- Giao của siíu phẳng P,Q,R với mặt phẳng (d; d;) lă câc
Phĩp afin ƒ:4 —A biến một đường thẳng thănh một đường thẳng.
e) Định lí:.
Phĩp afin ƒ: A4 > A bảo tồn tỉ số đơn của câc hệ ba điểm thẳng hăng nghĩa lă nếu P' = ƒ(P),
g' =ƒ(Q), R' = ƒ(R) vă P,Q, R thẳng hăng thì P', Q", R' thẳng hang vă (PQR) = (P'Q'R').
Chứng minh c s _ _ _
Gọi ø lă phĩp biến đổi tuyến tính liín kết với phĩp afin ƒ vă giả sử PQ = APR thì P”Q” = g(PỞ) = @(APR) = Aø(PR) = AP'RỶ. Từ đó ta suy ra nếu P, 0, R thẳng hăng thì P',Q',R' thẳng hăng vă @(APR) = Aø(PR) = AP'RỶ. Từ đó ta suy ra nếu P, 0, R thẳng hăng thì P',Q',R' thẳng hăng vă
(PQR) = (P'Q'R') =Ă. _
5. Phương trình của phĩp biến đổi afin _
Trong 4” cho mục tiíu afin {Eq; E¡}. Gọi ƒ: A" ¬ A" lă một phĩp biến đổi afin. Muốn lập phương trình của phĩp biến đổi afin ƒ, ta tìm hệ thức liín hệ giữa tọa độ (x,+;,...,x„) của một điểm
X € 4” vă tọa độ (x1, x¿, ...,x„) của điểm ƒ(X) đối với mục tiíu đê chọn.
Gọi E; = ƒ(E;) với ¡ = 0,1,...,rr. Vì ƒ lă phĩp biến đổi afin nín n + 1 điểm Eạ, E, ..., E„ độc lập vă tạo nín một mục tiíu {Eg; E¡}. Giả sử € lă ma trận chuyển từ mục tiíu {Eo; E;} sang mục tiíu tEạ; E¡} vă (bị, bạ, ..., bạ) lă tọa độ của điểm Eọ = ƒ(E) đối với mục tiíu {Eạ; E;}. Ta cần chú ý rằng C cũng lă ma trận chuyển từ cơ sở {EoE,Ì sang cơ sở {EsẸ} với ỉ = 1,2,..., Tú.
Gọi X” = ƒ(X), theo định nghĩa của ƒ, ta có (EoX) = E¿X”. Nếu (Xạ,%a,..., *„) lă tọa độ của X đối
với mục tiíu {Eo; E¿} thì
_ _EoX =xiEgEi + x;EoE,+...+x„EoE,
Do đó F¿X” = @(EoÔ) = xiEaEj + x,E)E7+... +x„ Ep Eạ.
Điều đó có nghĩa lă điểm X' có tọa độ đối với mục tiíu {EsE:} lă (X,*¿,...,X„). Ta suy ra rằng sự liín hệ giữa câc tọa độ (x;) vă (x) lă sự liín hệ giữa câc tọa độ của cùng một điểm X' đối với hai mục tiíu khâc nhau (H.2). Bởi vậy theo công thức đổi mục tiíu ở mục 3, băi 2, chương l ta có
lx]=€flzl+[b] (9)
trong đó [x'], [x], [b] lần lượt lă ma trận cột tọa độ của câc điểm X,X', Eạ đối với mục tiíu {EoF,}- Ma trận CÏ không suy biến được gọi lă ma trận của phĩp afin ƒ đê cho vă phương trình (1) ở trín lă phương trình của phĩp afin đó. Ta chú ý rằng đối với cơ sở {2,} = {EaF,}, phĩp biến đổi tuyến tính œ (liín kết với phĩp afin ƒ nói trín) có phương trình lă:
lxz]= cTB]
trong đó [x] vă [x”] lă ma trận cột tọa độ của câc vectơ # vă (3) đối với cơ sở {Z;} của không gian vectơ Ẩ.
Ngược lại đối với mục tiíu đê chọn {Eạ; E;} mỗi phương trình có dạng [x'] = B[x] + [b'], trong đó B lă một ma trận vuông cấp n không suy biến, đầu lă phương trình của một phĩp biến đổi afin năo
- đó. Thật vậy, gọi (b, bạ,..., b„) lă tọa độ của điểm Eạ đối với mục tiíu {Eo; E;} vă {E¿; E} lă mục
tiíu afin sao cho B” lă ma trận chuyển từ (Eq; E¡} sang {Eạ; E¡}. Khi biết B7 vă [b] thì mục tiíu
tEọ; E¡} hoăn toăn được xâc định. |
Bđy giờ gọi ƒ: A" ¬ An lă phĩp afin sao cho ƒ(E;) = E¡ với ¡ = 0,1,...,rn thì dễ dăng thấy rằng phương trình của phĩp afin ƒ đối với mục tiíu {Eo; E;} chính lă phương trình [x'] = B[x] + [b'] đê
chọ _
Ví dụ 1:
Một phĩp tịnh tiến ty: 4A" —¬ Ađược xâc định bởi phĩp đồng nhất trong ƒ* (lă không gian vectơ liín kết của 4”) nín ma trận của nó lă ma trận đơn vị. Vậy phương trình của phĩp tịnh tiến có dạng
_ [x]= Iz] + [b]
trong đó [b] lă ma trận cột tọa độ của điểm Eọ = tg(Fạ) với EpEô = Ö. .
Xĩ dụ 2:
Trong mặt phẳng afin A2 đối với mục tiíu đê chọn, hêy lập phương trình của phĩp biến đổi afin f biến câc điểm Ă1,0), (0,2), C(—3,0) lần lượt thănh câc điểm A12,3), B'(—1,4), C'(—2,—1). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Câch 1:
Phương trình của phĩp afin ƒ có dạng tổng quât lă
Ñ = đ1⁄¡ † đ2*x¿ + C¡ h ] — R n] [Ĩ]
%¿ = bị#q + Bạx; + cạ #;|Ì lbị b¿] Íc;
Ta tìm câc số đa, aạ, bạ, bạ, cạ, c¿ của phĩp afin f. Theo giả thiết
Ă1,0) ¬ Á(2,3) 8(0,2) > B'(—1,4) 8(0,2) > B'(—1,4) C(—3,0) ¬ €'(—2,—1) Nín ta có câc hệ phương trình 2=ay+(ŒC phước ~1= 2q; +( prxa ~2 = —3a1 +( _ = —3Ù1 +c¿
Ta được một hệ gồm 6 phương trình 6 ẩn. Giải hệ phương trình năy ta được phương trình của phĩp afin cần tìm lă
M =#⁄¡—#¿+1 X2 =*;+x;+2 X2 =*;+x;+2
Câch 2:
Gọi ø lă phĩp biến đối tuyến tính sinh ra phĩp biến đổi afin ƒ, ta có
2(38) =TP', g(ÔỈ) = Tre! AB = (—1,2), ÁB” = (~3,1) AB = (—1,2), ÁB” = (~3,1) AẺ = (—4,0), Á€? =(—4,4)
Ta cần tìm ma trận của phĩp biến đổi tuyến tính @ vì đó cũng lă ma trận của phĩp biến đổi afin Ƒ tương ứng sinh ra bởi phĩp biến đổi tuyến tính @ đó.
Ta có:
ọ(3) = (~, + 28,) = —ểi + 2#) = ÁE” = —3ẻ, + ẽ, 0(ÔỈ) = $(—4ễ,) = —4ễi = AE = —4ễ, T48, 0(ÔỈ) = $(—4ễ,) = —4ễi = AE = —4ễ, T48, Do đó [ae ổ; = ~ểi + Š, .Ƒ Ma trận chuyển C€ từ cơ sở {ể¿, ể;} sang cơ sở {ể;, ể;
_[F[1 l1Ị_. ¬-r_Ị1 -1
c=Í ¡Ì=>€ =Í lÌ
Phương trình của phĩp biến đổi afin ƒ nhận ø lă phĩp biến đổi tuyến tính liín kết có dạng
1⁄1] _ [1 —1I[Z11, [ei