nhiên việc thông báo quá nhiều tri thức phơng pháp trong một tiết học hoặc buổi học là không nên bởi nó có thể gây ra tình trạng quá tải về kiến thức hoặc là có những tri thức phơng pháp rậm rạp dễ làm cho HS lâm vào tình trạng rối ren.
Đứng trớc một nội dung dạy học, ngời GV cần nắm đợc tất cả các tri thức phơng pháp có thể có trong nội dung đó. Nắm đợc nh vậy không phải là để dạy tất cả cho HS một cách tờng minh mà còn phải căn cứ vào mục tiêu và tình hình cụ thể của chơng trình, của trình độ HS để lựa chọn cách thức và phơng pháp dạy phù hợp. GV phải làm cho HS hiểu là mục tiêu quan trọng nhất không chỉ nắm vững cách giải từng bài tập thậm chí từng dạng bài tập mà là rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó với những tình huống khác nhau, không lệ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn. Chẳng hạn khi giải PT chứa căn bậc hai thì thông thờng HS sẽ nghĩ tới việc đặt điều kiện để hai vế không âm rồi bình phơng để khử căn, nhng thực tế không phải bao giờ cũng làm đợc điều đó mà có thể phải bằng cách đánh giá, hoặc là chuyển đổi ngôn ngữ, hoặc là đặt ẩn phụ,...
1.5 Một số khó khăn, trở ngại trong khi dạy và học các kiến thức của hìnhhọc không gian học không gian
1) Mâu thuẫn giữa một bên là các đối tợng hình học trừu tợng đợc trừu xuất, lí tởng hóa tách khỏi hiện thực khách quan (đối tợng nghiên cứu của toán học) và một bên là khi dạy học lại mô tả chúng bằng các hình ảnh hiện thực, hình biểu diễn.Trong khi đó HS đã quen học hình học phẳng từ bậc tiểu học nên có những khó khăn khi chuyển từ t duy cụ thể sang t duy trừu tợng.
2) Trong chơng trình phổ thông hình học đợc xây dựng theo hệ tiên đề Ơcơlit nên các chứng minh chủ yếu bằng con đờng lập luận logic. Nếu HS không nắm vững kiến thức trớc đó (khái niệm, định lí, hệ quả, tiên đề,...) sẽ dẫn đến
hiểu sai bản chất của đối tợng hoặc là nhầm lẫn, ngộ nhận giữa đối tợng trong hình học phẳng với đối tợng trong không gian chẳng hạn.
Khi chứng minh một bài toán hình học hoặc giải các dạng toán khác nhau, trong giả thiết là tổ hợp nhiều điều kiện khác nhau, đặc trng cho các đối tợng hình học khác nhau; chúng ta vẽ một hình nào đó ứng với một trờng hợp trong nhiều tr- ờng hợp xảy ra để làm điểm tựa trực quan cho chứng minh, cho giải toán nhiều khi hình vẽ đó không bao quát cho nhiều trờng hợp xảy ra dẫn tới trong lập luận chứng minh bỏ sót các trờng hợp khác.
3) Khó khăn bộc lộ trong việc định hớng tìm thuật giải, cách giải đối với các bài toán không gian cộng với tri thức biện chứng và tri thức cội nguồn cha đ- ợc sự quan tâm đúng mức.
Vì những lí do nêu trên khi dạy hình học cần kết hợp đúng đắn, hợp lí giữa cái cụ thể và cái trừu tợng. Trực quan chỉ dừng lại ở điểm tựa khoa học cho các chứng minh suy diễn, lập luận logic. Cần chú trọng để học sinh nắm các tính chất không thay đổi và tính chất thay đổi chuyển từ các hình không gian trừu t - ợng qua hình biểu diễn của chúng, và quan tâm đúng mức rèn luyện cho học sinh năng lực liên tởng đúng đắn từ hình biểu diễn qua hình thực.
Một điều quan trọng nữa là GV phải tạo đợc mắt xích kiến thức để xây dựng chuỗi các bài toán nhằm củng cố, khắc sâu các khái niệm, định lí. Do thời lợng phân phối chơng trình có hạn nên khi học trên lớp HS cha đợc vận dụng, rèn luyện kĩ năng nhiều, cha đợc mở rộng khai thác ứng dụng của các khái niệm, định lý. Điều này hạn chế đến việc huy động vốn kiến thức của HS, hạn chế đến việc phát triển t duy của các em trong học tập.
Việc xây dựng chuỗi bài toán sau mỗi phần, mỗi chơng hoặc mỗi chủ đề nhằm khắc sâu, ứng dụng khái niệm, định lý còn rất ít và cha phong phú đa dạng. Do đó HS vận dụng tri thức đã học vào việc giải bài toán còn lúng túng. Với những kiến thức đó thì cha đủ để HS giải các bài toán nâng cao chất lợng, bài toán khó. Vì vậy cần đặc biệt quan tâm đến việc xây