- Với ở= (1,1), phương trình tham số của đường thẳng (đ;) qu aJ vă có phương ở; lă
Phương trình chuẩn tắc của (S) lă(S): V+ V Y— Y£ =1 (Hypeboloit 1 tầng)
9. Sự phđn loại afin câc siíu mặt bậc hai a) Định nghĩa
Hai siíu mặt bậc hai trong A4" gọi lă cùng loại nếu phương trình chuẩn tắc của chúng có cùng một dạng, cùng với 1 giâ trị k vă r như nhaụ
Nói câch khâc hai siíu mặt bậc haigojj lă cùng loại nếu phương trình chuẩn tắc của chúng hoăn toăn giống nhaụ
b) Nhận xĩt
Muốn cho định nghĩa trín có cơ sở ta phải chứng minh rằng: một siíu mặt bậc hai (S) không thể
thuộc hai loại khâc nhaụ
Thật vậy nếu siíu mặt bậc hai có phương trình dạng (¡) thì mọi tđm của (S) không thuộc (S), nếu (S). có phương trình dạng (II) thì mọi tđm của (S) đều thuộc (S), còn nếu ($) thuộc dạng (II) thì (S) không có tđm. Bởi vậy phương trình của (S) chỉ lă một trong 3 dạng chuẩn tắc đó.
Bđy giờ ta xĩt hai phương trình có cùng một dạng chuẩn tắc nhưng thuộc hai loại khâc nhau, tức lă
chúng khâc nhau bởi r hoặc k. Nhưng r chính lă hạng, còn k lă chỉ số đm quân tính của dạng toăn
phương trong phương trình đó, nín chúng đều lă những bất biến qua phĩp biến đổi tọa độ. Bởi vậy hai phương trình đó không thể lă phương trình chuẩn tắc của một siíu mặt bậc hai (S) được. c) Định lí:
Hai siíu mặt bậc hai gọi lă tương đương afin khi vă chỉ khi chúng cùng thuộc một loạị Nói câch khâc sự phđn loại câc siíu mặt bậc hai níu trong định nghĩa níu trín lă một sự phđn loại afin.
Chứng minh
Giả sử có hai siíu mặt bậc hai (S) vă (S”) cùng thuộc một loạị Điều đó có nghĩa lă có hai mục tiíu tEq; E¡} vă {Eg; E¡} sao cho phương trình của (S) đối với mục tiíu {Eo; E;} vă phương trình của (S ') đối với mục tiíu {Eq; E¡} lă phương trình chuẩn tắc hoăn toăn giống nhaụ Bđy giờ gọi ƒ lă phĩp afin của A” sao cho ƒ(E¿) = E¡ với ¡ = 0,1,...,r vă phĩp biến đổi tuyến tính liín kết của nó lă
@: A* A" biến vector EoE, của cơ sở (FoẸ} thănh EaEi CỦa CƠ SỞ {EoẸ} với ¡ = 1,2,...,?:. Từ đó
suy ra ƒ biến (S) thănh siíu mặt bậc hai mă phương trình của ƒ(S) đối với mục tiíu {Ea: E¡}giống như phương trình của (S) đối với mục tiíu {Eạ; E¡}. Vậy (S) vă (S”) cùng loại vă định lý được chứng minh..