Với hai điều kiện trín ta dễ dăng chứng minh được tập hợp F chứa phĩp biến đổi đồng nhất e = ldỵ Thật vậy với ƒ thuộc F { ƒ tồn tại vì F không rỗng) thì theo điều kiện thứ hai có ƒ~ cũng thuộc F vă theo điều kiện thứ nhất thì e = ƒoƒ T1 thuộc F. Phĩp đồng nhất e đóng vai trò phần tử đơn vị trong nhóm Ƒ vì eoƒ = ƒoe = ƒ đối với mọi ƒ thuộc F.
Ngoăi ra, tích câc phĩp biến đổi có tính chất kết hợp.
Ví dụ 1:
Chứng minh tập hợp tất cả câc phĩp biến đổi afin của không gian afin A lập thănh một nhóm với phĩp toân lă tích hai ânh xạ.
Giải:
Ta có Ø # A lă không gian afin
? =Ứf:A— A| ƒ lă phĩp afin} F # Ø vì tồn tại phĩp biến đổi đồng nhất e € Z.
Vƒ,g€F,gsƒ €F,vì tích hai song ânh lă một song ânh.
V.ƒ,g,h € F, ta luôn có (ƒ s g) ø h = ƒ s (g s h), e có tính chất kết hợp.
Vƒ€F,3ecF,(elă phĩp đồng nhất) sao cho e o ƒ = ƒ se =ƒ.
Vì ƒ lă phĩp biến đổi afin thuộc F nín ƒ~} cũng lă một phĩp biến đổi afin thuộc F. Do vậy (F,e) có phần tử nghịch đảọ
Vậy (F,s) lă một nhóm.
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng tập hợp câc phĩp tịnh tiến trong không gian 4” lăm thănh một nhóm
Giải: _
Ta biết phĩp tịnh tiến lă một phĩp afin. Do đó tập hợp câc phĩp tịnh tiến lă một tập con của tập câc phĩp biến đổi afin. Gọi ƒ" lă không gian vectơ liín kết của Á.
Với vectơ đ € V”, ta có phĩp tịnh tiến tz vă Ứng với vectơ b € V”, ta có phĩp tịnh tiến tr. Giả sử MC€4A", ta có
tạ(M) =M' <=> MM' = ô
Ƒ}———
tr(M') = tr[tz(M)] = M'” <=> M 'M” = B
Ta có MM" = MM + M'M” = ô +B =ẻ
Vậy tích tợ. tz lă một phĩp tịnh tiến tz trong đó MM” = ẻ = ô+b, Bđy giờ ta cần chứng minh phĩp tịnh tiến tạ có nghịch đảọ
Ta có tz(M) = M' <=> MMÌ = ô <=> M'M = -ô Như vậy tz”(M') =M <=> M'N = -ô. Như vậy tz”(M') =M <=> M'N = -ô.
Vậy t~” cũng lă phĩp tịnh tiến vă ta kí hiệu t_z = tz1
Vậy trong không gian afin A”,tập hợp câc phĩp tịnh tiến lăm thănh một nhóm.
c} Gọi F' lă một nhóm biến đổi của không gian M vă Hì, H; lă hai hình năo đó của M. Khi đó hình Hì gọi lă tương đương với hình H; đối với nhóm F nếu có một phĩp biến đổi ƒ thuộc F biến hình H;
thănh hình Hạ. Ta kí hiệu ƒ(H;) = Hạ hay H, Đụ,
Từ định nghĩa trín, ta dễ dăng suy ra: _
- Một hình H bất kì của M luôn luôn tương đương với chính nó (đối với nhóm F).
Thật vậy, vì ta có phĩp đồng nhất e € F vă e(H) = H. _
P F (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Nếu Hạ = Hạ thì H, Oh,
Thật vậy, nếu có ƒ € F sao cho ƒ(H;) = H; thì có ƒ*}€Fđểƒ~1(H;) = Hạ.
, F F F