5. Nội dung nghiên cứu
3.1. Giới thiệu thực nghiệm
3.1.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm cho giáo viên: Thông qua phiếu xin ý kiến giáo viên, chúng tôi muốn biết ứng xử của giáo viên như thế nào về một lời giải lạ của bài toán xác suất. Bên cạnh đó, chúng tôi muốn biết giáo viên giải thích sai lầm của lời giải sai đó như thế nào.
Thực nghiệm cho học sinh: Thông qua phiếu bài tập và lời giải của học sinh, chúng tôi muốn biết học sinh gặp khó khăn nào khi tính xác suất của một biến cố ngẫu nhiên. Bên cạnh đó, chúng tôi tiến hành tiểu đồ án dạy học nhằm bổ sung công cụ tần suất và sơ đồ cây để kiểm tra lại bài toán đã cho.
3.1.2. Kế hoạch thực nghiệm
Thực nghiệm cho học sinh
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm cho 67 học sinh lớp 11 ở trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Tánh Linh, Bình Thuận sau khi đã được dạy phần xác suất. Theo cấu trúc chương trình, xác suất được học ở học kỳ I. Thời điểm chúng tôi tiến hành thực nghiệm là cuối năm học. Phiếu thực nghiệm cho học sinh có một bài toán xác suất và bài giải của học sinh sẽ được ghi trên phiếu này. Chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm như sau:
Phát phiếu thực nghiệm và giấy nháp cho học sinh làm bài. Sau 15 phút chúng tôi sẽ thu phiếu thực nghiệm và giấy nháp lại. Chúng tôi nghĩ thời gian làm bài 15 phút vừa đủ để học sinh làm một bài toán xác suất. Chúng tôi sẽ thông báo với các em bài làm không lấy điểm nhưng các em cố gắng làm hết sức mình. Em nào làm bài không được có thể ghi vào giấy bài làm những khó khăn của mình về bài toán đã cho.
Thực nghiệm cho giáo viên
Chúng tôi sẽ phát phiếu tham khảo ý kiến 32 giáo viên giảng dạy môn toán tại trường THPT Nguyễn Văn Trỗi và THPT Bắc Bình Tỉnh Tình Thuận. Trong phiếu này chúng tôi đưa ra hai lời giải giả định của học sinh và nhờ giáo viên chấm điểm hai lời giải trên. Bên cạnh đó, chúng tôi đưa ra hai câu hỏi mở là giải thích cách cho điểm và giải thích sai lầm của học sinh. Các phiếu này, chúng tôi sẽ phát vào đầu buổi của ngày họp tổ chuyên môn của mỗi trường và thu lại vào cuối buổi họp.
3.2. Thực nghiệm cho giáo viên
3.2.1. Bộ câu hỏi thực nghiệm cho giáo viên
Đề kiểm tra 15 phút của một trường THPT có bài toán sau: Tung ngẫu nhiên 3 đồng tiền cân đối, đồng chất. Tính xác suất để 3 đồng tiền rơi xuống có cùng mặt (cùng sấp hoặc cùng ngửa).
1) Dưới đây là lời giải của hai học sinh. Xin quý thầy cô vui lòng cho điểm mỗi bài giải (theo thang điểm 10) và giải thích ngắn gọn cách cho điểm của mình.
Lời giải của học sinh thứ nhất:
Điểm Giải thích cách cho điểm
... ... ... Các kết quả có thể có: SSS, SSN, SNS, NSS, SNN, NSN, NNS, NNN.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố đang xét: SSS, NNN. Xác suất cần tính: 2/8 = ¼
Lời giải của học sinh thứ hai:
Điểm Giải thích cách cho điểm
... ... ...
Khi tung 3 đồng xu, có ít nhất 2 đồng xu rơi xuống cùng mặt. Để cả 3 đồng xu rơi xuống cùng mặt, cần và đủ là đồng xu thứ ba có cùng mặt với hai đồng xu đầu. Vậy xác suất cần tính là 1/2.
2) Hai lời giải trên không thể cùng đúng. Xin quý thầy cô vui lòng chỉ ra lời giải nào sai và giải thích chỗ sai cho học sinh.
3.2.2. Phân tích tiên nghiệm
Chúng tôi chọn cùng một bài toán để tiến hành thực nghiệm của giáo viên và học sinh. Do đó, phân tích tiên nghiệm của bài toán chúng tôi sẽ để trong phần thực nghiệm của học sinh. Trong phần này, chúng tôi chỉ giải thích lý do chọn bài toán, cách đặt câu hỏi thực nghiệm và phương án trả lời câu hỏi thực nghiệm.
Lý do chọn bài toán: Trong xác suất có rất nhiều bài toán mà khi giải sai nhưng thoạt nhìn tưởng đó là lời giải đúng. Chúng tôi chọn bài toán trên vì lý do trong lịch sử toán học đã gặp lời giải sai mà chúng tôi gán lời đó cho học sinh thứ 2.
Lý do đặt câu hỏi thực nghiệm và các biến:
Câu hỏi 1: Dựa vào câu hỏi này, chúng tôi muốn biết giáo viên có gặp khó khăn khi phân biệt lời giải đúng và sai của bài toán trên không? Khi giải thích cách cho điểm, giáo viên có ưu tiên cho điểm liệt kê không gian mẫu không?
Câu hỏi 2: Dựa vào câu hỏi này, chúng tôi muốn biết khi giáo viên chọn lời giải này đúng thì giải thích lời giải kia sai như thế nào?
Các biến tình huống
+) Biến V6: Cách đặt câu hỏi thực nghiệm thứ nhất.
- Giá trị V6.1: Nêu lời giải bài toán nghịch lý ba đồng tiền
- Giá trị V6.2: Cho hai lời giải giả định và nhờ giáo viên chấm điểm
- Giá trị V6.3: Nêu nhiều cách giải khác nhau về bài toán nghịch lý ba đồng tiền
Chúng tôi chọn giá trị V6.1. Vì giá trị này giúp chúng tôi kiểm tra vế thứ nhất của giả thuyết H2.
- Giá trị V7.1: Hai lời giải không thể cùng đúng - Giá trị V7.2: Hai lời giải trên có một lời giải đúng - Giá trị V7.3: Giải thích sai lầm lời giải 2
Chúng tôi chọn giá trị V7.1. Khi chọn giá trị biến này, chúng tôi muốn biết giáo viên đã phân được lời giải đúng chưa? Hay giáo viên sẽ chọn một lời giải khác.
Phương án trả lời câu hỏi thực nghiệm: Lời giải học sinh thứ nhất đúng. Lời giải học sinh thứ hai sai vì đã làm thay đổi điều kiện của bài toán. ½ là xác suất của ba đồng tiền cùng mặt với điều kiện đã có hai đồng tiền cùng mặt.
3.2.3. Phân tích hậu nghiệm
Đánh giá của giáo viên về hai lời giải: Chúng tôi phát và thu lại 32 phiếu tham khảo ý kiến giáo viên THPT tại tỉnh Bình Thuận với các kết quả cho điểm theo bảng sau:
Bảng 3.1. Bảng thống kê cách cho điểm của giáo viên Lời giải 1 (lời giải đúng)
Lời giải 2 (lời giải sai)
Không cho điểm5 3 giáo viên 6 giáo viên
Đúng 16 giáo viên 13 giáo viên
Sai 13 giáo viên 13 giáo viên
Điểm trung bình 6,59 5,54
Độ lệch chuẩn 3,21 3,89
Từ bảng 3.1, chúng tôi có những nhận xét sau:
5
Số giáo viên để phiếu trắng là 3. Điều này chứng tỏ sự do dự của giáo viên khi lựa chọn đáp án đúng để chấm điểm cho học sinh.
Số giáo viên chỉ chấm điểm cho lời giải 16 mà không chấm cho lời giải 27 là 3. Điều này cho thấy lời giải 2 không quen thuộc đối với những giáo viên này.
Điểm trung bình lời giải 1 (6,59) cao hơn điểm trung bình lời giải 2 (5,54). Bên cạnh đó, số giáo viên chọn lời giải 1 đúng so với lời giải 2 đúng có tỉ lệ 16/13. Điều này cho thấy 45% giáo viên tham gia chấm điểm cho rằng lời giải 2 đúng. Độ lệch chuẩn tương ứng với điểm của lời giải 1 và lời giải 2 là 3,21 và 3,89. Điều
này cho thấy giáo viên rất phân tán trong việc đánh giá cả hai lời giải, mặc dù lời giải 1 đúng, lời giải 2 sai.
Từ các nhận xét trên, chúng tôi có thể khẳng định giáo viên gặp rất nhiều khó khăn trong việc phát hiện những chỗ sai tinh tế trong một bài toán xác suất. Điều này giúp kiểm chứng một vế giả thuyết H2 mà chúng tôi đưa ra.
Tầm quan trọng của liệt kê
Nhiều giáo viên dành 70% tổng điểm cho việc liệt kê các biến cố có thể có và các biến cố thuận lợi. Điển hình là giáo viên dưới đây:
Từ đó cho thấy, giáo viên rất quan tâm đến liệt kê.
6
Lời giải 1 chúng tôi ghi thay cho lời giải của học sinh thứ nhất .
7
Giải thích sai lầm của học sinh
Tất cả các giáo viên cho điểm của học sinh theo bảng thống kê 3.1 thì có 4 giáo viên không ghi giải thích. Điều này cho thấy giải thích sai lầm trong tính xác suất là nhiệm vụ không quen thuộc đối với những giáo viên này. 25 giáo viên còn lại có ghi giải thích sai lầm của học sinh chúng tôi chia thành hai nhóm chính. Nhóm 1 là những giáo viên cho rằng lời giải 1 đúng và nhóm 2 là những giáo viên cho rằng lời giải 2 đúng.
Những giải thích chính của nhóm 1: Những giải thích chính của nhóm này, đều xoay quanh vấn đề lấy kết quả ¼ của lời giải 1 (tỉ số của kết quả thuận lợi và kết quả có thể có) làm chuẩn sau đó tìm mọi cách giải thích cho thỏa đáng kết quả này. Chẳng hạn, có giáo viên giải thích như sau:
Theo cách giải thích của giáo viên trên, đúng ra chúng ta phải dùng quy tắc cộng xác suất. Tuy nhiên, giáo viên này biết kết quả đúng là ¼ nhưng chưa biết giải thích lời giải thứ 2 sai như thế nào nên muốn ép kết quả cho hợp lệ bằng cách dùng quy tắc nhân. Một giáo viên khác cho lời giải 1 là 10 điểm và giải thích như sau:
Qua lời giải thích này, chúng tôi thấy giáo viên này cho điểm lời giải 2 thấp vì gieo không đồng thời. Trong khi đề bài của học sinh làm là: Gieo ngẫu nhiên ba đồng tiền cân đối đồng chất. Sách GVĐS>11 có quy ước chọn ngẫu nhiên là chọn đồng thời. Những giải thích chính của nhóm 2: Tất cả những giáo viên chấm lời giải 2 đúng đều cho rằng “khi liệt kê không gian mẫu thì kết quả SSN, SNS, NSS là một phần tử. Do đó, liệt kê không gian mẫu sẽ có 4 phần tử nên kết quả là ½”. Cụ thể rất nhiều giáo viên giải thích như sau:
Trong 32 giáo viên tham gia thực nghiệm có 25 giáo viên tham gia giải thích sai lầm của học sinh nhưng tất cả không giải thích được lời giải 2 sai lầm ở đâu. Chúng tôi
nghĩ do chướng ngại khoa học luận về khái niệm xác suất đã gây nên những khó khăn trên cho giáo viên. Điều này kiểm chứng vế thứ hai của giả thuyết H2 mà chúng tôi đưa ra là đúng đắn.
3.2.4. Kết luận
Do chướng ngại khoa học luận về khái niệm xác suất, nhiều giáo viên đã gặp khó khăn khi phân biệt lời giải sai hoặc khó khăn khi giải thích sai lầm một lời giải của bài toán xác suất. Bên cạnh đó, chúng tôi ghi nhận có nhiều giáo viên rất quan tâm đến cách gieo 3 đồng xu là phân biệt, hay liên tiếp hay đồng thời. Chúng tôi có thể khẳng định rằng: Khi gieo 3 đồng xu là phân biệt, hay liên tiếp hay đồng thời thì kết quả xác suất không đổi. Vấn đề này chúng tôi đã phân tích trong chương 1. Nhưng để hiểu rõ hơn chúng tôi đưa ra phản ví dụ như sau: Có 3 học sinh cùng đi thi vào một trường đại học. Biết khả năng thi đậu vào trường đó của mỗi thí sinh là ½. Tính xác suất tính để ba học sinh đó cùng đậu hoặc cùng rớt. Để ý bài toán chúng tôi đưa ra không khác với bài toán tung ba đồng xu. Nhưng chắc chắn bài toán này khi làm không mắc sai lầm như bài toán tung ba đồng xu mà chúng tôi đưa ra ở trên. Vì khi nói đến ba học sinh ai cũng nghĩ là khác nhau. Còn khi nói đến đồ vật thì chúng ta quan niệm đề bài có cho phân biệt hay không.
3.3. Thực nghiệm cho học sinh
3.3.1. Bộ câu hỏi thực nghiệm cho học sinh
Các em giải bài toán sau: Tung ngẫu nhiên 3 đồng tiền cân đối, đồng chất. Tính xác suất để ba đồng tiền rơi xuống có cùng mặt (cùng sấp hoặc cùng ngửa).
3.3.2. Phân tích tiên nghiệm
Các biến của bài toán
Biến didactic V1: Số đồng tiền cần gieo
Số đồng tiền cân đối đồng chất khi tung ngẫu nhiên có rất nhiều giá trị khác nhau. Chúng tôi chọn tung ngẫu nhiên 3 đồng tiền để số phần tử liệt kê vừa phải và cũng để vừa đủ kiểm chứng được khó khăn của học sinh khi liệt kê.
Biến didactic V2: Cách gieo đồng tiền
Giá trị V2.1: Tung ngẫu nhiên lần lượt ba đồng tiền. Giá trị V2.2: Tung ngẫu nhiên ba đồng tiền phân biệt Giá trị V2.3: Tung ngẫu nhiên ba đồng tiền.
Chúng tôi chọn giá trị V2.3 khác với hai giá trị còn lại mà sách ĐS>11 hiện hành đã cung cấp. Với cách chọn giá trị này ảnh hưởng rất nhiều lên các chiến lược có thể của học sinh.
Biến V3: Kiểu biến cố cần tính xác suất
Chúng tôi chọn giá trị của biến cố cả ba mặt cùng sấp hoặc cùng ngửa. Biến cố chúng tôi chọn rất quen thuộc với học sinh
Tóm lại, cách cho bài toán của chúng tôi thoạt nhìn vào đây là một bài toán rất quen thuộc với học sinh. Điều này tạo hứng thú ban đầu cho học sinh làm bài. Khi tiến hành liệt kê số phần tử không gian mẫu thì học sinh sẽ gặp một số khó khăn mà thể hiện được ý đồ chúng tôi nghiên cứu.
Những chiến lược và lời giải tương ứng có thể CL1: “Chiến lược liệt kê”
Những lời giải tương ứng với chiến lược này:
+) Lời giải đúng: Ω={SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}; n(Ω)=8. Gọi biến cố A: “Cả ba đồng xu cùng mặt”; A={SSS, NNN}; n(A)=2; P(A)=1/4. +) Lời giải sai: Ω={SSS, SSN, NSS, NNN}; n(Ω)=4.
Gọi biến cố A: “Cả ba đồng xu cùng mặt”; A={SSS, NNN}; n(A)=2; P(A)=1/2. CL2: “Chiến lược dùng lí luận”
Những lời giải có thể tương ứng với chiến lược này
+) Lời giải đúng: Xác suất mỗi mặt của một đồng xu là ½. Gieo ba đồng xu là 3 biến cố độc lập. Do đó xác suất của ba đồng xu cùng mặt sấp là 1/8. Vậy xác suất ba đồng xu cùng mặt là ¼.
+) Lời giải sai: Khi gieo ba đồng xu luôn xuất hiện hai đồng xu cùng mặt. Để ba đồng xu cùng mặt thì đồng xu còn lại phải cùng mặt với hai đồng xu đầu. Vậy xác suất là ½.
3.3.3. Phân tích hậu nghiệm
Trước khi phân tích hậu nghiệm, chúng tôi muốn giới thiệu sơ qua bối cảnh thực nghiệm. Chúng tôi chọn thời gian thực nghiệm vào tháng 5 sau khi học sinh đã thi học kì 2. Phần xác suất được dạy ở học kì 1. Do đó, rất nhiều học sinh đã quên phần xác suất. Trước thực nghiệm của hai lớp dưới đây, chúng tôi đã thực nghiệm ở hai lớp khác mà thu lại phiếu gần như là giấy trắng. Do đó, chúng tôi dặn hai lớp 11A1 và 11A9 mang theo sách ĐS>11CB. Khi làm bài thực nghiệm các em có thể mở sách ra xem. Trong hai lớp thực nghiệm trên thì lớp 11A1 là lớp chọn duy nhất của khối 11. Chúng tôi khảo sát 67 học sinh của hai lớp trên tại trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Tánh Linh, Bình Thuận. Chúng tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh làm theo chiến lược khác mà chưa có trong phân tích tiên nghiệm. Do đó, chúng tôi bổ sung thêm chiến lược mới và chúng tôi đặt tên chiến lược này là CL3:” Chiến lược đại số tổ hợp”
Lời giải đúng: Gieo mỗi đồng xu có 2 kết quả do đó theo quy tắc nhân số phần tử không gian mẫu gieo ba đồng xu là n(Ω)=8;
số phần tử thuận lợi cho biến cố A:” Cả ba đồng xu cùng mặt” là n(A)=2. Vậy P(A)=1/4.
Lời giải sai có thể có: n(Ω)= 3!=6; n(A)=2; P(A)=1/3.
Bảng 3.2. Bảng thống kê chiến lược và lời giải của lớp 11A9 CL1: “Chiến lược
liệt kê”
CL2: “Chiến lược lí luận”
CL3:”Chiến lược đại số tổ hợp” Số học sinh chọn theo từng chiến lược 28 0 5 Lời giải đúng Lời giải sai8 Lời giải đúng Lời giải