- Mục tiíu cũ (4;AB,AP) | Mục tiíu mới (C; Cổ,CD)
chứng minh được câi phẳng đó lă duy nhất }
1. Định nghĩa
Cho không gian afin 4 liín kết với không gian vectơ Ẩ. Gọi ¡ lă một điểm của A vă ở lă một không gian con của Ô. Khi đó tập hợp những điểm M thuộc 4 sao cho TM thuộc ở được gọi lă câi phẳng gian con của Ô. Khi đó tập hợp những điểm M thuộc 4 sao cho TM thuộc ở được gọi lă câi phẳng
gfin œ đi qua điểm I vă có phương lă ở
œ=[M €A|TM e ô}
Nếu ở có số chiều bằng m thì ữ gọi lă phẳng mm chiều hay còn gọi lă m-phẳng.
Như vậy 0-phẳng chính lă điểm, 1-phẳng gọi lă đường thẳng, 2-phẳng lă mặt phẳng còn n-phẳng lă
không gian afin œ chiều A” chính lă 4*. Nếu dim A = nø thì (ae — 1)-phẳng còn được gọi lă siíu phẳng của không gian đó.
Chú ý:
Trong định nghĩa của câi phẳng nói trín, điểm ï không đóng vai trò gì đặc biệt so với câc điểm khâc
của phẳng. Thật vậy giả sử ø lă câi phẳng qua ¡ vă K lă một điểm năo đó của ø. Điều đó có nghĩa lă
TẾ € ẩ. Bđy giờ điểm M € ø khi vă chỉ khi TM € ở hay TM — TR € ở tức lă khi vă chỉ khi KM e đ.
Điều đó chứng tỏ điểm K có thể đóng vai trò của điểm Ï. 2. Định lí
Nếu ø lă m-phẳng của không gian afin A vă có phương ở thì ø lă không gian afin m chiều liín kết với không gian vectơ ở.
Chứng minh
Giả sử ø lă m-phẳng đi qua điểm [ vă có phương ở. Rõ răng ø không rỗng vì nó chứa điểm ï. Với mọi
cặp điểm M,N của ø ta thấy vectơ MN € Ẩ. Ta có MN = ƒ(M,N) € ẨÔ. Theo định nghĩa của ø thì
TM. cô, TÑ ô, từ đó suy ra MÑ € ở. Vậy lă với mọi cặp điểm có thứ tự M,N ta có một vectơ
tương ứng MN € ở. Ta có ânh xạ
Ƒƒ:zxa¬ở
Ânh xạ ƒ” năy thỏa mên hai tiín đề ï) vă ii) của không gian afin. Tiín đề i) đúng vì được suy ra từ định
nghĩa của phẳng, còn tiín đề ii} đúng vì nó đúng trín toăn bộ không gian afin 4. Vậy (ø, Ƒ', 8) lă một
không gian afin m chiều liín kết với không gian vectơ ở. 3. Định lí
Qua + 1 điểm của không gian afin A có một vă chỉ một m-phẳng (m > 0). Chứng minh
Giả sử Âo, 4a,..., A„„ lă r + 1 điểm độc lập của không gian afin A liín kết với không gian vectơ Ô. Khi đó hệ AoÂn, ÂoÊ¿,. . ‹, o4 lă hệ n vectơ đôc lập tuyến tính. Gọi đ lă hệ không gian vectơ con của Ẩ nhận m vectơ đó lă cơ sở. Bầy giờ gọi ø lă câi phẳng đi qua Âa có phương lă ở. Vì Âo4, cổ nín 4; € ø với ¡ = 1,2,...,rm. Vậy œø lă câi phẳng đi qua m + 1 điểm độc lập đê cho vă ta dễ dăng
chứng minh được câi phẳng đó lă duy nhất. _ } }
Hệ quả:
m + 1 điểm của không gian afin A lă độc lập khi vă chỉ khi chúng không cùng thuộc một (m — 1)- phẳng (m > 1).
Chú ý:
Vì z lă một không gian afin m-chiều liín kết với không gian vectơ con ở với số chiều bằng rm nín ta có thể kí hiệu œ = Am vă đ = V".