X 6A” © ApŠ e Vm
§5 TẬP LỒI TRONG KHÔNG GIAN AFIN THỰC
1. Đoạn thẳng
Cho hai điểm P vă Q phđn biệt của không gian sin thực 4. Điểm M thuộc đường thẳng đ đi qua P vă Ợ khi vă chỉ khi với điểm Ø tùy ý thì
—
Nướng 1)
ăÔ ;aP
hay lă OM = A0P + _ A)0G, Định nghĩa:
Tập hợp những điểm M sao cho OM = A0P+ (— 2)0G, 0 <Đ< 1 được gọi lă đoạn thẳng Pq. Khi Đ = 1 ta có điểm P, khi Đ= 0 ta có điểm W còn những điểm khâc của : đoạn pQ ứng với 0 <ĐÔ <1.
Hai điểm P vă `, gọi lă hai mút của đoạn thẳng PQ. Những điểm khâc của đoạn thẳng PQ gọi lă ở
giữa P vă Q. _ _
2. Tỉ số đơn của hệ ba điểm thẳng hăng
Cho hai điểm P vă Q phđn biệt của không gian afin thực Ạ Điểm M thuộc: đường thẳng đ đi qua P, Q đồng thời M # Q khi vă chỉ khi có số k € R\} để MB = kMổ, khi đó & gọi lă tỉ số đơn của hệ 3 điểm M, P, Q thẳng hăng vă được kí hiệu k = (MPQ).
Như vậy
(MPQ) =ke© ME = kHồ Trung đ điểm M của đoạn thẳng PQ xâc định bởi tỉ số đơn 004) = =
Nếu thay đổi thứ tự câc điểm trong câch viết tỉ số đơn thì giâ trị của tỉ số đơn đó thay đổi:
— 17 — _ (MPQ)_- "4 (MPQ) = (MỌB): (PMQ) = (MPQ)—1 ï: (9PM) = 1. (MPQ) ` Chứng minh 1 (MPQ) = k © MB = kMỔ © MỒ = _MP =© (MọP) = = = ro (MPQ) = k © MP = kMQ © PM = k(PM — ?9) © Ph = = r-iô« c© (PMQ) = = to __MPQ)_- (MPQ) —1 Ỷ (MPQ) =k © MP = kMQ © MB + PỢ = khổ + Pộ © NÓ = - kMồ + Pồ © (1—k)Mổ = Pợ © QP = (1 —k)QM © (QPM) =1—k=1-(MPQ)
Đối với trường hợp hai trong ba điểm M, P, Q trùng nhau t ta quy Ước ˆ
(MMQ) =0, (MPM) = œ, (MPP) = 1
3. Tập lồi
-a] Định nghĩa
Một tập X trong không gian afin thực A4 gọi lă một tập lồi nếu vVP,Q€X thì đoạn thẳng PQ nằm hoăn toăn trong X,
a)Tậplô .. t b) Tập không lồi
b) Ví dụ.
Mỗi rn-phẳng ơ trong không gian afin thực 4lă tập lồi, vì nếu P, „€ lă hai điểm ! phđn biệt thuộc a ơ thì toăn bộ đường thẳng PQ thuộc ø.
Do đó đoạn thẳng PQ nằm hoăn toăn trong ø. Vậy ø lă một tập lồị
1.32 (Bùi tập hình học cao cấp ~ Nguyễn Mộng Hy)
Chứng minh rằng với hai điểm P, Q phđn biệt, tập những điểm M thoả ME = : kMQ với k < 0 h một tập lồị .
Giải:
Với hai điểm P,Q phđn biệt, tập những điểm M sao cho MP = kMQ với k < 0 lă tập những điểm thuộc đường thẳng PQ vă ở giữa P vă Q. Đó chính lă những điểm trong