7. Cấu trúc luận
2.4.1Liên tởng tới khái niệm, định lý, công thức, qui tắc
Khi giải bài tập toán tức là lúc ta phải huy động một tổ hợp kiến thức, để làm đợc điều đó thì cần có sự liên tởng. Liên tởng là cầu nối giải quyết vấn đề. Chẳng hạn khi phải chứng minh hai đờng thẳng vuông góc ta sẽ “lục” trong trí nhớ về những phơng pháp có thể sử dụng đợc và thể hiện tờng minh phơng pháp. Sau quá trình rà soát, phán đoán là sự liên tởng tới định lý ba đờng vuông góc. Chúng ta sẽ vận dụng kiến thức đó để giải quyết lớp các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA = SC, SB = SD. Chứnh minh rằng AC ⊥ SD.
Lời giải:
Trớc hết ta phải chứng tỏ SO ⊥ (ABCD)
khi đó OD là hình chiếu của SD xuống (ABCD), mà OD ⊥ AC nên SD ⊥ AC. (áp dụng định lý ba đờng vuông góc B C A D S O
Bài toán 2:Cho tứ diện ABCD có mặt BCD là tam giác vuông tại B, BC = a, AD ⊥ (BCD) và AC= b. Tìm khoảng cách từ A đến BC.
Lời giải:
BD là hình chiếu của AB trên (BCD) mà BD ⊥ BC nên AB ⊥ BC ( theo định lý ba đờng vuông góc). Vậy AB là khoảng cách từ A đến BC.
Ap dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABC ta có: AB = .
Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của đờng cao AH của tứ diện. Chứng minh IB ⊥ IC ⊥ ID.
Để hớng dẫn HS liên tởng đến kiến thức cũ ta có thể gợi động cơ: AH là đ- ờng cao của tứ diện và các cạnh AB = AD = AC cho ta nghĩ về điều gì ? hay nói cách khác chúng có mối quan hệ với nhau nh thế nào?
Bài toán đợc giải quyết bằng cách vận dụng khái niệm về đờng vuông góc và đờng xiên.
Ta có AB = AD = AC ⇒ HD=HB=HC ( Tính chất hình chiếu và hình xiên) ⇒ H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆BCD BK là đờng cao của tam giác đều: BH = BK =
Vì HB = HC =HD ⇒ IB =IC = ID (hình chiếu bằng nhau thì hình xiên bằng nhau)
áp dụng định lý Pitago vào ∆ABH, ∆BHI đợc HI = ; B C D A H K I B D C A
BI2 = = IC2 = ID2. Xét ∆BIC BI2 + CI2 = BC2
⇒ = 1V ⇒ BI ⊥ CI. Chứng minh tơng tự cho ∆DIC, ∆BID ⇒ .
Bài toán 5: Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt là hình thoi. Chứng minh chân đờng cao của lăng trụ vẽ từ A’nằm trên đờng chéo AC của đáy.
Lời giải: Gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu của A’ lên (ABCD), AB, CD.
Ta có : ' ' AH (ABCD) AB A AD A J I ⊥ ⊥ ⊥ ⇒ HIHJ⊥⊥ABAD (định lý ba đờng vuông góc)(1) ∆A’AI = ∆ A’AJ vì: A’A chung ; = =α (gt) ⇒ AI = AJ = AA’cosα = acosα ⇒ HI = HJ (2)
(hình chiếu hai đoạn xiên bằng nhau)
Từ (1), (2) ⇒ H ∈ phân giác của , tức H ∈ AC. Các bài toán t ơng tự :
Bài 1 : Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC). Dựng đờng cao AE của tam giác ABC. Gọi H, K lần lợt là trực tâm ∆ABC, ∆SBC.
a) Chứng minh SE ⊥ BC từ đó suy ra AH, SK, BC đồng quy.
b)Gọi O là hình chiếu vuông góc của A trên SE, chứng minh AO ⊥ SC. c) (SAE) ⊥ (SBC).
Bài 2 : Lấy A ∉(xOy)( ≤ 1v) sao cho AO tạo với Ox,Oy những góc bằng nhau. CMR hình chiếu của A trên (Oxy) thuộc đờng phân giác của góc này
Bài 3 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA=a và vuông góc với (ABCD). C’ D’ A D B C A’ B’ H I J
a) Chứng minh các mặt bên là những tam giác vuông.
b) M là một điểm di động trên đoạn BC, gọi K là hình chiếu của S trên DM. Tìm quĩ tích các điểm K khi M di động.
Nếu thay đáy hình vuông bởi mặt phẳng (P) thì ta có bài toán sau:
Bài 4 : Trong (P) cho hai điểm A, B phân biệt. Đoạn thẳng SA ⊥ (P). Gọi ∆ là đờng thẳng nằm trong (P) và đi qua điểm B, H là chân đờng vuông góc kẻ từ điểm S đến ∆. Chứng minh H thuộc đờng tròn cố định khi ∆ thay đổi. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 5 : Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính góc tạo bởi hai đờng thẳng AC’ và A’B.