Tóm lại, quá trình thực hiện dạy học chủ đề “Tổ hợp – xác suất” theo PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề phải tạo ra hiệu quả dạy học một cách toàn diện. Nó vừa giúp HS nắm vững tri thức, rèn luyện được những kĩ năng học tập và hình thành cho HS những năng lực phẩm chất cần thiết để học tập môn Toán tốt hơn.
2.2. Một số biện pháp sư phạm thực hiện DH chủ đề “Tổ hợp – xác suất” theo PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề theo PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề
2.2.1. Xây dựng một số tình huống gợi vấn đề trong DH chủ đề “Tổ hợp – xác suất” xác suất”
Trong DH phát hiện và giải quyết vấn đề, điểm xuất phát là tạo ra tình huống gợi vấn đề. Trong dạy học chủ đề “Tổ hợp – xác suất”, có thể sử dụng các cách tạo tình huống có vấn đề đã trình bày ở chương 1 của luận văn. Tuy nhiên, việc xây dựng các tình huống tạo vấn đề cần ưu tiên và chú trọng từ việc xem xét diễn biến của tình huống xảy ra trong thực tiễn.
2.2.1.1. Dự đoán nhờ nhận xét trực quan
Trong chủ đề Tổ hợp – Xác suất, đặc biệt khi mới làm quen với hai quy tắc tính cơ bản, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, HS khó phân biệt được tình huống nào dùng công thức tổ hợp, chỉnh hợp, quy tắc cộng, quy tắc nhân thì GV có thể sử dụng trực quan giúp HS vượt qua khó khăn này. Cụ thể thông qua ví dụ có bài toán sau:
Ví dụ 1: GV đưa ra 10 viên bi trong đó có 8 viên bi xanh được đánh số
thứ tự từ 1 đến 8 và 2 viên bi đỏ được đánh số thứ tự từ 9 đến 10. GV xếp các viên bi theo thứ tự từ 1 đến 10.
Hãy đoán xem có còn cách xếp các viên bi nào không?
Khi đó HS có thể tự liệt kê ra được một số cách xếp các viên bi bằng việc thực nghiệm.
Khi đó HS ý niệm được có rất nhiều cách sắp xếp các viên bi. Ngoài ra GV có thể yêu cầu HS thay đổi vị trí các viên bi trong một số cách sắp xếp để nhận biết xem sự thay đổi ấy cho một cách sắp xếp mới hay vẫn là cách sắp xếp ban đầu. Từ đó, HS có thể dự đoán và biết cách dùng chỉnh hợp, tổ hợp để giải quyết bài toán chính xác.
2.2.1.2. Khái quát hóa
Chúng ta có thể khái quát các công thức bậc nhỏ để đưa ra công thức tổng quát nhất.
Ví dụ 2: Trong phòng có 4 người, ghép hai người thành một đôi. Hỏi có
bao nhiêu cách ghép hai người thành một đôi.
Vấn đề đặt ra là nếu thay 4 người thành 100 người, hoặc 4 người thành n người và thay 2 người thành k người thì có bao nhiêu cách ghép.
Từ việc khái quát hóa một bài toán cụ thể để đưa ra công thức tính số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử. Ví dụ 3: Từ các hằng đẳng thức ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 2 3 2 3 3 a b a ab b a b a a b ab b + = + + + = + + + Vậy ( )n
a b+ khi viết khai triển bằng bao nhiêu? Nhờ có số tổ hợp k
n
C ta có thể khái quát hóa các hằng đẳng thức trên thiết lập được công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.
Các hệ số trong khai triển ( )2
a b+ theo thứ tự từ trái qua phải là:
0 1 2 2 2 2 1=C ;2=C ;1=C tức là ( )2 0 2 1 2 2 2 2 2 a b+ =C a +C ab C b+
Các hệ số trong khai triển( )3
a b+ theo thứ tự từ trái qua phải là:
0 1 2 3
3 3 3 3
1=C ;3=C ;3=C ;1=C tức là ( )3 0 3 1 2 2 2 3 3
3 3 3 3
Vậy ( )n 0 n 1 n 1 ... k n k k ... n n n n n n a b+ =C a +C a b− + +C a b− + +C b 0 n k n k k n k C a b− = =∑ (quy ước a0 =b0 =1)
2.2.1.3. Nêu một bài toán mà việc giải quyết nó dẫn đến hình thành kiến thức mới
Để tạo cho HS thói quen tự phát hiện, giải quyết vấn đề, GV có thể đưa ra bài toán để HS tự tìm ra kiến thức mới.
Ví dụ 4: Trong một lớp có 20 HS nam và 15 HS nữ. Thầy giáo chủ
nhiệm cần chọn 4 HS nam và 3 HS nữ đi tham gia chiến dịch “Mùa hè xanh”
của Đoàn Thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các bạn tham gia và không tham gia chiến dịch này? Từ đó rút ra tính chất cơ bản của số k
n C .
Lời giải
- Số cách chọn các bạn tham gia chiến dịch: Ta có số cách chọn 4 HS nam trong số 20 HS nam là:
420 20 20.19.18.17 4845 1.2.3.4 C = = Số cách chọn 3 HS nữ trong số 15 HS nữ là: 153 15.14.13 455 1.2.3 C = =
Theo quy tắc nhân, số cách chọn các bạn tham gia là: 4845.455 2204475=
- Số cách chọn các bạn không tham gia chiến dịch:
Số cách chọn các bạn nam không tham gia chiến dịch trong số 20 bạn nam là:
1620 20 20! 20! 17.18.19.20 4845 16!(20 16)! 16!4! 1.2.3.4 C = = = = −
Số cách chọn các bạn nữ không tham gia chiến dịch trong số 15 bạn nữ là:
1215 15 15! 15! 13.14.15 455 12!(15 12)! 12!3! 1.2.3 C = = = = −
Như vậy số cách chọn các bạn tham gia chiến dịch bằng số cách chọn các bạn không tham gia chiến dịch, chi tiết hơn là số cách chọn các bạn nam (nữ) tham gia chiến dịch bằng số cách chọn các bạn nam (nữ) không tham gia chiến dịch.
Khi đó ta có 4 16 20 4 3 12 15 3
20 20 20 ; 15 15 15
C =C =C − C =C =C −
Từ đó ta suy ra tính chất cơ bản của số Cnk: Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0≤ ≤k n. Khi đó k n k
n n
C =C − .
2.2.1.4. Giải bài tập chưa biết thuật giải
GV có thể đưa ra các bài tập mà HS chưa biết thuật giải để kích thích sự tìm tòi của các em.
Ví dụ 5: Viết khai triển ( ) (4 )19
5 , 2 6x− x+ x− x+ Đối với ( )4 5 x− là đa thức có số mũ nhỏ nên HS có thể áp dụng dễ dàng hằng đẳng thức ( )2 a b+ để khai triển. Đối với ( )19 2x+6 là đa thức có số mũ lớn nên một số HS khó có thể áp dụng các hằng đẳng thức đã học, khi khai triển có thể bị nhầm lẫn. Vậy có cách nào để viết khai triển ( )19
2x+6 một cách dễ dàng hay không? Từ đó dẫn đến hình thành công thức nhị thức Niu-tơn.
2.2.1.5. Xem xét tương tự
Để giúp HS có thể thấy được sự liên kết, tương tự giữa những tri thức này với những tri thức kia, GV có thể tạo ra các tình huống có vân đề dựa vào việc xem xét, tương tự những kiến thức đã học.
Ví dụ 6: Dựa vào ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp về hợp và giao của hai
tập hợp có thể cho HS phát biểu khái niệm biến cố hợp, biến cố giao.
- Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, Kí hiệu là A∪B, được gọi là hợp của hai biến cố A và B.
- Biến cố giao: Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B.
2.2.1.6. Tìm sai lầm trong lời giải
Một trong cách tạo ra tình huống gợi vấn đề mà GV nên chú trọng, đó là tìm ra sai lầm trong lời giải của HS. Cách này giúp HS thấy được đúng sai trong cách nghĩ, cách giải quyết vấn đề từ đó tránh được những sai lầm.
Ví dụ 7: Một nhóm gồm 12 HS trong đó có 5 nam và 7 nữ. Có bao
nhiêu cách chọn 5 em HS trong đó có ít nhất một em nam.
Lời giải 1
Chọn 1 em nam trong số 5 em nam có 1 5
C cách. Chọn 4 em nữ trong số 11 em nữ cóC114cách. Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn là: 1
5C 4 C 4 11 C =1650 cách chọn. Lời giải 2 Gọi E là tập tất cả các nhóm 5 HS. Khi đó E =C125
Gọi A là tập tất cả các nhóm 5 HS, trong đó có ít nhất 1 nam. Gọi B là phần bù của A trong tập E thì B là tập tất cả các nhóm 5 HS trong đó toàn bộ là nữ.
Ta có B =C75.
Vậy A = E − B =C125 −C75 =771.
Trong hai lời giải trên cách giải nào đúng, lời giải nào sai?
Một số HS có thể mắc sai lầm trong một số bài toán đếm số phần tử của tập E có tính chất A khó, quá trình chọn có nhiều cách bị lặp lại như ở lời giải 1. Từ đó dẫn tới việc tìm số phần tử của B không có tính chất A lại dễ hơn. Sau đó số phần tử của tập có tính chất A bằng số phần tử của E trừ đi số phần tử của B không có tính chất A như trong lời giải 2.
Tóm lại khi phối hợp sử dụng các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giải các bài toán đếm HS cần phải chú ý đến các đối tượng nếu không sẽ bị đếm lặp lại hai lần.