7. Cấu trúc luận
1.3.1Vận dụng phơng pháp dạy học kiến tạo vào dạy học toán
Ta đã biết phơng pháp dạy học theo quan điểm kiến tạo là phơng pháp dạy học hiện đại, HS đợc học tập trong HĐ và bằng HĐ còn GV là ngời xác định tri thức, kinh nghiệm đã có của HS để tạo môi trờng kích hoạt cho các em phát hiện ra kiến thức mới; Tạo cho HS cơ hội tập duyệt đề xuất các phán đoán, các “giả thuyết”. HS thể hiện năng lực huy động kiến thức bằng việc chứng minh để kiểm nghiệm các phán đoán. Nếu phán đoán đúng tức là tri thức đó đã đợc thích nghi và các em đã có một tri thức mới vừa kiến tạo.
Để trả lời câu hỏi: “ năng lực huy động kiến thức của HS đợc thể hiện ở những khâu nào khi vận dụng phơng pháp dạy học kiến tạo vào dạy,học toán. Cần phải làm gì để mọi HS đều có thể tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức?”. Ta thấy nhiệm vụ của GV là phải khai thác từ nội dung dạy học xem chỗ nào có thể cho HS tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức, kĩ năng cho họ. Từ đó thiết kế tình huống, chuẩn bị các hoạt động, câu hỏi, hớng HS tham gia vào quá trình kiến tạo. Trong quá trình này HS có thể trình bày quan niệm, nhận thức của mình; có thể tranh luận để đi đến thống nhất ý kiến. GV gợi ý, phân tích các ý kiến, uốn nắn nhận thức cho HS, thể chế hoá kiến thức cho HS.
Ví dụ 17: Dạy học khái niệm đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau trong không gian (Hình học 11).
Ta sử dụng kiến thức đã có về hình lập phơng để chứng tỏ tồn tại đờng thẳng cắt hai đờng thẳng chéo nhau và vuông góc với hai đờng thẳng đó.
“ Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’.
Hãy chỉ ra những đờng thẳng vừa vuông góc với AA’, vừa vuông góc với BC;
vừa vuông góc với A’A vừa vuông góc BD”. +) Các HĐ để HS huy động kiến thức: -Trong những đờng thẳng vừa kể ra ở A C D B A’ B’ C’ D’
trên đờng thẳng nào vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đờng thẳng đã cho?
-Có bao nhiêu đờng thẳng vừa vuông góc vừa cắt cả hai đờng thẳng đã cho? Hãy lập luận nhận xét của mình.
+) HS có thể hợp thức hoá khái niệm( định nghĩa đờng vuông góc chung) Hiểu sâu sắc khái niệm:
-Tính chất “ngắn nhất” của đờng vuông góc trong mặt phẳng còn đúng với khái niệm này không?
- Có luôn tồn tại khái niệm đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau trong không gian hay không? Hãy tìm hiểu vấn đề này qua các trờng hợp sau:
Trờng hợp 1: a , b chéo nhau và vuông góc với nhau (Hình vẽ) Gọi (P) ⊃ b và vuông góc a, giao điểm của (P) v a l H. à à
Trong (P) dựng HK⊥ c, HK ⊥ b thì HK là đờng vuông góc chung của a và b. (Sự phát hiện này còn cho ta một qui trình xác định đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau trong không gian).
Trờng hợp 2: a, b chéo nhau bất kì ( Hình vẽ)
Gọi (P) ⊃ b và (P) ∥ a, gọi c là hình chiếu vuông góc của a trên (P) thì đ- ờng vuông góc chung của a và b đợc xác định nh thế nào?
Gọi K = b ∩ c (tại sao luôn có giao điểm này?), gọi d là đờng thẳng qua K và vuông góc với (P), d ∩ a = H.
(vì sao d luôn cắt a?) thì HK là đờng vuông góc chung của a và b. b P H K a a b H K P b) a)
Cuối cùng là HS có các hoạt động để củng cố khái niệm.
Một trong những năng lực kiến tạo là việc luyện tập cho HS thói quen khai thác tiềm năng SGK, khắc sâu mở rộng kiến thức, phát triển các bài toán từ nền kiến thức chuẩn đã đợc qui định.Ta sẽ làm sáng tỏ điều này qua ví dụ:
Ví dụ18:Từ định lí đờng trung tuyến quen thuộc
Bài toán :Trong tam giác ABC ta có ma2= (2b2+2c2-a2) (1)
Ta thử suy t thêm xem sao. Sẽ có hai hệ thức tơng tự cho m2 b, m2 c. Từ đó có ngay: ma2 + m2 b+ m2 c = (a2+b2+c2) Sử dụng (*) từ (1) ta lại viết: m2 a = (b2+c2+(b2+c2-a2)) = (b2+c22bccosA) = ((b-c)2+4bc cos2 ) ≥ bccos2 . Do đó ta có bài toán
Bài toán 1: Trong tam giác ABC ta có ma ≥ cos (2) Tơng tự có các bất đẳng thức cho mb, mc và dẫn đến:
Bài toán 2: Trong tam giác ABC ta có ma. mb.mc≥ abc.cos .cos .cos hay là :
≥cos . cos .cos
Từ (1) có thể viết
ma2= (2b2+2c2-a2) ≥ ((b+c)2- a2) = (b+c+a)(b+c-a) = p(p-a)
Do đó ta đợc
Bài toán 3. Trong tam giác ABC ta có
ma≥ . Tơng tự với mb, mc. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nh GS Nguyễn Cảnh Toàn đã viết trong tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học và tuổi trẻ:
“Các bạn đã có sẵn một lòng yêu toán, chỉ cần các bạn biết cách tập dợt suy nghĩ sáng tạo và bền bỉ, kiên nhẫn tập dợt thì rồi nay mai, bạn sẽ thấy rằng phát minh toán học không phải là một điều gì thần bí cao xa”.
1.3.2 Vận dụng phơng pháp dạy học PH & GQVĐ để học sinh HĐKT trong giải toán
Then chốt của phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là GV thiết kế đợc những tình huống gợi động cơ, gợi vấn đề, những tình huống có vấn đề, khai thác đợc những nội dung bài học một cách triệt để, có những sáng tạo trong xây dựng những bài toán. Mỗi một bớc thực hiện là HS đã phải trãi nghiệm qua hàng loạt kiến thức khi đợc huy động và họ phải phân tích, chọn lựa để tìm ra kiến thức nào là phù hợp, là đúng đắn.
Từ việc nghiên cứu phơng pháp dạy học PH và GQVĐ giáo viên xác lập một quy trình giải toán để HS phát triển đợc năng lực HĐKT, đó là:
Bớc 1: Tạo tình huống gợi vấn đề:
+ Đa học sinh vào tình huống gợi vấn đề. + Phân tích tình huống đó.
+ Dự đoán vấn đề nảy sinh và đạt mục đích xác minh tính đúng đắn .
Bớc 2: Giải quyết vấn đề:
+ Phân tích mối quan hệ giữa dữ kiện, điều kiện và vấn đề cần tìm. + Đề xuất, lựa chọn hớng giải quyết và tìm tòi lời giải.
+ Thực hiện lời giải.
Bớc 3: Kiểm tra và ứng dụng kết quả:
+ Kiểm tra tính hợp lý và tối u của lời giải.
+ Phát biểu chính xác vấn đề (kiến thức mới cần lĩnh hội). + Xét khả năng ứng dụng của nó.
+ Vận dụng vào tình huống mới.
Tất cả những vấn đề đó đều đòi hỏi HS phải có một năng lực trí tuệ nhất định, năng lực HĐKT thích hợp mới giải quyết đợc yêu cầu đặt ra.
Ví dụ 19: Dạy giải bài tập
CMR trong mọi tam giác ABC ta có:
Sin2A+sin2B +sin2C=2 +cosAcosBcosC(*)
Bớc1: Tạo tình huống gợi vấn đề:
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính sin2A + sin2B + sin2C và cosAcosBcosC
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, B = 600, C = 300
Tính sin2A + sin2B + sin2C và cosAcosBcosC
Bài 3 : Cho tam giác ABC đều.
Tính sin2A + sin2B + sin2C và cosAcosBcosC +) Phân tích tình huống:
So sánh giá trị sin2A+sin2B+sin2C và cosAcosBcosC trong 3 bài tập trên. Dự đoán vấn đề: Sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC
Bớc 2: Giải quyết vấn đề
+) Phân tích mối quan hệ giữa dự kiện, điều kiện và vấn đề cần tìm. - Điều kiện đã cho: A, B, C là các góc của một tam giác
- A + B + C = π và vấn đề cần giải quyết: Chứng minh rằng: Sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC (0 < A,B,C < π)
Đối với các tam giác đặc biệt ở bài 1, 2, 3 vấn đề đợc đặt ra có tính đúng đắn. +) Đề xuất, lựa chọn hớng giải quyết và tìm tòi lời giải. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hớng 1: Biến đổi tơng đơng đẳng thức (*) về đẳng thức đúng.
Hớng 2: Biến đổi tơng đơng đẳng thức (*) về vế phải (sử dụng công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích).
Hớng 3: Biến đổi tơng đơng đẳng thức (*) về vế phải (sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng).
+) Thực hiện lời giải Trình bày lại 3 cách giải.
Bớc 3: Kiểm tra và ứng dụng kết quả:
+) Kiểm tra tính hợp lý và tối u của lời giải; Kiểm tra 3 cách chứng minh, từ đó nêu rõ cách nào tối u hơn.
+) Khẳng định lại vấn đề dự đoán là chính xác. Kiểm tra lại dự kiện đã cho xem đã sử dụng hết cha? Có thể phát biểu lại bài toán nh thế nào?
sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC )
+)Xét khả năng vận dụng kết quả trên để giải bài toán: “Cho tam giác ABC có: Sin2A + sin2B + sin2C = 2. CMR tam giác đó là tam giác vuông”
Vận dụng vào tình huống mới.
Dự đoán vấn đề mới: Trong tam giác ABC có: Cos2A + cos2B + cos2C = 2 + 2 sinAsinBsinC.
Ví dụ 20: Dạy học phát hiện khái niệm phơng tích của một điểm đối với đ- ờng tròn.
“Cho tam giác vuông ABC, vuông tại A; vẽ đờng cao AH. Chứng minh = CA2”.
GV có thể chỉ dẫn để HS vẽ đờng tròn đờng kính AB tâm O và yêu cầu HS tính . qua CO và R = AB (Hình vẽ).
HS tính đợc CA2 = CO2 - R2 ⇒ = CO2 - R2 . Từ đó HS có thể phát biểu và chứng minh mệnh đề tổng quát sau: Nếu từ điểm C bất kỳ vẽ cát tuyến cắt đờng tròn tại A, B thì ta có hệ thức = CO2 - R2 .
Ta sẽ có khái niệm phơng tích của một điểm đối với đờng tròn. Ví dụ 21:Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi các đờng cong y= ; y=
Bớc 1: Nêu tình huống gợi vấn đề
- Công thức tính diện tích của hình phẳng?
Giao điểm của 2 đờng cong có toạ độ ( ± ;1) nên diện tích của hình phẳng cần tính bằng: S = 2( - ) dx.(Hình vẽ) C H B A • O x - y 1 2 N M O A
Bớc 2: Giải quyết vấn đề
-Tính I1= dx bằng cách nh thế nào ? Hớng 1: Đổi biến số : x= 2sint ta đợc I1=dx= 4cos2t.dt =2( t+ sin2t) =2( + ) -Tính I2= dx = . Vậy S = 2 ( I1+ I2)= + .
Hớng 2:Thay cho việc tính I1 ta thấy các giao điểm của phơng trình đờng tròn y= với đồ thị hàm bậc hai y = là M( ;1) và N( - ;1).
- Diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi hai đờng cong đó là phần nào? - Vậy kiến thức cần sử dụng tiếp theo nữa là gì ?
Gọi O(0;0), A(2;0) thì tanMOA = nên = 300. Sh.quạt= . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đoạn OM và (P) y= là: ( x - ) dx = - = . Vậy S = + .
Bớc 3: Kiểm tra và vận dụng kết quả HS nhận xét hai cách giải quyết vấn đề.
Nếu thay đờng tròn bởi elip thì kết quả nh thế nào ? Ta có bài toán sau
Bài toán: Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi hai đờng cong: y= + và y = .
1.4. Một số tri thức định hớng năng lực huy động kiến thức1.4.1 Tri thức thuộc phạm trù duy vật biện chứng 1.4.1 Tri thức thuộc phạm trù duy vật biện chứng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Phơng pháp luận của phép duy vật biện chứng đóng vai trò hết sức quan trọng và cần thiết trong dạy học Toán, nó đợc áp dụng vào các phơng pháp dạy học và giúp cho ngời học thấy đợc sự biện chứng trong nội tại của toán học thể hiện qua các cặp phạm trù về mối quan hệ chung - riêng, mối quan hệ nhân - quả, mối quan hệ giữa nội dung - hình thức,... Nắm đợc phơng pháp luận của phép duy vật biện chứng sẽ giúp cho học sinh hiểu sâu đợc cội nguồn của Toán học, thấy đợc mối liên hệ đan xen của các đơn vị kiến thức và vận dụng chúng để tìm tri thức mới; mặt khác phép duy vật biện chứng còn rèn luyện khả năng sáng tạo, độc lập và biết phát hiện vấn đề trong cuộc sống.
a) Năng lực HĐKT khi giải quyết một vấn đề thể hiện trong mối quan hệ chung- riêng
Ta biết rằng phạm trù cái riêng dùng để chỉ một sự vật, một hiện tợng, một qúa trình còn phạm trù cái chung dùng để chỉ những mặt, những thuộc tính những quan hệ, những mối liên hệ... tồn tại phổ biến ở nhiều sự vật, hiện tợng. Liên hệ đến Toán học tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng khi nghiên cứu một vấn đề thông thờng ta sẽ: “ Đi từ trờng hợp riêng đến trờng hợp chung, lấy trờng hợp riêng soi sáng cho trờng hợp chung và vận dụng trờng hợp riêng để giải quyết trờng hợp chung”. Việc dự đoán những quy luật xuất phát từ những trờng hợp riêng là một thủ thuật ta rất hay dùng. Chẳng hạn nh trong Bài toán tìm quỹ tích, Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất không sử dụng đến đạo hàm. Có những bài toán mà khi khảo sát cái riêng sẽ cho ta cách tìm cái chung.
Ví dụ 22: Yêu cầu HS tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y)(y+z)(z+x), với x+y+z=1 và x, y, z > 0.
Khi đứng trớc bài toán này nhiều HS cảm thấy e ngại song nếu GV hớng dẫn HS phân tích cái chung thành những cái riêng cụ thể, đó là:
xyz; (x+y)(y+z)(z+x), thì bài toán sẽ đợc giải quyết một cách nhẹ nhàng. áp dụng BĐT Cauchy cho từng cái riêng đó ta có:
1 = x+y+z ≥ 3 (1)
2 = (x+y)+(y+z)+(x+z) ≥ 3 (2)
Nhân vế với vế (1) và (2) ta đợc: 2 ≥ 9 ⇔ S ≤ ( )3 =
Đẳng thức S = ⇔ các đẳng thức (1),(2) xảy ra ⇔ x = y = z = Vậy MaxS = khi x = y = z = .
Qua quá trình phân tích từ cái chung dẫn tới cái riêng chúng ta đã đa việc dùng BĐT Cauchy cho một biểu thức (rất khó thực hiện) về dùng BĐT Cauchy cho từng nhóm biểu thức đơn giản để tìm GTLN.
Từ một cái riêng nếu biết nhìn theo nhiều quan điểm các góc độ khác nhau thì có thể khái quát thành nhiều cái chung khác nhau, chẳng hạn ta có thể xem hình thoi là trờng hợp đặc biệt của hình bình hành, cũng có thể xem nó là trờng
hợp đặc biệt của tứ giác có vòng tròn nội tiếp nếu ta nhìn nó dới góc độ có “vòng tròn nội tiếp”, có thể xem nó là trờng hợp đặc biệt của tứ giác có hai đờng chéo vuông góc, nếu nhìn nó dới góc độ có “hai đờng chéo vuông góc”
Đôi khi đem đặc biệt hoá nhiều cái chung thì lại đợc một cái riêng và cứ nh thế ta sẽ tìm ra đợc những cái mới, chẳng hạn một tứ giác đem đặc biệt hoá theo các tính chất và quan hệ giữa các cạnh, các góc có thể cho ta hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông.
Trong dạy học Toán, nếu ngời giáo viên nắm đợc mối quan hệ giữa cái chung - cái riêng, biết biến đổi phát triển bài toán thành chuỗi các bài toán thì không những HS hiểu đợc sâu sắc kiến thức của bài toán đó mà còn biết thêm các kiến thức khác và đem lại hiệu quả cao trong học tập (phần này sẽ đợc thể hiện tiếp trong chơng 2)
b) Năng lực HĐKT khi giải quyết một vấn đề thể hiện trong mối quan hệ giữa nội dung - hình thức
Theo quan điểm triết học, nội dung là những mặt, những yếu tố, những quá trình tạo nên sự vật; hình thức là phơng thức tồn tại và phát triển của sự vật hiện tợng, là hệ thống các mối liên hệ tơng đối bền vững giữa các yếu tố của sự vật. Nội dung và hình thức không tồn tại tách rời nhau, nó có sự thống nhất biện chứng với nhau. Nội dung giữ một vai trò quyết định đối với hình thức trong quá trình vận động và phát triển của sự vật, và hình thức cũng có tác động sâu sắc tới nội dung.
Vận dụng vào toán học ta có thể mô tả mối quan hệ giữa nội dung “Điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB” theo sáu hình thức để làm sáng tỏ quan điểm trên: A, B, O thẳng hàng và OA=OB; Đ0: A → B (B là ảnh của A qua Đ0); =- ; V0-1 :A → B ; O là tâm hình bình han AMBN; MO là đờng trung bình của tam giác ACB; M là trung điểm AC.
Ngợc lại từ đẳng thức hình thức: = có thể liên tởng các nội dung: O là trung điểm đoạn AB; hai véc tơ và đối nhau; A là ảnh của B qua phép vị tự V0-1 . Trong thực tế ở một số tình huống nội dung có thể bị che lấp bởi hình thức, hình thức biểu thị không bình thờng . Vì vậy cần tăng cờng diễn đạt nội dung đó