- Nguyờn tắc 3: Đảm bảo tớnh tớch cực húa hoạt động học tập của học sinh
63 60cos 4 5(2 cos4 1) 58(1 cos42 cos 4) 48cos 456 cos
3.2.4. Biện phỏp 4: Xõy dựng nhiệm vụ khỏm phỏ để định hướng cho học sinh vượt qua cỏc chướng ngại trong học tập
học sinh vượt qua cỏc chướng ngại trong học tập
3.2.4.1. Mục tiờu biện phỏp
Giỳp học sinh vượt qua chướng ngại nảy sinh do sai lầm về nhận thức trong quỏ trỡnh học tập Đại số và Giải tớch lớp 11 THPT
3.2.4.2. Cơ sở và vai trũ của biện phỏp
Khỏi niệm chướng ngại trong khoa học luận do G. Bachelard đưa vào cuốn “Sự hỡnh thành trớ tuệ khoa học” ( 1977).
Theo Nguyễn Bỏ Kim, "để hiểu rừ hơn về chướng ngại, điều quan trọng là phải phõn biệt hai từ dường như đồng nghĩa trong từ điển, đú là khú khăn và chướng ngại. Khi một vấn đề mới được đặt ra, việc giải quyết nú cú thể cần hay khụng cần sự tổ chức lại một lớ thuyết hay sự điều chỉnh quan niệm về một số khỏi niệm toỏn học cú liờn quan. Ta núi cú một khú khăn nếu vấn đề được giải quyết mà khụng đũi hỏi xem xột lại quan điểm của lớ thuyết đang xem xột hay của những quan niệm hiện hành. Ta núi cú một chướng ngại nếu vấn đề chỉ được giải quyết sau khi ta đó cấu trỳc lại những quan niệm hay thay đổi quan điểm lớ thuyết" [20; tr.236].
Tỏc giả Nguyễn Bỏ Kim phõn biệt hai loại chướng ngại: Chướng ngại trỏnh được và chướng ngại khụng trỏnh được.
Chướng ngại trỏnh được (cũn gọi là chướng ngại sư phạm) liờn hệ với chuyển hoỏ sư phạm của tri thức. Đú là một kiểu chướng ngại cần được đặc biệt chỳ ý, bởi vỡ nú nảy sinh do những biện phỏp sai lầm về mặt sư phạm. Nú cú thể trỏnh được nếu ta thực hiện những biện phỏp chuyển hoỏ sư phạm hợp lớ.
Chướng ngại khụng trỏnh được liờn hệ với sự phỏt triển tõm lớ của đối tượng hoặc sự phỏt triển lịch sử của khỏi niệm. Tuy khụng trỏnh được nhưng chỳng cú thể được xoỏ bỏ ở những thời điểm thớch hợp bằng cỏch tổ chức cho người học hoạt động trong những tỡnh huống thớch hợp [20; tr.238].
Giỏo sư Đào Tam cho rằng, cú ba dạng chướng ngại sư phạm và chướng ngại khoa học luận:
Dạng thứ nhất: Do cỏc khỏi niệm, cỏc quan hệ, cỏc qui luật toỏn học cú mối liờn hệ chằng chịt bờn trong nội bộ mụn Toỏn, giữa cỏc chương mục khỏc nhau và liờn hệ với cỏc mụn khỏc, trong khi đú giỏo viờn chỉ khai thỏc một phần nào đú kiến thức về mối liờn hệ núi trờn. Khi gặp những tỡnh huống vận dụng kiến thức hoặc tỡm tũi cỏc kiến thức mới thường nảy sinh chướng ngại nhận thức, thể hiện qua những khú khăn về huy động kiến thức để giải quyết vấn đề.
Dạng thứ hai: Chướng ngại sư phạm nảy sinh do quỏ trỡnh dạy học Toỏn ở trường phổ thụng cũn thiếu quan tõm khai khỏc cỏc ứng dụng khỏc nhau của kiến thức mụn Toỏn vào thực tiễn.
Dạng thứ ba: Chướng ngại sư phạm nảy sinh do trong quỏ trỡnh dẫn tới tri thức cho học sinh khụng được tường minh, nhiều kiến thức cũn thừa nhận [20].
Theo chỳng tụi,
Ta đó biết, cỏc chướng ngại sư phạm nảy sinh do những biện phỏp sai lầm về mặt sư phạm. Bởi vậy, chỳng tụi đề xuất cỏch thực hiện biện phỏp như sau:
Bước 1. Khi dạy nội dung xỏc suất cần xỏc định cỏc chướng ngại và cỏc sai lầm thường gặp của học sinh thụng qua vớ dụ và phản vớ dụ
Sai lầm, chướng ngại trong việc nắm ngữ nghĩa và cỳ phỏp
Theo A.A.Stụliar thỡ, khụng ớt học sinh cũn yếu trong việc nắm cỳ phỏp của ngụn ngữ Toỏn học. Học sinh vẫn hay nhầm giữa kớ hiệu với khỏi niệm được định nghĩa.
Theo Nguyễn Bỏ Kim: “Trong Toỏn học, người ta phõn biệt cỏi kớ hiệu và cỏi được kớ hiệu, cỏi biễu diễn và cỏi được biễu diễn. Nếu xem xột phương diện những cỏi kớ hiệu, những cỏi biễu diễn, đi vào cấu trỳc hỡnh thức và những quy tắc hỡnh thức để xỏc định và biến đổi chỳng, thỡ đú là phương diện cỳ phỏp. Nếu xem xột những cỏi được kớ hiệu, những cỏi được biễu diễn, tức là đi vào nội dung, nghĩa của những cỏi kớ hiệu, những cỏi biễu diễn thỡ đú là phương diện ngữ nghĩa” [37, tr. 54].
Nhiều thuật ngữ và kớ hiệu toỏn học đó được mọi người thừa nhận và sử dụng thống nhất. Nhưng do quan niệm hoặc do thúi quen, một số nhà Toỏn học hoặc một số quốc gia cú thể sử dụng những kớ hiệu và thuật ngữ khỏc nhau ứng với cựng một khỏi niệm, hoặc sử dụng cựng một thuật ngữ hoặc cựng một kớ hiệu ứng với những khỏi niệm khỏc nhau. Chẳng hạn: Với cựng khỏi niệm số tổ hợp chập k của tập hợp cú n phần tử được kớ hiệu
là k n C hoặc n k ữ
. G.V.Leibnitz vớ ngụn ngữ kớ hiệu như sợi chỉ đỏ của nàng
Ariane, ụng cho rằng: “Chỳng ta sử dụng kớ hiệu khụng phải chỉ để diễn đạt sự suy nghĩ của ta cho người khỏc, mà cũn để đơn giản hoỏ quỏ trỡnh suy nghĩ của chỳng ta” [22, tr. 25]
Vớ dụ 6: Do sự lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và kớ hiệu dựng để chỉ số đối tượng ấy nờn học sinh thường hay núi “Tổ hợp chập k của n là
k n
C ”, hoặc “Chỉnh hợp chập k của n là k n
A ”, trong khi đú núi đỳng phải là “ SốTổ hợp chập k của n là k
n
C ”, hoặc“Số Chỉnh hợp chập k của n là Ak n”,
Vớ dụ 7: Với ngụn ngữ của Toỏn học cổ điển, trong lớ thuyết tổ hợp người ta hay sử dụng cụm từ “n phần tử”. Với cỏch núi này, ta cần hiểu: hoặc n phần tử là khỏc nhau (chẳng hạn xột n điểm trong khụng gian hay mặt phẳng), hoặc trong đú cú một phần tử “bằng nhau” (chẳng hạn: xem 13 chữ số, trong đú 5 chữ số 1, 3 chữ số 2, 2 chữ số 2. 1 chữ số 4, 2 chữ số 5). Nhưng ta lại cần nhớ rằng trong lớ thuyết tập hợp, núi rằng một tập hợp gồm n phần tử đú là phải khỏc nhau. Khi liệt kờ danh sỏch cỏc phần tử của một tập hợp thỡ mỗi phần tử được nờu lờn đỳng một lần. Chẳng hạn với bài toỏn:
Viết tập hợp cỏc chữ số cú mặt trong cú mặt trong số 124325223441 thỡ tập hợp đú là A = {1, 2, 3, 4, 5 } ( gồm 5 phần tử khỏc nhau)
Nhưng theo quan điểm của Lớ thuyết tổ hợp, thỡ số trờn thỡ số trờn gồm 12 chữ số (12 phần tử) như đó núi.
Chớnh vỡ thúi quen của cỏch hiểu theo lớ thuyết tập hợp mà học sinh mắc phải sai lầm khi giải Toỏn tổ hợp. Chẳng hạn với bài toỏn sau:
Với cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cú thể viết thành bao nhiờu chữ số cú 9 chữ số, trong đú mỗi số chữ số 1 cú mặt 3 lần và mỗi chữ số khỏc cú mặt đỳng một lần?
Thụng thường học sinh hiểu theo lớ thuyết tập hợp và giải như sau: Gọi số thoó món là a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9
Số a1 cú 6 cỏch viết {1, 2, 3, 4, 5, 6}, chữ số a a a a a a a a2 3 4 5 6 7 8 9 cú 8! cỏch viết.
Nếu như coi 3 chữ số 1 là khỏc nhau thỡ số a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9 cú 6.8! cỏch viết.
Vậy số a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9 cú 6.8! 40320
3! = cỏch viết.
Với cỏch giải trờn học sinh mắc phải sai lầm: Nếu coi 3 chữ số 1 là khỏc nhau thỡ a1 phải cú 8 cỏch viết. Nghĩa là phải giả sử 3 chữ số 1 khỏc nhau ngay từ đầu.
Do đú lời giải đỳng sẽ là:
Nếu như coi 3 chữ số 1 là khỏc nhau thỡ số a1 cú 8 cỏch viết {1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6} và số a a a a a a a a2 3 4 5 6 7 8 9 cú 8! cỏch viết
Với 3 vị trớ nào đú của 3 chữ số 1 sẽ cú 3! hoỏn vị như nhau Vậy số a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9 cú 8.8! 53760
3! = cỏch viết
Vớ dụ 8: Với những bài toỏn đếm ta hay gặp cụm từ “cú thể lập được bao nhiờu số gồm k chữ số khỏc nhau”, với cụm từ này thỡ dụng ý của tỏc giả viết sỏch là số gồm k chữ số a a a1 2... k thỡ cỏc ai (i=1,k) phải khỏc nhau từng đụi một. Tuy nhiờn, cú khụng ớt người đọc, học sinh vẫn hiểu như sau: Cỏc số gồm k chữ số là khỏc nhau, tức là a a a1 2... k ≠bb b1 2... k.
Cỏc bài toỏn Tổ hợp trong cỏc đề thi Đại học ta vẫn thường gặp, chẳng hạn như:
Trường Đại học An ninh năm 1997: Từ 7 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 cú thể lập được bao nhiờu chữ số chẵn cú 5 chữ số khỏc nhau.
Trường đại học Ngoại ngữ - Tin học, khối D - 2000: Hỏi từ 9 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cú thể lập được bao nhiờu chữ số gồm 5 chừ số khỏc nhau sao cho trong cỏc chữ số đú cú mặt chữ số 1.
Phải chăng để trỏnh trường hợp học sinh hiểu sai dụng ý của tỏc giả, trong cỏc bài tập hay cỏc đề thi nờn ghi rừ. Chẳng hạn: Với cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cú thể thành lập được bao nhiờu số tự nhiờn, mà mỗi số cú 5 chữ số khỏc nhau vàtrong đú nhất thiết phải cú chữ số 5.
Vớ dụ 9: Khụng phõn biệt được A và ΩA, biến cố A và tập con ΩA của
Gieo hai con sỳc sắc cõn đối. a) Mụ tả khụng gian mẫu
b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trờn mặt xuất hiện của hai con xỳc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 7”. Liệt kờ cỏc kết quả thuận lợi cho A, tớnh P(A)
Họ sinh sẽ giải như sau:
a) Khụng gian mẫu là Ω ={( )a b a b N; / , ∈ *,1≤ ≤a 6,1≤ ≤b 6} , khụng gian mẫu cú 36 phần tử
b) Cỏc kết quả thuận lợi cho A là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6;1 , 5;1 , 5;2 , 4;1 , 4;2 , 4;3 , 3;1 , 3;2 , 3;3 , 3;4 , 2;1 , 2;2 , 2;3 , 2;4 , 2;5 , 1;1 , 1;2 , 1;3 , 1;4 , 1;5 , 1;6 A = ,
Biến cố A gồm 21 phần tử. Vậy P(A) = 21 36 =
7 12
Lời giải trờn đó mắc sai lầm ở chỗ học sinh đó đồng nhất biến cố A với tập ΩAmụ tả biến cố A do khụng nắm vững bản chất cỏc khỏi niệm, học
sinh cú cỏch nhỡn rất hỡnh thức. Tuy nhiờn kết quả vẫn đỳng.
Vớ dụ 10: Sau khi biết kn ( )
n! C
k! n k !
=
− (1), học sinh cú thể chứng
minh được cụng thức Cn kn− =Ckn (2) bằng cỏch ỏp dụng trực tiếp cụng thức (1). Tuy nhiờn, ớt học sinh cú thể chứng minh được (2) bằng cỏch lần lại nghĩa ban đầu của k
n C : k n C là số tập con cú k phần tử của một tập hợp X gồm n phần tử, n k n
C − là số tập con cú n - k phần tử của tập X. Nếu tỏch ra từ X một tập con cú k phần tử thỡ cũn lại phần bự cú n - k phần tử và ngược lại. Như vậy nếu một tập X (gồm n phần tử) cú bao nhiờu tập con gồm k (
k n≤ ) phần tử thỡ sẽ cú bấy nhiờu tập con gồm n k− phần tử.
Trong toỏn học nắm vững được ngụn ngữ cỏc kớ hiệu toỏn học cũng cú nghĩa là nắm vững được những đặc trưng của tư duy toỏn học.
Sai lầm trong việc lựa chọn cỏc khỏi niệm, quy tắc để vận dụng vào giải Toỏn.
Kiến thức về Tổ hợp và Xỏc suất cú nhiều khỏi niệm, quy tắc mới mà khi vận dụng vào giải Toỏn học sinh rất hay nhầm lẫn và dẫn đến sai lầm.
Vớ dụ 11: Hai quy tắc đếm cơ bản của Đại số tổ hợp là quy tắc cộng và quy tắc nhõn, trong khi vận dụng vào giải Toỏn học sinh vẫn thường nhầm. Chẳng hạn bài toỏn sau:
Trong một lớp học cú 20 nam và 23 nữ. Giỏo viờn chủ nhiệm cần chọn 2 học sinh: Một bạn nam và một bạn nữ đi dự lễ kỉ niệm mừng Quốc khỏnh. Hỏi giỏo viờn đú cú bao nhiờu cỏch chọn?
Sai lầm phổ biến học sinh thường mắc phải khi giải bài này là dựng quy tắc cộng, cho rằng cú 20 + 23 = 43 (cỏch chọn). Thực ra ở đõy phải dựng quy tắc nhõn là cú 20.23 = 460 (cỏch chọn).
Vớ dụ 12: Với hai khỏi niệm Chỉnh hợp và Tổ hợp, học sinh thường
gặp khú khăn khi phõn biệt hai khỏi niệm này nờn dẫn đến sai lầm khi vận dụng vào giải cỏc bài tập.
Với bài toỏn: Một dạ tiệc cú 10 nam và 6 nữ đều khiờu vũ giỏi. Người ta chọn 3 nam và 3 nữ để ghộp thành 3 cặp nhảy. Hỏi cú bao nhiờu cỏch ghộp 3 cặp nhảy.
Đa số học sinh sẽ giải như sau:
Mỗi cỏch sắp thứ tự 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một chỉnh hợp chập 3 của 10, nờn số cỏch chọn 3 bạn nam cú thứ tự là 3 10 8.9.10 720 A = = cỏch Tương tự số cỏch chọn 3 bạn nữ cú thứ tự là 3 6 4.5.6 120 A = = cỏch Vậy số cỏch bố trớ 3 cặp nhảy là 3 3 10. 6 720.120 86400 A A = =
Cỏch giải này học sinh mắc phải sai lầm: Tại sao lại sắp thứ tự cả 3 bạn nam và 3 bạn nữ. Giả sử cú 3 bạn nam theo thứ tự là A, B, C ghộp nhảy với 3 bạn nữ theo thứ tự là a, b, c tức là ta cú cặp nhảy (A, a), (B, b),
(C, c). Nếu lấy thứ tự khỏc của 3 bạn nam là A, C, B và thứ tự khỏc của 3 bạn nữ là a, c, b thỡ ghộp 3 cặp nhảy là (A, a), (C, c), (B, b) vẫn là cỏch ghộp 3 cặp nhảy trước. Sai lầm dẫn tới số cỏch ghộp lớn hơn thực tế vỡ cú những cỏch ghộp 3 cặp nhảy được tớnh nhiều lần.
Lời giải đỳng là:
Mỗi cỏch chọn 3 bạn nam trong 10 bạn là một tổ hợp chập 3 của 10 nờn số cỏch chọn là 3 10 C . Tương tự số cỏch chọn 3 bạn nữ trong 6 bạn nữ là 3 6 C
Với 3 bạn nam và 3 bạn nữ được chọn ta xem cú bao nhiờu cỏch ghộp thành 3 cặp nhảy (tất nhiờn mỗi cặp gồm một nam và một nữ)
Giả sử 3 bạn nam là A, B, C và 3 bạn nữ là a, b ,c thỡ cứ mỗi cỏch ghộp 3 cặp nhảy chẳng qua là một hoỏn vị của 3 nữ mà thụi (Tất nhiờn cú thể coi là một hoỏn vị của 3 bạn nam thỡ kết quả vẫn thế). Vậy số cỏch ghộp 3 cặp nhảy cho 6 bạn này là 3!.
Do đú, số cỏch bố trớ 3 cặp nhảy là 3 3
10. .3! 144006
C C =
Khú khăn trong việc nhận thức cỏc suy luận hợp lớ trong sự phõn biệt với cỏc suy luận diễn dịch.
Trong mối liờn hệ logic của Toỏn học ứng dụng, khi học Lớ thuyết xỏc suất học sinh buộc phải làm việc với cả suy luận diễn dịch lẫn suy luận hợp lớ; thờm vào đú cũng tại thời điểm này, cỏc em đó và đang phải rốn luyện sử dụng cỏc suy luận diễn dịch. Do đú làm thế nào để học sinh nhận thức được cỏc suy luận hợp lớ trong sự phõn biệt với cỏc suy luận diễn dịch? Đồng thời làm thế nào để giỳp cỏc em sử dụng kết hợp hai suy luận này trong quỏ trỡnh học Xỏc suất?
Suy luận hợp lớ: “là suy luận cú bao hàm những khỏi niệm hoặc những khẳng định khụng được xỏc định một cỏch thật chớnh xỏc và đơn trị (những khỏi niệm hợp lớ hoặc những khẳng định hợp lớ), nhưng nếu ỏp dụng nú với
độ chớnh xỏc thớch hợp (trong hoàn cảnh mà nú được ỏp dụng vào), thỡ vẫn cú khả năng dẫn đến kết quả chấp nhận được” [16, tr. 22].
Suy luận diễn dịch (hay cũn gọi là suy diễn hay suy luận chứng minh) là suy luận theo những quy tắc (quy tắc suy diễn) xỏc định rằng, nếu tiờn đề (cỏc tiờn đề) là đỳng thỡ kết luận ra cũng đỳng. Cỏc quy tắc suy diễn núi đến ở đõy là quy tắc suy diễn của Logic hỡnh thức. “Suy luận chứng minh là suy luận đỏng tin cậy, khụng chối cói được và dứt khoỏt” [28, tr. 5]
Nhà sư phạm Xụviết V. V. Firsov đó chỉ rừ rằng: “Việc dạy học một số yếu tố của lớ thuyết xỏc suất ở tường phổ thụng (của Liờn Xụ trước đõy) gặp phải những khú khăn ngầm, mà trong cuộc thử người ta khụng chỳ ý giải quyết