M Chương 9: Các Bài Tốn Tối Ưu Tổ Hợp Khác
mM Chương 9: Các Bài Tốn Tối Ưu Tế Hợp Khác
các đỉnh xác định tạo thành khởi điểm cho bộ giải mã, bộ này (1)
xây dựng đổ thị con do các đỉnh này gây ra; (2) tính tốn máy cây Ï bắc cầu tối thiểu cho đồ thị con này; (3) xây. dựng (từ cây bắc cầu tối thiểu này một đồ thị con khác bằng cách thay mỗi cạnh bằng một lộ ' trình ngắn nhất-tương ứng trong đỏ thị gốc; (4) tính-tốn một cây bắc cầu tối thiểu cho để thị con cố được; và (5) tính tốn cây Steiner bằng cách xĩa lấn lượt (từ cấy bắc cầu tối thiểu mới nhất) tất cả các
đỉnh khơng cĩ trong danh sách gốc các đỉnh cấp 1.
Bài tốn phủ tập hợp (SCP) là bài tốn phủ các hàng của một
ma trận nhị phân n xÈ, A = (ay), bằng một, tập con các cột với chỉ
phí tối thiểu; bài tốn cĩ nhiều ứng đụng thực hành (vị trí của các phương tiện, lập thời biểu nhĩm làm việc, vv...). Mỗi cột 1 <j <& cĩ
kết hợp chỉ phí c¿ như vậy SCP cĩ thể được diễn tả là:
> va:
với x; biểu thị một biến quyết định nhị phân (x;= 1 nếu và chỉ nếu
cột 7 được chọn trong bao) thỏa:
*
222.995 >1,
với mọi 1<¡ <n.
Beasley thử nghiệm nhiễu bài tốn SCP với thuật giải đi truyền được hiệu chỉnh, từ 200 hàng, 1000 cột đến 1000 hàng 10000 cột.
Các kết quả thật tốt; thuật giải đã phát sinh những lời giải tối ưu cho những bài tốn cĩ kích thước nhỏ hơn và những lời giải chất lượng cao cho những bài tốn kích thước lớn hơn.
Chủ ý rằng SCP cĩ một biểu diễn “lý tưởng” từ triển vọng của một GA: chuỗi nhị phân của các x; (7 <ÿ <&) biểu điễn một lời giải
` 884
Tối Ưu Tổ Hợp ; 8
cho bài tốn. Khơng cần thêm việc mã hĩa nào. Hàm lượng giá (cho những cá thể khá thị) cũng dễ hiểu; chỉ là:
*
ft) 5) 97/
Thách thức chính trong SCP là vấn để tính khả thị; bất cứ tốn
tử nào được áp dụng cho các chuỗi nhị phân như thế cũng cĩ thể tạo
ra các con vi phạm rằng buộc của bài tốn (nghia là, cĩ một. số hàng
khơng được phủ). Beasley đã dùng một thuật giải sửa chữa để đuy trì
tính hợp lệ của lời giải. Thuật giải sửa chữa này cĩ nhiệm vụ phủ những hàng chưa được phủ; việc tìm những cột bổ sung dựa trên tỉ lệ giữa chỉ phí của một cột và số các hàng chưa phủ mà nĩ sẽ. phủ. Một,
lưu ý thú vị là một khi tiến trình sửa chữa hồn tất và một cá thể khơng hợp lệ được chuyển thành hợp lệ, thì một bước tối ưu hĩa cục bộ được thực hiện, trong đĩ ta cĩ thể bĩ đi các cột khơng cần thiết
(nghĩa là, các cột cĩ thể bồ đi mà khơng vi phạm các ràng buộc).
Bưi và Eppley mơ tả thuật giải di truyền kết hợp dùng cho bài tốn “nhĩm” tối đa và cung cấp những kết quả thực nghiệm của nĩ
trên những trường hợp thử nghiệm cĩ đến 1500 đỉnh và trên nửa triệu cạnh. Bài tốn nhĩm tối đa là bài tốn tìm một đồ thị con đủ (nghĩa là, nhĩm) của một đồ thị được cho cĩ kích thước cực đại (được
đo bằng số đỉnh). Phiên bản quyết định của bài tốn là NP-đầy đủ; khơng cĩ gì ngạc nhiên là nhiêu phương pháp tính gần đúng khác nhau đã được để nghị. Chú ý là cơng việc phải làm là tìm một tập con các đỉnh, do đĩ cĩ thể dùng biểu diễn nhị phân dễ hiểu: vectơ
nhị phân. f
<b„,..,bạ>
định nghĩa tập con đĩ (với mọi ø đỉnh được sắp xếp theo thứ-tự ngẫu
nhiên, mà tất cả các đỉnh là ư; = 1 bao hàm việc chọn nút thứ ¿). Thay
vì thiết kế các tốn tử phức tạp cĩ thể đuy trì tính khả thi của các
Chương 9 : Các Bài Tốn Tối Ưu Tổ Hợp Khác lời giải (nghĩa là, cĩ thể báo đảm rằng con là một nhĩm) hoặc thay vì thiết kế một thuật giải sửa chữa (cĩ thể sửa một lời giải ngẫu
nhiên thành một nhĩm), các tác giá xây dựng một hàm mục tiêu
thơng minh cĩ thể phân biệt giữa các khơng là-nhĩm và gần như-
nhĩm; hàm này được định nghĩa là:
f(ÄX)= s|X|+P 8E
với œ và 8 là số nguyên (lần lượt được gợi là trọng lực lượng và trọng
hồn chỉnh) và ø() trả về các cạnh trong đề thị con do X phát sinh.
Một chú ý thú vị là tỉ lệ ÿ8/œ cĩ thể thay đối: ban đầu thì nĩ nhỏ